Número cuadrado triangular

En teoría de números, un número cuadrado triangular (o número cuadrado triangular ) es un número que es a la vez triangular y cuadrado . Hay un número infinito de números triangulares cuadrados.

Por ejemplo, el número 36 es cuadrado ( ) y triangular : ${\ estilo de visualización 6 \ veces 6}$ $\left({\frac {9\times 8}{2}}\right)$

Los números triangulares cuadrados forman una secuencia:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025,... (secuencia A001110 en OEIS ).

Fórmulas

Escribiremos N k para el k -ésimo número triangular cuadrado, s k y t k para los lados del cuadrado y del triángulo, respectivamente, luego

N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2)).

Las secuencias Nk , sk y tk están presentes en OEIS ( A001110 , A001109 y A001108 respectivamente ).

En 1778, Leonhard Euler estableció la fórmula explícita [1] [2] :12—13

N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{ 4{\sqrt {2}}}}\derecha)^{2}.

Otras fórmulas equivalentes que se pueden derivar de esta fórmula:

{\begin{alineado}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}} )^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}} )^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2} })^{k}\derecha).\end{alineado}}

Las fórmulas explícitas correspondientes para s k y t k [2] :13 :

s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\ sqrt {2}}}}

t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4 }}.

Ecuación de Pell

La conexión de números triangulares cuadrados con la ecuación de Pell se puede obtener de la siguiente manera [3] :

cualquier número triangular tiene la forma t ( t + 1)/2, entonces necesitamos encontrar t y s tal que

{\frac{t(t+1)}{2}}=s^{2}.

Multiplicando las partes izquierda y derecha por 8 y seleccionando un cuadrado completo, obtenemos

{\ estilo de visualización (2t+1)^{2}=8s^{2}+1,}

sustituyendo ahora x = 2 t + 1 y y = 2 s , obtenemos la ecuación diofántica

{\ estilo de visualización x^{2}-2y^{2}=1,}

que es la ecuación de Pell . Las soluciones de esta ecuación son los números de Pell P k [4]

x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};

y por lo tanto todas las soluciones vienen dadas por las fórmulas

s_{k}={\frac {P_{2k)){2)),\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2} },\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.

Hay muchas identidades asociadas con los números de Pell, y las fórmulas anteriores las traducen en identidades con números triangulares cuadrados.

Relaciones recurrentes

Existen relaciones de recurrencia para números triangulares cuadrados, así como para los lados de los cuadrados y triángulos correspondientes. Tenemos [5] :(12)

N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,N_{0}=0,N_{1}=1.

N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1))}-{\sqrt {N_{k-2))}\right)^{2},N_{0}= 1,N_{1}=36.

Y también [1] [2] :13

s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},s_{0}=0,s_{1}=1;

t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,t_{0}=0,t_{1}=1.

Otras propiedades

Todos los números triangulares cuadrados tienen la forma b 2 c 2 , donde b / c es el valor convergente de la fracción continua de la raíz cuadrada de 2 [6] .

AV Sylwester dio una breve prueba de la infinidad del número de números triangulares cuadrados, a saber, [7] :

Si el número triangular n ( n + 1)/2 es un cuadrado, entonces hay un número triangular mayor:

{\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{ 2}\,{\frac{n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}.

Y este valor debe ser un cuadrado, porque es el producto de tres cuadrados: (obviamente), (se supone que el enésimo número triangular es un cuadrado), y (obviamente). $2^{2}$ ${\ estilo de visualización (n (n + 1))/2}$ ${\ estilo de visualización (2n+1)^{2}}$

La función generadora de números triangulares cuadrados es [8] :

{\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)))=1+36z+1225z^{2}+\cdots .

Valores numéricos

A medida que k aumenta , la razón t k / s k tiende a , y la razón de los números triangulares cuadrados vecinos tiende a . ${\ estilo de visualización {\ sqrt {2}} \ aproximadamente 1,41421}$ $17+12{\sqrt {2}}\aprox. 33,97056$

{\begin{matriz}{rrrrll}k&N_{k}&s_{k}&t_{k}&t_{k}/s_{k}&N_{k}/N_{k-1}\\0&0&0&0&&\\1&1&1&1&1& \\2&36&6&8&1.33333&36\\3&1\,225&35&49&1.4&34.02778\\4&41\,616&204&288&1.41176&33.97224\\5&1\,413\,721&1\,189&1\,681&6\0\033&41 930&9\,800&1.41414&33.97056\\7&1\,631\,432\,881&40\,391&57\,121&1.41420&33.97056\\\end{matriz}}

Notas

↑ 12 Leonard Eugene Dickson . Historia de la Teoría de Números (Inglés) . - Providencia: Sociedad Matemática Americana, 1999. - Vol. 2.- Pág. 16.- ISBN 978-0-8218-1935-7 .
↑ 1 2 3 Euler, Leonhard Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (Una regla fácil para problemas diofantinos que deben resolverse rápidamente mediante números enteros) (lat.) // Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg. - 1813. - vol. 4 . - Pág. 3-17 . . — "Según los registros, fue presentado al St. Academia de San Petersburgo el 4 de mayo de 1778.
↑ Barbeau, Eduardo. Ecuación de Pell . - Nueva York: Springer, 2003. - Págs. 16-17. — (Libros de problemas en Matemáticas). - ISBN 978-0-387-95529-2 .
↑ Hardy, GH ; Wright, E. M. Introducción a la teoría de los números . — 5to. - Oxford University Press , 1979. - Pág. 210. - ISBN 0-19-853171-0 . . - "Teorema 244".
↑ Weisstein, Eric W. Square Triangular Number en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Ball, WW Rose ; Coxeter , HSM Recreaciones y ensayos matemáticos . - Nueva York: Dover Publications , 1987. - Pág . 59 . - ISBN 978-0-486-25357-2 .
↑ Pietenpol, JL; A. V. Sylwester, Erwin Just, R. M. Warten. Problemas y soluciones elementales: E 1473, Números triangulares cuadrados // American Mathematical Monthly : revista . - Asociación Matemática de América, 1962. - Febrero ( vol. 69 , no. 2 ). - pág. 168-169 . — ISSN 00029890 . — .
↑ Plouffe, Simon 1031 Generación de funciones (PDF) A.129. Universidad de Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (agosto de 1992). Consultado el 11 de mayo de 2009. Archivado desde el original el 6 de febrero de 2013. (indefinido)

Enlaces

Números triangulares que también son cuadrados . Archivado el 27 de abril de 2006 en Wayback Machine en cut-the-knot.
Weisstein, Eric W. Square Triangular Number (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
La solución de Michael Dummett Archivado el 13 de febrero de 2021 en Wayback Machine .

números rizados

plano

Poligonal clásico	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal dodecagonal
Centrado	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal Nueve ángulos Decagonal

Piramidal	tetraédrico piramidal cuadrada
multifacético	cúbico Octaédrico dodecaédrico icosaédrico octaédrico estrellado

multifacético	pentatópico Bicuadrado