Sistema de coordenadas parabólicas

Las coordenadas parabólicas son un sistema de coordenadas ortogonales en un plano en el que las líneas de coordenadas son parábolas confocales . Una versión tridimensional de este sistema de coordenadas se obtiene girando parábolas alrededor de su eje de simetría.

Las coordenadas parabólicas han encontrado numerosas aplicaciones en la física matemática, en particular, en la teoría del efecto Stark y el problema del potencial cerca de un ángulo.

Coordenadas parabólicas bidimensionales

Las coordenadas parabólicas bidimensionales se definen mediante las expresiones ${\ estilo de visualización (\ sigma, \; \ tau)}$

$\left\{{\begin{matriz}x=\sigma \tau \\y={\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\sigma ^{2})\end {matriz}}\derecha.$

Las superficies constantes son parábolas confocales . $\sigma$

2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}

expandiéndose hacia arriba (a lo largo del rayo ), y las superficies de la constante son parábolas confocales ${\ estilo de visualización + y}$ $\tau$

2y=-{\frac {x^{2}}{\tau^{2}}}+\tau^{2}

expandiéndose hacia abajo (a lo largo de la viga ). Los focos de todas las parábolas se encuentran en el origen. ${\ estilo de visualización -y}$

Características diferenciales de coordenadas bidimensionales

Los coeficientes de Lame para coordenadas parabólicas son

H_{\sigma }=H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2))}.

Entonces el elemento del área es

dS=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau ,

y el laplaciano es

\Delta \Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\parcial ^{2}\Phi }{\parcial \ sigma ^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}\Phi }{\parcial \tau ^{2))}\right).

De manera similar, se pueden encontrar otros operadores diferenciales sustituyendo los coeficientes de Lamé en la fórmula general correspondiente.

Coordenadas parabólicas tridimensionales

Sobre la base de coordenadas parabólicas bidimensionales, se construyen dos tipos de coordenadas tridimensionales. Las primeras se obtienen por simple proyección sobre un plano a lo largo de un eje y se denominan coordenadas cilíndricas parabólicas . $XY$ $z$

El segundo sistema de coordenadas, también llamado "coordenadas parabólicas", se construye a partir de paraboloides de revolución, obtenidos al rotar parábolas alrededor de su eje de simetría.

{\begin{cases}x=\sigma \tau \cos \varphi ,\\y=\sigma \tau \sin \varphi ,\\z={\dfrac {1}{2))(\tau ^{2}-\sigma ^{2}).\end{casos}}

El eje de los paraboloides coincide con el eje , ya que la rotación se realiza alrededor de él. El ángulo azimutal se define como $z$ $\varphi$

\mathrm {tg} \,\varphi ={\frac {y}{x)).

Las superficies constantes son paraboloides confocales . $\sigma$

2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}

dirigida hacia arriba (a lo largo del rayo ), y las superficies de la constante son paraboloides confocales ${\ estilo de visualización + z}$ $\tau$

2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau^{2}}}+\tau^{2}

dirigido hacia abajo (a lo largo de la viga ). Los focos de todos los paraboloides se encuentran en el origen. $-z$

Características diferenciales de las coordenadas tridimensionales

Coeficientes de Lame en el caso tridimensional:

H_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2))},

H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

H_{\varphi}=\sigma\tau.

Como puede verse, los coeficientes y coinciden con el caso bidimensional. El elemento de volumen es ${\ Displaystyle H_ {\ sigma}}$ ${\ Displaystyle H_ {\ tau}}$

dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }=\sigma \tau (\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varfi,

y el laplaciano es

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2))}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\ frac {\parcial }{\parcial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\parcial \Phi }{\parcial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\ frac {\parcial }{\parcial \tau }}\left(\tau {\frac {\parcial \Phi }{\parcial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^ {2}\tau ^{2))}{\frac {\parcial ^{2}\Phi }{\parcial \varphi ^{2))}.

Otros operadores diferenciales, como la divergencia o el rotacional , se pueden encontrar de manera similar al sustituir los coeficientes de Lame en la fórmula general correspondiente.

Símbolos de Christoffel del segundo tipo:

\Gamma _{11}^{1}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=-\Gamma _{22}^{1}={\ fracción {\sigma }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

\Gamma _{22}^{2}=\Gamma _{12}^{1}=\Gamma _{21}^{1}=-\Gamma _{11}^{2}={\ fracción {\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}={\frac {1}{\tau}),\ ​​\Gamma _{33}^{1}=- {\frac {\sigma \tau ^{2}}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{33}^{2}=-{\frac {\sigma ^ {2}\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac { 1}{\sigma)}.

El resto de los caracteres son cero.

Transformaciones inversas

La transición de coordenadas cartesianas a parabólicas se realiza según las fórmulas: $(x,\;y,\;z)$ ${\ estilo de visualización (\ eta, \; \ xi, \; \ varphi)}$

{\begin{casos}\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\xi =z+{\sqrt {x^ {2}+y^{2}+z^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}},\end{casos}}

donde ${\ estilo de visualización \ eta \ geqslant 0, \ quad \ xi \ geqslant 0.}$

{\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix))={\begin{vmatrix}{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2} +y^{2}+z^{2))))&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))&-1+ {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))\\{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^ {2}+z^{2))))&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))&1+{\dfrac {z} {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2))}&{\ dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}.

En , obtenemos la restricción de coordenadas al plano : $\varfi=0$ ${\ estilo de visualización XZ}$

\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}},

{\ estilo de visualización \ xi = z + {\ sqrt {x ^ {2} + z ^ {2}}}.}

Línea de nivel : ${\ estilo de visualización \ eta = c}$

z|_{\eta =c}={\frac {x^{2}}{2c}}-{\frac {c}{2}}.

Esta es una parábola , cuyo foco, para cualquier , se encuentra en el origen. $C$

Del mismo modo, cuando obtenemos ${\ estilo de visualización \ xi = c}$

z|_{\xi =c}={\frac {c}{2}}-{\frac {x^{2}}{2c}}.

Las parábolas de coordenadas se intersecan en un punto

P:\left({\sqrt {bc)),\;{\frac {bc}{2}}\right).

Un par de parábolas se cortan en dos puntos, pero para , el punto está contenido en el semiplano , ya que corresponde a . $\varfi=0$ $x>0$ $x<0$ $\varphi=\pi$

Encuentre las pendientes de las tangentes a las parábolas en el punto : $PAGS$

{\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\frac {\sqrt {bc}}{c}}={\sqrt {\frac { b}{c}}}=s_{c},

{\frac {dz_{b}}{dx}}=-{\frac {x}{b}}={\frac {-{\sqrt {bc}}}{b}}=-{\ sqrt {\frac {c}{b}}}=s_{b};

s_{c}s_{b}=-{\sqrt {\frac {b}{c))}{\sqrt {\frac {c}{b))}=-1.

Como el producto de los coeficientes es −1, las parábolas son perpendiculares en el punto de intersección. Así, las coordenadas parabólicas resultan ser ortogonales.

El par determina las coordenadas en el semiplano. Al pasar de 0 a que el semiplano gira alrededor del eje , se obtienen como superficies coordenadas paraboloides de revolución y semiplanos. Un par de paraboloides opuestos define un círculo y una magnitud define un semiplano que corta el círculo en un solo punto. Sus coordenadas cartesianas son: ${\ estilo de visualización (\ xi; \; \ eta)}$ $\varphi$ $2\pi$ $z$ $\varphi$

{\begin{cases}x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi ,\\y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi ,\\z={ \dfrac {1}{2}}(\xi -\eta ).\end{casos}}

{\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{ \eta ))}\cos \varphi &{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\cos \varphi &-{\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi \\{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{\eta }}}\sin \varphi &{\dfrac {1}{2}}{ \sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\sin \varphi &{\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi \\-{\dfrac {1}{2}}&{\ dfrac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix}}.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. Coordenadas parabólicas (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Sistemas coordinados
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Definiciones relacionadas	Método de coordenadas Origen eje de coordenadas Vector Orth sistema de referencia Punto de referencia Coeficientes cojos tensor métrico