En matemáticas , una categoría de grupos es una categoría cuya clase de objeto se compone de grupos y cuyos morfismos son homomorfismos de grupos .
Considere dos funtores olvidadizos de Grp :
M: Grp → Lun
U: Grp → Establecer
Aquí M tiene dos conjugados :
Aquí I: Mon → Grp es un funtor que envía un monoide a un submonoide de elementos invertibles y K: Mon → Grp es un funtor que envía un monoide a su grupo de Grothendieck .
El olvidadizo U: Grp → Set tiene una composición adjunta derecha KF: Set → Mon → Grp , donde F es un funtor libre .
Los monomorfismos en Grp son exactamente homomorfismos inyectivos , los epimorfismos son exactamente homomorfismos sobreyectivos y los isomorfismos son homomorfismos biyectivos.
La categoría Grp es completa y completa . Un producto en Grp es un producto directo de grupos, mientras que un coproducto es un producto libre de grupos. El objeto nulo en Grp es un grupo trivial.
La categoría de grupos abelianos , Ab , es una subcategoría completa de Grp . Ab es una categoría abeliana , pero Grp ni siquiera es una categoría aditiva , ya que no existe una forma natural de definir la suma de dos homomorfismos.
La noción de una secuencia exacta también tiene sentido en Grp , y algunos resultados de la teoría de categorías abelianas, como el lema de 9 y el lema de 5 , siguen siendo válidos en Grp . Por otro lado, el lema de la serpiente deja de ser cierto.