Clase de conjugación

Una clase de conjugación es un conjunto de elementos del grupo formado por elementos conjugados a un dado , es decir, todos los elementos de la forma , donde es un elemento arbitrario del grupo . $GRAMO$ $g\in g$ $jajaja^{{-1}}$ $h$ $GRAMO$

La clase de conjugación de un elemento se puede denotar por , o . $g\in g$ $[gramo]$ ${\ estilo de visualización g^{G}}$ ${\ matemáticas {Cl}} (g)$

Definición

Los elementos y grupos se llaman conjugados si hay un elemento para el cual . La conjugación es una relación de equivalencia , y por lo tanto se divide en clases de equivalencia , esto, en particular, significa que cada elemento del grupo pertenece exactamente a una clase de conjugación, y las clases y coinciden si y solo si y son conjugados, y no se cruzan de otra manera . $g_{1}$ $g_{2}$ $GRAMO$ $Hing$ $hg_{1}h^{{-1}}=g_{2}$ $GRAMO$ $[g_{1}]$ ${\ estilo de visualización [g_{2}]}$ $g_{1}$ $g_{2}$

Notas

Las clases de conjugación también se pueden definir como las órbitas de la acción de un grupo sobre sí mismo por conjugaciones dadas por la fórmula [1] . $(g,m)=gmg^{{-1}}$

Ejemplos

El grupo simétrico que consta de las seis permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación: $S_{3}$
- el orden no cambia ( , "1A"), $abc\a abc$
- permutación de dos elementos ( , , , "3A"), $abc a acb$ $abc\a bac$ $abc a cba$
- permutación cíclica de los tres elementos ( , , "2A"). $abc a bca$ $abc\a la cabina$

El grupo simétrico , que consta de las 24 permutaciones de cuatro elementos, tiene cinco clases de conjugación: $S_4$
- el orden no cambia (1 permutación): , "1A" o "(1) 4 "; $\{\{1,2,3,4\}\}$
- permutación de dos elementos (6 permutaciones): , "6A" o "(2)"; $\{\{1,2,4,3\},\{1,4,3,2\},\{1,3,2,4\},\{4,2,3,1\}, \{3,2,1,4\},\{2,1,3,4\}\}$
- permutación cíclica de tres elementos (8 permutaciones): , "8A" o "(3)"; $\{\{1,3,4,2\},\{1,4,2,3\},\{3,2,4,1\},\{4,2,1,3\}, \{4,1,3,2\},\{2,4,3,1\},\{3,1,2,4\},\{2,3,1,4\}\}$
- permutación cíclica de los cuatro elementos (6 permutaciones): , "6B" o "(4)"; $\{\{2,3,4,1\},\{2,4,1,3\},\{3,1,4,2\},\{3,4,2,1\}, \{4,1,2,3\},\{4,3,1,2\}\}$
- permutación por pares (3 permutaciones): , "3A" o "(2)(2)". $\{\{2,1,4,3\},\{4,3,2,1\},\{3,4,1,2\}\}$

En el caso general, el número de clases de conjugación en un grupo simétrico es igual al número de particiones del número , ya que cada clase de conjugación corresponde exactamente a una partición de la permutación en ciclos . $S_{n}$ $norte$ $\{1,2,\puntos,n\}$

Propiedades

El elemento neutro siempre forma su propia clase. $[e]=\{e\}$
Si es abeliano , entonces , por lo tanto para todos los elementos del grupo. $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ para todos {g, h \ en G} \ ghg ^ {-1} = h}$ $[g]=\{g\}$
Si dos elementos y grupos pertenecen a la misma clase de conjugación, entonces tienen el mismo orden . $g_{1}$ $g_{2}$ $GRAMO$
- De manera más general, cualquier declaración de teoría de grupos sobre un elemento es equivalente a una declaración sobre un elemento , ya que la conjugación es un
automorfismo del grupo . $\cerdo)$ $g\in g$ $Hing]$ $x\a xgx^{{-1}}$ $GRAMO$

Un elemento se encuentra en el centro si y solo si su clase de conjugación consta de un solo elemento: .

g\in g

Z(G)

[g]=\{g\}

De manera más general: el índice de un subgrupo ( el

centralizador de un elemento dado ) es igual al número de elementos en la clase de conjugación (según el teorema de estabilización de la órbita ).

Z_{G}(g)

gramo

[gramo]

Si y son conjugados, entonces sus potencias y también lo son .

g_{1}

g_{2}

g_{1}^{k}

g_{2}^{k}

Para cualquier elemento del grupo, los elementos en la clase de conjugación uno a uno corresponden a las clases de conjugación del centralizador , de hecho, si , entonces para algunos , lo que conduce al mismo elemento conjugado: . En particular: $g\in g$ $[gramo]$ $Z_{G}(g)$ $h_{1}\en [h_{2}]$ $h_{1}=h_{2}z$ $z\en Z_{G}(g)$ $h_{1}gh_{1}^{-1}=h_{2}zg(h_{2}z)^{-1}=h_{2}zgz^{-1}h_{2}^ {-1}=h_{2}zz^{-1}gh_{2}^{-1}=h_{2}gh_{2}^{-1}$
- Si es un
grupo finito , entonces el número de elementos en la clase de conjugación es el índice del centralizador . $GRAMO$ $[gramo]$ $[G:Z_{G}(g)]$
El orden de cada clase de conjugación es un divisor del orden del grupo.

El orden del grupo es la suma de los índices de centralizadores para el representante elegido de cada clase de conjugación: . Teniendo en cuenta que el centralizador de un grupo forma una clase de conjugación a partir de un solo elemento (él mismo), esta relación, denominada ecuación de clases de conjugación [2] , se escribe de la siguiente manera:

soldado americano

|G|=\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

Z(G)

|G|=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

donde se toma la suma de todos los representantes de cada clase de conjugación que no pertenecen al centro.

Por ejemplo, supongamos que se da un grupo finito ( es decir, un grupo con orden , donde es un número primo y ). Dado que el orden de cualquier clase de conjugación debe dividir el orden del grupo, cada clase de conjugación también tiene un orden igual a alguna potencia ( ), y luego de la ecuación de clases de conjugación se sigue que: $pags$ $GRAMO$ $pag^{n}$ $pags$ $n>0$ $Hola$ $p^{{k_{i}}}$ $0<k_{i}<n$

|G|=p^{n}=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}p^{{k_{i}}}

, esto, a su vez, implica que el número debe dividirse , de manera que para todo grupo finito , es decir, la ecuación de clases conjugativas nos permite establecer que todo grupo finito tiene un centro no trivial.

pags

|Z(G)|

|Z(G)|>1

pags

pags

Las clases de conjugación en el grupo fundamental de un espacio topológico conectado por caminos pueden considerarse como clases de equivalencia de bucles libres bajo homotopía libre.

Variaciones y generalizaciones

Para un subconjunto arbitrario (no necesariamente un subgrupo), el subconjunto se llama conjugado si hay algún elemento tal que . En este caso, la clase de conjugación es el conjunto de todos los subconjuntos tales que cada uno es conjugado . $S\subconjunto G$ $T\subconjunto G$ $S$ $g\in g$ $T=gSg^{{-1}}$ $[S]$ $T\subconjunto G$ $T$ $S$

Un teorema ampliamente utilizado es que para cualquier subconjunto dado de un grupo, el índice conjunto de su normalizador es igual al orden de su clase de conjugación : $S$ $GRAMO$ $N(S)$ $[S]$

|[S]|=[G:N(S)]

Esto se deduce del hecho de que for se cumple: si y solo si , es decir, y está contenido en la misma clase de adyacencia del normalizador . $g, h \ en G$ $gSg^{{-1}}=hSh^{{-1}}$ $g^{{-1}}h\en N(S)$ $gramo$ $h$ $N(S)$

Los subgrupos se pueden dividir en clases de conjugación de modo que dos subgrupos pertenezcan a la misma clase si y solo si son conjugados. Los subgrupos conjugados son isomorfos , pero los subgrupos isomorfos no necesitan ser conjugados. Por ejemplo, un grupo abeliano puede contener dos subgrupos isomorfos distintos, pero nunca serán conjugados.

Véase también

Notas

↑ Grillete, 2007 , pág. 56.
↑ Grillete, 2007 , pág. 57.

Literatura

Pierre Antoine Grillet. álgebra abstracta. - 2. - Springer, 2007. - T. 242. - (Textos de posgrado en matemáticas). — ISBN 978-0-387-71567-4 .