Geometría diferencial de curvas

La geometría diferencial de curvas es una rama de la geometría diferencial que se ocupa del estudio de curvas planas y espaciales suaves en el espacio euclidiano mediante métodos analíticos .

Formas de definir una curva

La forma más general de establecer la ecuación de una curva espacial es paramétrica :

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)\qquad \qquad

(una)

donde son funciones suaves del parámetro , y (condición de regularidad). $x(t),\ y(t),\ z(t)$ $t$ $(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}\ >0$

A menudo es conveniente utilizar una notación invariante y compacta de la ecuación de una curva mediante una función vectorial :

{\mathbf{r}}={\mathbf{r}}(t)

donde del lado izquierdo está el radio vector de los puntos de la curva, y del lado derecho determina su dependencia de algún parámetro . Expandiendo esta notación en coordenadas, obtenemos la fórmula (1). $t$

Dependiendo de las propiedades de diferenciabilidad de las funciones que definen la curva, se habla del grado de suavidad (regularidad) de la curva. Se dice que una curva es regular si para cualquiera de sus puntos, con una elección adecuada de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares , permite, en la vecindad de este punto, estar dada por ecuaciones de la forma: $x(t),\ y(t),\ z(t)$ $x,\y,\z$

y=y(x),\ z=z(x)

donde y son funciones diferenciables. $y(x)\$ $z(x)\$

Para que un punto de la curva dada por la ecuación general (1) sea un punto ordinario (no un punto singular ), es suficiente que en este punto se cumpla la siguiente desigualdad

(x')^{{2}}+(y')^{{2}}+(z')^{{2}}\ >0.

La geometría diferencial también considera curvas suaves por tramos, que consisten en secciones suaves separadas por puntos singulares. En puntos singulares, las funciones definitorias no satisfacen las condiciones de regularidad o no son diferenciables en absoluto.

Curvas planas

Una clase importante de curvas son las curvas planas, es decir, las curvas que se encuentran en un plano. Una curva plana también se puede especificar paramétricamente, mediante las dos primeras de las tres ecuaciones (1). Otros metodos:

Asignación explícita: . $y=f(x)\$
Asignación implícita: . $F(x,\y)=0$

Se supone que las funciones son continuamente diferenciables. Con una asignación implícita, un punto de la curva será ordinario si en su vecindad la función tiene derivadas parciales continuas que al mismo tiempo no son iguales a cero. $f,\ f$ $F(x,y)\$ $F_{x}',\ F_{y}'$

Demos ejemplos de puntos singulares para curvas planas.

Parábola semicúbica : Ambas derivadas son cero en el origen. Este es un punto singular (una cúspide del primer tipo), en el que el vector tangente cambia abruptamente de dirección a la opuesta. $x=t^{2};\ \ y=en^{3}.$
La ecuación define una curva que consta de una línea recta y un punto singular aislado en el origen. $(x-1)(x^{2}+y^{2})\ =0$ $x=1\$

La lemniscata de Bernoulli es un punto singular en la auto-intersección. En el punto singular, la función es diferenciable, pero se viola la condición de regularidad.

Contacto

Se introducen una serie de conceptos básicos de la teoría de curvas con la ayuda del concepto de contacto de conjuntos , que consiste en lo siguiente. Sean y dos conjuntos con un punto en común . Se dice que un conjunto tiene contacto con en un punto de orden si $METRO$ $metro$ $O$ $METRO$ $metro$ $O$ $\alpha \geqslant 1$

{\frac {\delta (X)}{\left|XO\right|^({\alpha ))))\to 0

en ,

X\a O

donde es la distancia del punto de ajuste de . $\ delta (X)$ $X$ $METRO$ $metro$

Aplicado a las curvas, esto significa lo siguiente: dos curvas en un punto común tienen un grado de tangencia de al menos el k-ésimo orden si sus derivadas en el punto común, hasta el k-ésimo orden inclusive, coinciden.

Tangente

Si tomamos una curva como a, y una línea recta que pasa por un punto de la curva, entonces bajo la condición de contacto determina la tangente a la curva en el punto (Fig. 1). La tangente en un punto de la curva también se puede definir como la posición límite de la secante que pasa por y cerca del punto cuando tiende a . $METRO$ $metro$ $O$ $\alpha \geqslant 1$ $O$ $PAGS$ $PAGS$ $P_1$ $P_1$ $PAGS$

Una curva regular suave tiene una tangente definida en cada punto. La dirección de la tangente en el punto de la curva dada por las ecuaciones (1) coincide con la dirección del vector . En notación vectorial, esta es la derivada . $t_0$ $\{x'(t_{0}),\ y'(t_{0}),\ z'(t_{0})\}$ ${\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}(t_{0})$

En geometría diferencial, las ecuaciones tangentes se derivan de varias formas de especificar analíticamente una curva. En particular, para la curva dada por las ecuaciones (1), las ecuaciones de la tangente en el punto correspondiente al valor del parámetro serán $t_0$

{\frac {X-x_{0}}{x_{0}'}}={\frac {Y-y_{0}}{y_{0}'}}={\frac {Z-z_{0} {z_{0}'}}

donde el índice indica el valor de las funciones y sus derivadas en el punto . ${}_{0}\$ $x,y,z\$ $t_{0}\$

Para una curva plana, la ecuación tangente en un punto tiene la siguiente forma. $(x_{0},\ y_{0})$

Tarea paramétrica: $Y=y_{0}+{\frac{y_{0}'}{x_{0}'}}(X-x_{0})$
Asignación explícita: $Y=y_{0}+f_{0}'(X-x_{0})\$
trabajo implícito: $Y=y_{0}-{\frac{(F_{x}')_{0}}{(F_{y}')_{0}}}(X-x_{0})$

Plano contiguo y normales

Si tomamos como un plano que pasa por el punto de la curva , entonces la condición de contacto en determina el plano de contacto de la curva (Fig. 1). Una curva doblemente diferenciable tiene un plano contiguo en cada punto. O es único, o cualquier plano que pasa por la tangente de la curva es tangente. $metro$ $O$ $METRO$ $\alpha \geqslant 2$

Sea la ecuación de la curva. Entonces la ecuación de su plano contiguo se determina a partir de la relación donde y entre paréntesis es el producto mixto de vectores. En coordenadas, se ve como: ${\mathbf{r}}={\mathbf{r}}(t)$ $(\mathbf {R} -\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',\mathbf {r} '')=0,$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {R} = (X, Y, Z)}$

{\begin{vmatriz}Xx&Y-y&Z-z\\x'&y'&z'\\x''&y''&z''\end{vmatriz}}=0

Una recta perpendicular a la tangente y que pasa por el punto de contacto se llama normal a la curva . El plano perpendicular a la tangente en un punto dado de la curva se llama plano normal ; todas las normales para un punto dado se encuentran en el plano normal. La normal que se encuentra en el plano de contacto se denomina normal principal y la normal perpendicular al plano de contacto se denomina binormal [1] . Además, por brevedad, los vectores unitarios a lo largo de estas líneas se pueden llamar normales y binormales (en este caso, la dirección del vector normal principal generalmente se elige para que coincida con la dirección del vector de curvatura de la curva [2] ).

La ecuación vectorial de la binormal en el punto correspondiente al valor del parámetro tiene la forma: $t_0$ $t$

{\boldsymbol {r}}(\lambda)={\boldsymbol {r}}(t_{0})+\lambda [{\boldsymbol {r}}'(t_{0}),~{\boldsymbol {r }}''(t_{0})].

La dirección de la normal principal se puede obtener como un doble producto cruzado : . $[[\mathbf {r} ',\ \mathbf {r} ''],\ \mathbf {r} ']$

Para una curva plana, el plano que la contiene coincide con el plano tangente. Lo normal, hasta el signo, es solo uno, el principal, y su ecuación en un punto tiene la siguiente forma. $(x_{0},\ y_{0})$

Tarea paramétrica: $Y=y_{0}-{\frac{x_{0}'}{y_{0}'}}(X-x_{0})$
Asignación explícita: $Y=y_{0}-{\frac{X-x_{0}}{f_{0}'}}$
trabajo implícito: $Y=y_{0}+{\frac {(F_{y}')_{0}}{(F_{x}')_{0}}}(X-x_{0})$

Círculo contiguo

El círculo que toca la curva en un punto dado tiene contacto ordenado con la curva (Fig. 2). Existe en cada punto de una curva doblemente diferenciable con curvatura distinta de cero (ver más abajo) y también es el límite de un círculo que pasa y dos puntos cercanos a él cuando tienden a . $PAGS$ $\alpha \geqslant 2$ $PAGS$ $P_{1},\ P_{2}$ $P_{1},\ P_{2}$ $PAGS$

El centro del círculo contiguo se llama centro de curvatura , y el radio se llama radio de curvatura . El radio de curvatura es el recíproco de la curvatura (ver más abajo). El centro de un círculo conmovedor siempre se encuentra en la normal principal; de ahí se sigue que esta normal siempre está dirigida hacia la concavidad de la curva.

El lugar geométrico de los centros de curvatura de una curva se llama evoluta . Una curva que corta ortogonalmente las tangentes de la curva se llama involuta . La construcción de una evoluta y una evoluta son operaciones mutuamente inversas, es decir, para la evoluta de una curva dada, la evoluta es la curva misma.

Longitud del arco de la curva

Para medir la longitud de una sección (arco) de una curva arbitraria, esta curva se reemplaza por una polilínea que contiene puntos de curva como puntos de corte, y la suma máxima de las longitudes de todas esas polilíneas se toma como la longitud de la curva (Fig. 3). En forma invariable, la fórmula para calcular la longitud de un arco ( enderezar una curva ) es:

s=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}|{\mathbf {r'}}(t)|\,dt

Lo mismo en coordenadas cartesianas:

s=\int \limits_{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2 }+(z'(t))^{2}}}\,dt.

En coordenadas polares para una curva plana:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\, d \ theta .

Parametrización

La curva admite una infinidad de formas diferentes de asignación paramétrica por ecuaciones de la forma (1). Entre ellos, cobra especial importancia la llamada parametrización natural , cuando la longitud del arco de la curva, medida desde algún punto fijo, sirve como parámetro.

Entre las ventajas de esta parametrización:

${\mathbf {r))'$ tiene longitud unitaria y por lo tanto coincide con el vector unitario de la tangente.
${\mathbf{r))''$ coincide en longitud con la curvatura y en dirección con la normal principal.

Curvatura

Al moverse a lo largo de una curva, su tangente cambia de dirección. La velocidad de esta rotación (la relación del ángulo de rotación de la tangente durante un período de tiempo infinitamente pequeño a este intervalo) con movimiento uniforme, con velocidad unitaria, a lo largo de la curva se denomina curvatura de la curva. La derivada temporal del vector unitario positivo de la tangente se denomina en este caso vector de curvatura de la curva . Ambas son funciones de un punto de la curva. La curvatura es el valor absoluto del vector de curvatura.

En el caso de una especificación paramétrica arbitraria de una curva [3] , la curvatura de la curva en el espacio tridimensional está determinada por la fórmula

k_{1}={\frac {\left|[\mathbf {r} '(t)\times \ \mathbf {r} ''(t)]\right|}{\left|\mathbf { r} '(t)\derecho|^{3}}}

donde es una función vectorial con coordenadas . ${\ matemáticas {r}} (t)$ $x(t),\ y(t),\ z(t)$

En coordenadas:

k_{1}={\frac {{\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+( y''x'-x''y')^{2}}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{{3/2}} }}

Para una curva en un espacio de mayor dimensión, se puede reemplazar el producto vectorial, indicado aquí entre corchetes, con el producto exterior .

Además, para una curva en un espacio de cualquier dimensión, puede usar la fórmula del vector de curvatura:

{\mathbf k}={\frac {d{\mathbf \tau}}{dl}}

y el hecho de que la curvatura es su módulo, así como la expresión del vector unitario tangente

{\mathbf \tau }={\frac {d{\mathbf r}}{dl}}={\frac {r'}{|r'|}}

dl=|{\mathbf r}'|dt,

y obtenga la fórmula para la curvatura:

k=\left|{\frac {1}{|{\mathbf r}'|}}\left({\frac {{\mathbf r}'}{|{\mathbf r}'|}}\right) '\bien|,

o, abriendo paréntesis:

k=\left|{\frac {{\mathbf r}''}{({\mathbf r}')^{2))}-{\mathbf r}'{\frac {({\mathbf r}' ',{\mathbf r}')}{({\mathbf r}')^{4))}\right|.

Las líneas rectas y solo las líneas rectas tienen curvatura cero en todas partes. Por lo tanto, la curvatura muestra claramente cómo (en un punto dado) la curva difiere de una línea recta: cuanto más cerca está la curvatura de cero, menor es esta diferencia. La curvatura de un círculo de radio R es 1/R.

Una curva doblemente diferenciable en cada punto donde la curvatura es distinta de cero tiene un solo plano contiguo.

Para curvas planas, se puede distinguir la dirección de rotación de la tangente al moverse a lo largo de la curva, por lo que se le puede asignar un signo a la curvatura dependiendo de la dirección de esta rotación. La curvatura de una curva plana dada por las ecuaciones está determinada por la fórmula $x=x(t),\ y=y(t)$

k=\pm {\frac {y''x'-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{{3/2))))

El signo o se toma por convención, pero se conserva a lo largo de toda la curva. $+$ $-$

Torsión

Al moverse a lo largo de una curva en la vecindad de un punto dado, el plano de contacto gira y la tangente a la curva es el eje instantáneo de esta rotación. La velocidad de rotación del plano de contacto durante un movimiento uniforme, con velocidad unitaria, se llama torsión . El sentido de giro determina el signo del giro.

Una curva tres veces diferenciable tiene cierta torsión en cada punto con curvatura distinta de cero. En el caso de una especificación paramétrica arbitraria de la curva por las ecuaciones (1), la torsión de la curva está determinada por la fórmula

k_{2}={\frac {(\mathbf {r} ',\mathbf {r} '',\mathbf {r} ''')}{\left|[\mathbf {r} '\ veces \ \mathbf {r} '']\right|^{2}}},

aquí denota el producto mixto y es el producto vectorial , es decir $(*,*,*)$ ${\ estilo de visualización [*,*]}$

k_{2}={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''( x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+ (x'y''-x''y')^{2}}}.

Para una línea recta, la torsión no está definida, ya que el plano tangente está definido de manera ambigua. Una curva plana tiene torsión cero en cada punto. Por el contrario, una curva con torsión idénticamente cero es plana.

Fórmulas de Frenet

Una figura compuesta por una tangente, una normal principal y una binormal, así como tres planos que contienen estas líneas en pares, se denomina triedro natural ( triedro de Frenet , ver Fig. 4). Ya se han mencionado los planos tangente y normal; el tercer plano que contiene la tangente y la binormal se llama rectificador .

Si las aristas de un triedro natural en un punto dado de la curva se toman como los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, entonces la ecuación de la curva en la parametrización natural se expande en la vecindad de este punto en una serie a lo largo de la coordenada a lo largo de La curva:

x=s+\dots,\qquad y={\frac {k_{1}}{2}}s^{2}+\dots,\qquad z=-{\frac {k_{1}k_{ 2}}{6}}s^{3}+\puntos...,

donde y son la curvatura y la torsión de la curva en el punto especificado. $k_{1}\$ $k_{2}\$

Los vectores unitarios , respectivamente, para la tangente, normal principal y binormal de la curva, cambian al moverse a lo largo de la curva. Con una elección adecuada de la dirección de estos vectores, se obtienen las siguientes fórmulas a partir de la definición de curvatura y torsión: ${\boldsymbol {{\vec t}}},\ {\boldsymbol {{\vec n}}},\ {\boldsymbol {{\vec b}}}$

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec t)))){ds}}=k_{1}{\boldsymbol {{\vec n}}}

((2))

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec n)))){ds}}=-k_{1}{\boldsymbol {{\vec t}}}+k_{2}{\boldsymbol {{\vec b}}}\qquad

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec b)))){ds}}=-k_{2}{\boldsymbol {{\vec n}}}

donde la diferenciación va a lo largo del arco de la curva. Las fórmulas (2) se denominan fórmulas de Frenet o fórmulas de Frenet- Serret .

Interpretación cinemática

Consideraremos la longitud del arco de una curva dada como tiempo, y el triedro de Frenet como un cuerpo rígido que se mueve a lo largo de la curva. Entonces, este movimiento en cada momento del tiempo consiste en una rotación traslacional (a lo largo de la tangente) e instantánea con velocidad angular ( el vector de Darboux ). Las fórmulas de Frenet implican: ${\ símbolo de negrita {{\ vec \ omega))}$

{\boldsymbol {{\vec \omega }}}=k_{1}\ {\boldsymbol {{\vec b}}}+k_{2}\ {\boldsymbol {{\vec t}}}

Esto significa que el vector instantáneo de rotación se encuentra en el plano rectificador y se divide en 2 componentes: rotación alrededor de la binormal con velocidad (rotación) y rotación alrededor de la tangente con velocidad (torsión). $k_{1}\$ $k_{2}\$

Ecuaciones de curvas naturales

Una curva con curvatura distinta de cero se define completamente (hasta la posición en el espacio) especificando su curvatura y torsión como funciones del arco de la curva. En este sentido, el sistema de ecuaciones $s$

k_{1}=k_{1}(s),~~k_{2}=k_{2}(s)

se llaman las ecuaciones naturales de la curva .

Ejemplo

Considere una hélice (Fig. 4) dada por las ecuaciones:

x(t)=a\ \cos t

y(t)=a\ \sin t

z(t)=b\t

De acuerdo con las fórmulas anteriores, obtenemos:

k_{1}={\frac{a}{a^{2}+b^{2}}}

k_{2}={\frac{b}{a^{2}+b^{2))}

Por tanto, la curvatura y la torsión de la hélice son constantes. Dado que las ecuaciones naturales determinan de manera única la forma de una curva, no hay otras curvas con curvatura y torsión constantes. Los casos límite de una hélice son una circunferencia (se obtiene en ) y una recta ( ). ${\ estilo de visualización b = 0 \, \!}$ ${\ estilo de visualización a = 0 \, \!}$

Notas

↑ Binormal // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
↑ El plano que toca la curva en un punto dado es, por lo tanto, el plano en el que se encuentran el vector tangente y el vector de curvatura, asumiendo que cada uno de estos vectores se origina en el punto dado de la curva.
↑ es decir al moverse a lo largo de la curva, en general, no a una velocidad constante a medida que aumenta el parámetro t .

Véase también

Literatura

Pogorelov A. V. Geometría diferencial (6ª edición). Moscú: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Un curso de geometría diferencial (3ª edición). M.-L.: GITTL, 1950.
Toponogov, V. A. Geometría diferencial de curvas y superficies . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .