Historia de los logaritmos

La historia de los logaritmos como concepto algebraico se remonta a la antigüedad. La fuente ideológica y estímulo para el uso de los logaritmos fue el hecho (conocido por Arquímedes [1] ) de que al multiplicar potencias con la misma base, sus indicadores suman [2] : .

Predecesores

El matemático indio del siglo VIII Virasena , explorando las dependencias de poder, publicó una tabla de exponentes enteros (es decir, logaritmos) para las bases 2, 3, 4 [3] .

El paso decisivo se dio en la Europa medieval. La necesidad de cálculos complejos en el siglo XVI creció rápidamente y gran parte de la dificultad estaba asociada con la multiplicación y división de números de varios dígitos, así como con la extracción de raíces . A finales de siglo, varios matemáticos, casi simultáneamente, tuvieron la idea: reemplazar la multiplicación que consume mucho tiempo con sumas simples, comparando las progresiones geométricas y aritméticas con la ayuda de tablas especiales, mientras que la geométrica será la original. [1] . Luego, la división se reemplaza automáticamente por una resta inmensamente más simple y confiable, y también se simplificará la exponenciación y la extracción de raíces .

El primero en publicar esta idea en su libro " Arithmetica integra " (1544) fue Michael Stiefel , quien, sin embargo, no hizo esfuerzos serios para la implementación práctica de su idea [4] [5] . El principal mérito de Stiefel es la transición de exponentes enteros a exponentes racionales arbitrarios [6] (los primeros pasos en esta dirección los dieron Nikolay Orem en el siglo XIV y Nicola Schücke en el siglo XV).

John Napier y su "asombrosa tabla de logaritmos"

En 1614, el matemático aficionado escocés John Napier publicó una obra en latín titulada Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos ( en latín:  Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Tenía una breve descripción de los logaritmos y sus propiedades, así como tablas de 8 dígitos de logaritmos de senos , cosenos y tangentes , con un paso de 1'. El término logaritmo , propuesto por Napier, se ha consolidado en la ciencia.

Napier explicó el propósito de su trabajo [7] de la siguiente manera:

Dado que en la práctica del arte matemático, compañeros matemáticos, no hay nada más tedioso que las enormes demoras que uno tiene que soportar en el curso de largas acciones rutinarias -multiplicación y división, encontrar proporciones y extraer raíces cuadradas y cúbicas- y los numerosos errores que puede colarse en la respuesta - entonces reflexioné persistentemente, por medio de qué arte confiable y rápido podría resolver estas dificultades. Al final, después de mucho pensar, encontré una forma asombrosa de acortar estos pasos... Es una tarea agradable presentar este método a los matemáticos para uso general.

Napier esbozó la teoría del cálculo de tablas de logaritmos en su otro libro “ Construcción de una asombrosa tabla de logaritmos ” ( lat.  Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publicado póstumamente en 1619 por su hijo Robert.

A juzgar por los documentos, Napier dominó la técnica del logaritmo en 1594 [8] . El propósito inmediato de su desarrollo fue facilitar cálculos astrológicos complejos para Napier [9] ; por eso se incluyeron en las tablas sólo los logaritmos de las funciones trigonométricas .

El concepto de función aún no existía, y Napier definió el logaritmo cinemáticamente , comparando el movimiento uniforme y logarítmicamente lento; por ejemplo, definió el logaritmo del seno de la siguiente manera [10] :

El logaritmo de un seno dado es un número que siempre aumenta aritméticamente al mismo ritmo que el seno completo comienza a disminuir geométricamente.

En notación moderna, el modelo cinemático de Napier se puede representar mediante una ecuación diferencial [11] :

,

donde M es un factor de escala introducido para que el valor resulte ser un número entero con el número requerido de dígitos ( las fracciones decimales aún no se usaban mucho en ese entonces). Napier tomó M = 10,000,000.

Estrictamente hablando, Napier tabuló la función incorrecta, que ahora se llama logaritmo. Si denotamos su función , entonces se relaciona con el logaritmo natural de la siguiente manera [11] :

Obviamente, es decir, el logaritmo del "seno completo" (correspondiente a 90 °) es cero: esto es lo que Napier logró con su definición. También quería que todos los logaritmos fueran positivos; es fácil verificar que esta condición para se cumple. .

La propiedad principal del logaritmo de Napier: si las cantidades forman una progresión geométrica , entonces sus logaritmos forman una progresión aritmética . Sin embargo, las reglas para el logaritmo de la función sin pares diferían de las reglas para el logaritmo moderno, por ejemplo:

Mayor desarrollo

Pronto resultó que, debido a un error en el algoritmo, todos los valores de la tabla de Napier contenían números incorrectos después del sexto dígito [12] . Sin embargo, esto no impidió que el nuevo método de cálculo ganara gran popularidad, y muchos matemáticos europeos se dedicaron a la compilación de tablas logarítmicas. Kepler insertó una entusiasta dedicación a Napier en el libro de referencia astronómica que publicó en 1620 (sin saber que el inventor de los logaritmos ya había muerto). En 1624, Kepler publicó su propia versión de las tablas logarítmicas (del lat.  Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos ) [13] . El uso de logaritmos permitió a Kepler completar los muchos años de trabajo en las tablas de Rudolph con relativa rapidez , lo que consolidó el éxito de la astronomía heliocéntrica .

Unos años después del libro de Napier, aparecieron las tablas logarítmicas, utilizando una comprensión más moderna del logaritmo. El profesor londinense Henry Briggs publicó tablas de logaritmos decimales de 14 dígitos (1617), y no para funciones trigonométricas, sino para números enteros arbitrarios hasta el 1000 (7 años después, Briggs aumentó el número de números a 20000). En 1619, el profesor de matemáticas de Londres, John Spidell, volvió a publicar  las tablas logarítmicas de Napier, corregidas y complementadas para que realmente se convirtieran en tablas de logaritmos naturales. Spidell también tenía los logaritmos de los números mismos hasta 1000 (además, el logaritmo de la unidad, como Briggs, era igual a cero), aunque Spidell retuvo la escala a números enteros [14] [15] .

En la década de 1620, Edmund Wingate y William Oughtred inventaron la primera regla de cálculo , que sirvió como una herramienta de cálculo indispensable para un ingeniero hasta la llegada de las calculadoras de bolsillo [16] . Con esta herramienta compacta, puede realizar rápidamente todas las operaciones algebraicas, incluidas las relacionadas con funciones trigonométricas [17] . La precisión de los cálculos es de aproximadamente 3 cifras significativas.

Pronto quedó claro que el lugar de los logaritmos en las matemáticas no se limita a las conveniencias computacionales. En 1629, el matemático belga Gregoire de Saint-Vincent demostró que el área bajo una hipérbola varía según la ley logarítmica [18] . En 1668, el matemático alemán Nicholas Mercator (Kaufmann) descubrió y publicó en su libro Logarithmotechnia la expansión del logaritmo en una " serie de Mercator " infinita [19] . Según muchos historiadores, el advenimiento de los logaritmos tuvo una fuerte influencia en muchos conceptos matemáticos, entre ellos:

  1. Formación y reconocimiento del concepto general de números irracionales y trascendentales [20] .
  2. El surgimiento de una función exponencial y el concepto general de una función numérica , el número de Euler , el desarrollo de la teoría de las ecuaciones en diferencias [21] .
  3. Primeros pasos con Infinite Series [19] .
  4. Métodos generales para la resolución de ecuaciones diferenciales de varios tipos.
  5. Desarrollos sustanciales en la teoría de los métodos numéricos requeridos para calcular tablas logarítmicas exactas.

Hasta finales del siglo XIX, no había una designación generalmente aceptada del logaritmo, la base a se indicaba a la izquierda y arriba del símbolo del logaritmo , luego arriba. Finalmente, los matemáticos llegaron a la conclusión de que el lugar más conveniente para la base es debajo de la línea, después del símbolo log :. Las designaciones breves de los tipos de logaritmo más comunes, para decimal y natural, aparecieron mucho antes a la vez por varios autores y finalmente se fijaron también a fines del siglo XIX [22] .

Cercano a la comprensión moderna del logaritmo -como operación inversa a elevar a una potencia- apareció por primera vez en Wallis (1685) y Johann Bernoulli (1694), y finalmente fue legitimado por Euler [12] . En el libro "Introducción al análisis del infinito" ( 1748 ), Euler dio definiciones modernas de funciones tanto exponenciales como logarítmicas, las expandió a series de potencias y destacó especialmente el papel del logaritmo natural [23] . Euler también tiene el mérito de extender la función logarítmica al dominio complejo .

Tablas logarítmicas

De las propiedades del logaritmo, se deduce que, en lugar de la multiplicación de números de valores múltiples que consume mucho tiempo, es suficiente encontrar (según las tablas) y sumar sus logaritmos, y luego realizar la potenciación usando las mismas tablas (sección " Antilogaritmos " ) , es decir, encontrar el valor del resultado por su logaritmo. Hacer una división difiere solo en que los logaritmos se restan.

Las primeras tablas de logaritmos fueron publicadas por John Napier (1614), y contenían únicamente los logaritmos de funciones trigonométricas , y con errores. Independientemente de él, Jost Bürgi , amigo de Kepler , publicó sus tablas ( 1620 ). En 1617 el profesor de matemáticas de Oxford Henry Briggs publicó tablas que ya incluían los logaritmos decimales de los propios números, del 1 al 1000, con 8 (luego 14) dígitos. Pero también hubo errores en las tablas de Briggs. La primera edición infalible basada en las tablas de Georg Vega ( 1783 ) apareció recién en 1857 en Berlín ( tablas de Bremiker ) [24] .

En Rusia, las primeras tablas de logaritmos se publicaron en 1703 con la participación de L. F. Magnitsky [25] . En la URSS se publicaron varias colecciones de tablas de logaritmos [26] :

  1. Bradis V. M. Tablas matemáticas de cuatro valores. M.: Avutarda, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Las tablas de Bradis, publicadas desde 1921, se utilizaron en instituciones educativas y en cálculos de ingeniería que no requieren gran precisión. Contenían mantisas de logaritmos decimales de números y funciones trigonométricas, logaritmos naturales y algunas otras herramientas de cálculo útiles.
  2. Vega G. Tablas de logaritmos de siete dígitos, 4ª edición, M.: Nedra, 1971. Colección profesional para cálculos exactos.
  3. Bremiker K. Tablas logarítmico-trigonométricas. M.: Nauka, 1962. 664 págs. Tablas clásicas de seis dígitos, convenientes para cálculos con funciones trigonométricas .
  4. Tablas de cinco dígitos de valores naturales de cantidades trigonométricas, sus logaritmos y logaritmos de números, 6ª edición, M.: Nauka, 1972.
  5. Tablas de logaritmos naturales, 2ª edición, en 2 volúmenes, Moscú: Nauka, 1971.
  6. Tablas de diez dígitos de logaritmos de números complejos. M, 1952.

Extendiendo el logaritmo al dominio complejo

Los primeros intentos de extender los logaritmos a los números complejos se realizaron entre los siglos XVII y XVIII por Leibniz y Johann Bernoulli , pero no lograron crear una teoría holística, principalmente porque el concepto del logaritmo en sí aún no estaba claro. definido [27] . La discusión sobre este asunto fue primero entre Leibniz y Bernoulli, ya mediados del siglo XVIII entre d'Alembert y Euler. Bernoulli y D'Alembert creían que se debía definir , mientras que Leibniz defendía que el logaritmo de un número negativo es un número imaginario [27] . La teoría completa de los logaritmos de números negativos y complejos fue publicada por Euler en 1747-1751 y esencialmente no difiere de la moderna [28] . Aunque la controversia continuó (d'Alembert defendió su punto de vista y lo argumentó en detalle en un artículo de su Enciclopedia y en otras obras), el enfoque de Euler a fines del siglo XVIII recibió reconocimiento universal.

En el siglo XIX, con el desarrollo del análisis complejo , el estudio del logaritmo complejo estimuló nuevos descubrimientos. Gauss en 1811 desarrolló una teoría completa de la multivaloración de la función logarítmica [29] , definida como la integral de . Riemann , basándose en hechos ya conocidos sobre esta y otras funciones similares, construyó una teoría general de las superficies de Riemann .

El desarrollo de la teoría de las asignaciones conformes mostró que la proyección de Mercator en cartografía , que surgió incluso antes del descubrimiento de los logaritmos (1550), puede describirse como un logaritmo complejo [30] .

Literatura

Notas

  1. ↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Ensayo sobre la historia de los logaritmos, 1923 , p. 9.
  2. ↑ Klein F. Matemáticas elementales desde un punto de vista superior, 1987 , p. 206.
  3. ↑ Gupta, RC (2000), History of Mathematics in India , en Hoiberg, Dale & Ramchandani, Students' Britannica India: Select essays , Nueva Delhi: Popular Prakashan, p. 329 Archivado el 17 de marzo de 2018 en Wayback Machine . 
  4. ↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 54-55.
  5. ↑ Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley (1972), Matemáticas de precálculo , Nueva York: Holt, Rinehart, Winston, p. 182, ISBN 978-0-03-077670-0 , < https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel > 
  6. ↑ Klein F. Matemáticas elementales desde un punto de vista superior, 1987 , p. 210.
  7. ↑ Stewart, Ian . Los increíbles números del profesor Stewart = los increíbles números del profesor Stewart. - M. : Alpina no ficción, 2016. - S. 244. - 422 p. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
  8. ↑ Uspensky Ya. V. Ensayo sobre la historia de los logaritmos, 1923 , p. 13
  9. ↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 56.
  10. ↑ Lector sobre la historia de las matemáticas. Análisis matemático. Teoría de la Probabilidad / Ed. A. P. Yushkevich . - M. : Educación, 1977. - S. 40. - 224 p.
  11. ↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 59.
  12. ↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 61.
  13. ↑ Uspensky Ya. V. Ensayo sobre la historia de los logaritmos, 1923 , p. 39.
  14. ↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 63.
  15. ↑ Charles Hutton. Tablas Matemáticas. Archivado el 11 de septiembre de 2016 en Wayback Machine London, 1811, p. treinta.
  16. ↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 65-66.
  17. ↑ Berezin S.I. Regla de cálculo de conteo. - M. : Mashinostroenie, 1968.
  18. ↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 133.
  19. ↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Ensayo sobre la historia de los logaritmos, 1923 , p. 52.
  20. ↑ Klein F. Matemáticas elementales desde un punto de vista superior, 1987 , p. 51, 286, 352.
  21. ↑ Klein F. Matemáticas elementales desde un punto de vista superior, 1987 , p. 213, 217.
  22. ↑ Florián Cajori . Una historia de las matemáticas, 5ª ed  (indefinida) . - Librería AMS, 1991. - Pág. 152. - ISBN 0821821024 .
  23. ↑ Rybnikov K. A. Historia de las matemáticas. En dos tomos. - M. : Ed. Universidad Estatal de Moscú, 1963. - T. II. - S. 25.
  24. ↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 62.
  25. ↑ Gnedenko B. V. Ensayos sobre la historia de las matemáticas en Rusia, 2.ª edición. - M. : KomKniga, 2005. - S. 66. - 296 p. - ISBN 5-484-00123-4 .
  26. ↑ Tablas logarítmicas // Gran Enciclopedia Soviética.
  27. ↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen III, 1972 , p. 325-328.
  28. ↑ Rybnikov K. A. Historia de las matemáticas. En dos tomos. - M. : Ed. Universidad Estatal de Moscú, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
  29. ↑ Matemáticas del siglo XIX. Volumen II: Geometría. Teoría de las funciones analíticas, 1981 , p. 122-123.
  30. ↑ Klein F. Matemáticas elementales desde un punto de vista superior . - M. : Nauka, 1987. - T. II. Geometría. - S. 159-161. — 416 pág.
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