Operadores diferenciales en diferentes sistemas de coordenadas

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Aquí hay una lista de operadores diferenciales vectoriales en varios sistemas de coordenadas .

Expresión general

La expresión general para el operador ∇ que actúa sobre el campo vectorial A en un sistema arbitrario de coordenadas ortogonales se puede escribir de la siguiente manera:

$\nabla \circ \mathbf {A} =\sum _{m}i_{m}\circ {\parcial \mathbf {A} \over \parcial r_{m}}=i_{1}\circ { \parcial \mathbf {A} \over \parcial r_{1}}+i_{2}\circ {\parcial \mathbf {A} \over \parcial r_{2}}+i_{3}\circ {\parcial \mathbf {A} \over \parcial r_{3}}$ ,

donde " " es cualquiera de los tres iconos correspondientes a la acción del operador ∇: ${\ estilo de visualización \ círculo}$

" " - degradado;
"·" - divergencia;
"×" - rotor.

Los elementos de esta entrada corresponden a los elementos del radio vector en el sistema de coordenadas correspondiente: ${\ Displaystyle \ parcial r_ {m}}$

$d\mathbf {r} =\sum_{m}i_{m}\parcial r_{m}=i_{1}\parcial r_{1}+i_{2}\parcial r_{2}+i_ {3}\r_ parcial{3}$

En otras palabras, la primera acción es tomar la derivada parcial con respecto a la proyección del radio vector de todo el vector (teniendo en cuenta las derivadas de los vectores unitarios en el sistema de coordenadas dado), y luego multiplicar (simple para el gradiente, escalar para la divergencia y vector para el rotor) del vector unitario de la dirección por . ${\parcial \mathbf {A} \over \parcial r_{m))$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {A}}$ ${\parcial \mathbf {A} \over \parcial r_{m))$

Basta con conocer las expresiones:

en coordenadas cilíndricas: y ; ${\displaystyle {\parcial i_{\rho } \over \parcial \varphi }=i_{\varphi ))$ ${\displaystyle {\parcial i_{\varphi } \over \parcial \varphi }=-i_{\rho ))$
en coordenadas esféricas: , , y . ${\displaystyle {\parcial i_{r} \over \parcial \theta }=i_{\theta ))$ ${\displaystyle {\parcial i_{\theta } \over \parcial \theta }=-i_{r))$ ${\parcial i_{r} \over \parcial \varphi }=i_{\varphi }\sin \theta$ ${\parcial i_{\theta } \over \parcial \varphi }=i_{\varphi }\cos \theta$ ${\parcial i_{\varphi } \over \parcial \varphi }=-i_{r}\sin \theta -i_{\theta }\cos \theta$

Por ejemplo: en la siguiente tabla, el registro de divergencia en coordenadas cilíndricas se obtiene de la siguiente manera:

$\nabla \cdot \mathbf {A} =i_{\rho }\cdot {\parcial \over \parcial \rho }(i_{\rho }A_{\rho }+i_{\varphi }A_{\ varphi }+i_{z}A_{z})+{1 \sobre \rho }i_{\varphi }\cdot {\parcial \sobre \parcial \varphi }(i_{\rho }A_{\rho }+i_ {\varphi }A_{\varphi }+i_{z}A_{z})+i_{z}\cdot {\parcial \sobre \parcial z}(i_{\rho }A_{\rho }+i_{\ varfi }A_{\varphi }+i_{z}A_{z})=$

$={\parcial A_{\rho } \over \parcial \rho }+{\biggl (}{1 \over \rho }i_{\varphi }\cdot {\parcial i_{\rho } \over \ parcial \varphi }A_{\rho }{\biggr )}+{1 \over \rho }{\parcial A_{\varphi } \over \parcial \varphi }+{\parcial A_{z} \over \parcial z }={\biggl (}{\parcial A_{\rho } \over \parcial \rho }+{A_{\rho } \over \rho }{\biggr )}+{1 \over \rho }{\parcial A_{\varphi} \sobre \parcial \varphi}+{\parcial A_{z} \sobre \parcial z}=$

$={1 \over \rho }{\parcial (\rho A_{\rho }) \over \parcial \rho }+{1 \over \rho }{\parcial A_{\varphi } \over \parcial \varphi }+{\parcial A_{z} \over \parcial z}$

Tabla de operadores

Aquí se utiliza la notación física estándar. Para coordenadas esféricas, θ denota el ángulo entre el eje z y el radio vector del punto, φ es el ángulo entre la proyección del radio vector sobre el plano xy y el eje x .

Registro del operador de Hamilton en varios sistemas de coordenadas

Operador	Coordenadas rectangulares ( x, y, z )	Coordenadas cilíndricas ( ρ, φ, z )	Coordenadas esféricas ( r , θ, φ )	Coordenadas parabólicas ( σ, τ, z )
Fórmulas de transformación de coordenadas	${\begin{matriz}\rho &=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &=&\operatorname {arctg}(y/x)\\z&=&z \end{matriz}}$	${\begin{matriz}x&=&\rho \cos \varphi \\y&=&\rho \sin \varphi \\z&=&z\end{matriz))$	${\begin{matriz}x&=&r\sin \theta \cos \varphi \\y&=&r\sin \theta \sin \varphi \\z&=&r\cos \theta \end{matriz))$	${\begin{matriz}x&=&\sigma \tau \\y&=&{\frac {1}{2}}\left(\tau ^{{2}}-\sigma ^{{2}}\right )\\z&=&z\end{matriz}}$
Fórmulas de transformación de coordenadas	${\begin{matriz}r&=&{\sqrt {{{x}^{{2}}}+{{y}^{{2}}}+{{z}^{{2}}}}} \\\theta &=&\arccos \left(z/r\right)\\\varphi &=&\operatorname {arctg}(y/x)\\\end{matriz}}$	${\begin{matriz}r&=&{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\\theta &=&\operatorname {arctg}{(\rho /z)}\\\ varphi &=&\varphi \end{matriz}}$	${\begin{matriz}\rho &=&r\sin {\theta }\\\varphi &=&\varphi \\z&=&r\cos {\theta }\end{matriz))$	${\begin{matriz}\rho \cos \varphi &=&\sigma \tau \\\rho \sin \varphi &=&{\frac {1}{2}}\left(\tau ^{{2} }-\sigma ^{{2}}\right)\\z&=&z\end{matriz}}$
Radio vector de un punto arbitrario	$x{\mathbf {{\hat x}}}+y{\mathbf {{\hat y}}}+z{\mathbf {{\hat z}}}$	$\rho {\boldsymbol {{\hat \rho }}}+z{\boldsymbol {{\hat z}}}$	$r{\ símbolo de negrita {{\ sombrero r))}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}\sigma {\boldsymbol {{\hat \sigma }}}+{\ fracción {1}{2}}{\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}\tau {\boldsymbol {{\hat \tau }}}+z{\mathbf {{\sombrero z))}$
Conexión de vectores unitarios	${\begin{matriz}{\boldsymbol {{\hat \rho }}}&=&{\frac {x}{\rho}}{\mathbf {{\hat x}}}+{\frac {y} {\rho }}{\mathbf {{\hat y}}}\\{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}&=&-{\frac {y}{\rho }}{\mathbf {{ \hat x}}}+{\frac {x}{\rho }}{\mathbf {{\hat y}}}\\{\mathbf {{\hat z}}}&=&{\mathbf {{ \hat z}}}\end{matriz}}$	${\begin{matriz}{\mathbf {{\hat x}}}&=&\cos \varphi {\boldsymbol {{\hat \rho }}}-\sin \varphi {\boldsymbol {{\hat \varphi ))}\\{\mathbf {{\hat y}}}&=&\sin \varphi {\boldsymbol {{\hat \rho }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {{\hat \varphi } ))\\{\mathbf {{\hat z}}}&=&{\mathbf {{\hat z}}}\end{matriz}}$	${\begin{matriz}{\mathbf {{\hat x))}&=&\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {{\hat r))}+\cos \theta \cos \varphi {\ boldsymbol {{\hat \theta }}}-\sin \varphi {\boldsymbol {{\hat \varphi }}}\\{\mathbf {{\hat y}}}&=&\sin \theta \sin \ varphi {\boldsymbol {{\hat r}}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {{\hat \theta }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {{\hat \varphi }}} \\{\mathbf {{\hat z}}}&=&\cos \theta {\boldsymbol {{\hat r}}}-\sin \theta {\boldsymbol {{\hat \theta }}}\\ \end{matriz}}$	${\begin{matriz}{\boldsymbol {{\hat \sigma }}}&=&{\frac {\tau }{{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2))))} {\mathbf {{\hat x}}}-{\frac {\sigma }{{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}}{\mathbf {{\hat y} ))\\{\boldsymbol {{\sombrero \tau }}}&=&{\frac {\sigma}({\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2))))}{\ mathbf {{\hat x}}}+{\frac {\tau }{{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}}{\mathbf {{\hat y}}} \\{\mathbf {{\hat z}}}&=&{\mathbf {{\hat z}}}\end{matriz}}$
Conexión de vectores unitarios	${\begin{matriz}{\mathbf {{\hat r}}}&=&{\frac {x{\mathbf {{\hat x}}}+y{\mathbf {{\hat y}}}+ z{\mathbf {{\hat z}}}}{r}}\\{\boldsymbol {{\hat \theta }}}&=&{\frac {xz{\mathbf {{\hat x}}} +yz{\mathbf {{\hat y}}}-\rho ^{2}{\mathbf {{\hat z}}}}{r\rho }}\\{\boldsymbol {{\hat \varphi } }}&=&{\frac {-y{\mathbf {{\hat x}}}+x{\mathbf {{\hat y}}}}{\rho }}\end{matriz}}$	${\begin{matriz}{\mathbf {{\hat r}}}&=&{\frac {\rho }{r}}{\boldsymbol {{\hat \rho }}}+{\frac {z} {r}}{\mathbf {{\hat z}}}\\{\boldsymbol {{\hat \theta }}}&=&{\frac {z}{r}}{\boldsymbol {{\hat \ rho ))}-{\frac {\rho }{r)){\mathbf ({\hat z))}\\{\boldsymbol ({\hat \varphi ))}&=&{\boldsymbol {{\ sombrero\varphi}}}\end{matriz}}$	${\begin{matriz}{\boldsymbol {{\hat \rho }}}&=&\sin \theta {\mathbf {{\hat r}}}+\cos \theta {\boldsymbol {{\hat \theta ))}\\{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}&=&{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}\\{\mathbf {{\hat z}}}&=&\cos \theta {\mathbf {{\hat r}}}-\sin \theta {\boldsymbol {{\hat \theta }}}\\\end{matriz}}$	.
campo vectorial $\matemáticas {A}$	$A_{x}{\mathbf {{\hat x}}}+A_{y}{\mathbf {{\hat y}}}+A_{z}{\mathbf {{\hat z}}}$	$A_{\rho }{\boldsymbol {{\hat \rho }}}+A_{\varphi }{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}+A_{z}{\boldsymbol {{\hat z}} }$	$A_{r}{\boldsymbol {{\hat r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {{\hat \theta }}}+A_{\varphi }{\boldsymbol {{\hat \varphi }} }$	$A_{\sigma }{\boldsymbol {{\hat \sigma }}}+A_{\tau }{\boldsymbol {{\hat \tau }}}+A_{\varphi }{\boldsymbol {{\hat z} }}$
Degradado $\ nabla f$	${\parcial f \over \parcial x}{\mathbf {{\hat x}}}+{\parcial f \over \parcial y}{\mathbf {{\hat y}}}+{\parcial f \over \parcial z}{\mathbf {{\sombrero z))}$	${\parcial f \sobre \parcial \rho }{\boldsymbol {{\sombrero \rho }}}+{1 \sobre \rho }{\parcial f \sobre \parcial \varphi }{\boldsymbol {{\sombrero \ varphi ))}+{\parcial f \over \parcial z}{\boldsymbol {{\sombrero z))}$	${\f parcial \sobre \r parcial}{\boldsymbol {{\sombrero r}}}+{1 \sobre r}{\f parcial \sobre \parcial \theta}{\boldsymbol {{\sombrero \theta}} }+{1 \over r\sin \theta }{\parcial f \over \parcial \varphi }{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}$	${\frac {1}{{\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2)))))){\parcial f \over \parcial \sigma }{\boldsymbol {{\sombrero \sigma }}}+{\frac {1}{{\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}}}{\parcial f \over \parcial \tau }{ \boldsymbol {{\hat \tau }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {{\hat z}}}$
Divergencia $\nabla \cdot {\mathbf {A}}$	${\parcial A_{x} \sobre \parcial x}+{\parcial A_{y} \sobre \parcial y}+{\parcial A_{z} \sobre \parcial z}$	${1 \over \rho }{\parcial \left(\rho A_{\rho }\right) \over \parcial \rho }+{1 \over \rho }{\parcial A_{\varphi } \over \parcial \varphi }+{\parcial A_{z} \sobre \parcial z}$	${1 \over r^{2}}{\parcial \left(r^{2}A_{r}\right) \over \parcial r}+{1 \over r\sin \theta }{\parcial \over \theta parcial }\left(A_{\theta }\sin \theta \right)+{1 \over r\sin \theta }{\parcial A_{\varphi } \over \parcial \varphi }$	${\frac {1}{\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}{\parcial A_{\sigma } \over \parcial \sigma }+{\frac {1}{\ sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}{\parcial A_{\tau } \sobre \parcial \tau }+{\parcial A_{z} \sobre \parcial z}$
Rotor $\nabla \times {\mathbf {A}}$	${\begin{matriz}\left({\parcial A_{z} \sobre \parcial y}-{\parcial A_{y} \sobre \parcial z}\right){\mathbf {{\hat x))} &+\\\left({\parcial A_{x} \sobre \parcial z}-{\parcial A_{z} \sobre \parcial x}\right){\mathbf {{\hat y))}&+ \\\left({\parcial A_{y} \sobre \parcial x}-{\parcial A_{x} \sobre \parcial y}\right){\mathbf ({\hat z))}&\ \end {matriz}}$	${\begin{matriz}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\parcial A_{z}}{\parcial \varphi }}-{\frac {\parcial A_{\varphi } }{\parcial z}}\right){\boldsymbol {{\hat \rho }}}&+\\\left({\frac {\parcial A_{\rho }}{\parcial z}}-{\ frac {\parcial A_{z}}{\parcial \rho }}\right){\boldsymbol {{\hat \varphi }}}&+\\{\frac {1}{\rho }}\left({ \frac {\parcial (\rho A_{\varphi })}{\parcial \rho }}-{\frac {\parcial A_{\rho }}{\parcial \varphi }}\right){\boldsymbol {{ \hat z}}}&\ \end{matriz}}$	${\begin{matriz}{1 \sobre r\sin \theta }\left({\parcial \sobre \parcial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\parcial A_{ \theta } \over \parcial \varphi }\right){\boldsymbol {{\hat r))}&+\\{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\parcial A_ {r} \over \parcial \varphi }-{\parcial \over \parcial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right){\boldsymbol {{\hat \theta }}}&+\\ {1 \sobre r}\left({\parcial \sobre \parcial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\parcial A_{r} \sobre \parcial \theta }\right){\boldsymbol {{\sombrero \varphi }}}&\ \end{matriz}}$	${\begin{matriz}\left({\frac {1}{{\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}}}{\parcial A_{z} \over \tau parcial }-{\A_ parcial{\tau } \over \z parcial}\right){\boldsymbol {{\hat \sigma }}}&-\\\left({\frac {1}{{ \sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}}}{\parcial A_{z} \over \parcial \sigma }-{\parcial A_{\sigma } \over \ z parcial}\right){\boldsymbol {{\hat \tau }}}&+\\{\frac {1}({\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}} }}}}\left({\parcial \left(sA_{\varphi }\right) \over \parcial s}-{\parcial A_{s} \over \parcial \varphi }\right){\boldsymbol {{ \hat z}}}&\ \end{matriz}}$
operador de Laplace $\Delta f=\nabla ^{2}f$	${\parcial ^{2}f \sobre \parcial x^{2}}+{\parcial ^{2}f \sobre \parcial y^{2}}+{\parcial ^{2}f \sobre \parcial z^{2}}$	${1 \sobre \rho }{\parcial \sobre \parcial \rho }\left(\rho {\parcial f \sobre \parcial \rho }\right)+{1 \sobre \rho ^{2)){\ parcial ^{2}f \over \parcial \varphi ^{2}}+{\parcial ^{2}f \over \parcial z^{2}}$	${1 \over r^{2}}{\parcial \over \parcial r}\!\left(r^{2}{\parcial f \over \parcial r}\right)\!+\!{1 \ sobre r^{2}\!\sin \theta }{\parcial \sobre \parcial \theta }\!\left(\sin \theta {\parcial f \over \parcial \theta }\right)\!+\ !{1 \over r^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\parcial ^{2}f \over \parcial \varphi ^{2}}$	${\frac {1}{\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}\left({\frac {\parcial ^{{2}}f}{\parcial \sigma ^{ {2))))+{\frac {\parcial ^{{2}}f}{\parcial \tau ^{{2}}}}\right)+{\frac {\parcial ^{{2}} f}{\parcial z^{{2))))$
Operador vectorial de Laplace ${\ estilo de visualización \ Delta \ mathbf {A}}$	${\begin{matriz}\Delta A_{x}\mathbf {\hat {x)) +\Delta A_{y}\mathbf {\hat {y)) +\Delta A_{z}\mathbf { \hat {z}} =\\{\biggl (}{\parcial ^{2}A_{x} \sobre \parcial x^{2}}+{\parcial ^{2}A_{x} \sobre \ parcial y^{2}}+{\parcial ^{2}A_{x} \over \parcial z^{2}}{\biggr )}\mathbf {\hat {x}} +\\{\biggl ( }{\parcial ^{2}A_{y} \sobre \parcial x^{2}}+{\parcial ^{2}A_{y} \sobre \parcial y^{2}}+{\parcial ^{ 2}A_{y} \over \parcial z^{2}}{\biggr )}\mathbf {\hat {y}} +\\{\biggl (}{\parcial ^{2}A_{z} \ sobre \parcial x^{2}}+{\parcial ^{2}A_{z} \sobre \parcial y^{2}}+{\parcial ^{2}A_{z} \sobre \parcial z^{ 2}}{\biggr)}\mathbf {\sombrero {z}} \\end{matriz}}$	${\begin{matriz}\left(\Delta A_{\rho }-{A_{\rho } \over \rho ^{2}}-{2 \over \rho ^{2}}{\parcial A_{\ varphi } \over \parcial \varphi }\right){\boldsymbol {{\hat \rho }}}&+\\\left(\Delta A_{\varphi }-{A_{\varphi } \over \rho ^ {2))+{2 \over \rho ^{2}}{\parcial A_{\rho } \over \parcial \varphi }\right){\boldsymbol {{\hat \varphi }}}&+\\ \left(\Delta A_{z}\right){\boldsymbol {{\hat z}}}&\ \end{matriz}}$	${\begin{matriz}\left(\Delta A_{r}-{2A_{r} \over r^{2}}-{2 \over r^{2}\sin \theta }{\parcial \left( A_{\theta }\sin \theta \right) \over \parcial \theta }-{2 \over r^{2}\sin \theta }{\parcial A_{\varphi } \over \parcial \varphi }\ derecha){\boldsymbol {{\hat r}}}&+\\\left(\Delta A_{\theta }-{A_{\theta } \over r^{2}\sin ^{2}\theta } +{2 \over r^{2}}{\parcial A_{r} \over \parcial \theta }-{2\cos \theta \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\ parcial A_{\varphi } \over \parcial \varphi }\right){\boldsymbol {{\hat \theta ))}&+\\\left(\Delta A_{\varphi }-{A_{\varphi } \ sobre r^{2}\sin ^{2}\theta }+{2 \sobre r^{2}\sin \theta }{\parcial A_{r} \over \parcial \varphi }+{2\cos \ theta \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\parcial A_{\theta } \over \parcial \varphi }\right){\boldsymbol {{\hat \varphi }}}&\end {matriz}}$	?
elemento de longitud	$d{\mathbf {l}}=dx{\mathbf {{\hat x}}}+dy{\mathbf {{\hat y}}}+dz{\mathbf {{\hat z}}}$	$d{\mathbf {l}}=d\rho {\boldsymbol {{\hat \rho }}}+\rho d\varphi {\boldsymbol {{\hat \varphi }}}+dz{\boldsymbol {{\ sombrero z}}}$	$d{\mathbf {l}}=dr{\mathbf {{\hat r}}}+rd\theta {\boldsymbol {{\hat \theta }}}+r\sin \theta d\varphi {\boldsymbol { {\ sombrero \ varphi ))}$	$d{\mathbf {l}}={\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}d\sigma {\boldsymbol {{\hat \sigma }}}+{\ sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}d\tau {\boldsymbol {{\hat \tau }}}+dz{\boldsymbol {{\hat z}}}$
Elemento de área orientada	${\begin{matriz}d{\mathbf {S}}=&dy\,dz\,{\mathbf {{\hat x}}}+\\&dx\,dz\,{\mathbf {{\hat y} ))+\\&dx\,dy\,{\mathbf {{\hat z))}\end{matriz))$	${\begin{matriz}d{\mathbf {S}}=&\rho \,d\varphi \,dz\,{\boldsymbol {{\hat \rho }}}+\\&d\rho \,dz\ ,{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}+\\&\rho \,d\rho d\varphi \,{\mathbf {{\hat z}}}\end{matriz}}$	${\begin{matriz}d{\mathbf {S}}=&r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi \,{\mathbf {{\hat r}}}+\\ &r\sin \theta \,dr\,d\varphi \,{\boldsymbol {{\hat \theta }}}+\\&r\,dr\,d\theta \,{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}\end{matriz}}$	${\begin{matriz}d\mathbf {S} =&{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,dz\,{\boldsymbol { \hat {\sigma }}}+\\&{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}d\sigma \,dz\,{\boldsymbol {\hat {\tau }} }+\\&\sigma ^{2}+\tau ^{2}d\sigma \,d\tau \,\mathbf {\hat {z)) \end{matriz))$
elemento de volumen	$dV=dx\,dy\,dz$	$dV=\rho \,d\rho \,d\varphi\,dz$	$dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi$	$dV=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz$

Algunas propiedades

Expresiones para operadores de segundo orden:

${\mathrm {div\ grad}}\;f=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f$ ( operador de Laplace )
${\mathrm {rot\grad}}\;f=\nabla \times (\nabla f)=0$
$\mathrm {grad\ div} \;\mathbf {A} =\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} )$
${\mathrm {div\ rot}}\;{\mathbf {A}}=\nabla \cdot (\nabla \times {\mathbf {A}})=0$
$\mathrm {rot\ rot} \;\mathbf {A} =\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\Delta \mathbf {A}$ (utilizando la fórmula de Lagrange para el doble producto cruzado )
$\Delta (fg)=\mathrm {div\ graduado} \ (fg)=\mathrm {div} \ (f\mathrm {graduado} \ g+g\mathrm {graduado} \ f)=f\Delta g+2\mathrm {grado} \ f\cdot \mathrm {grado} \ g+g\Delta f$

Véase también

Operador D'Alembert
Coordenadas ortogonales
Coordenadas curvilíneas
Método de coordenadas
Campos vectoriales en sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas

Calculo diferencial

Principal

vistas privadas

Operadores diferenciales
( en varias coordenadas )

Primer orden	operador nabla Degradado Divergencia Rotor Helmholtziano
segundo orden	Operador elíptico operador de Laplace Operador vectorial de Laplace Operador D'Alembert Operador de Laplace-Beltrami
órdenes superiores	Operador hipoelíptico

Temas relacionados