Forma lineal

Forma lineal, funcional lineal (también se utilizan los términos 1-forma , covector , vector covariante ) es un mapeo lineal que actúa desde un espacio vectorial sobre un campo en un campo . La condición de linealidad consiste en el cumplimiento de las dos propiedades siguientes: $L$ $k$ $k$

{\ estilo de visualización \ phi (f + g) = \ phi (f) + \ phi (g)}

{\ estilo de visualización \ Phi (\ alfa f) = \ alfa \, \ Phi (f)}

para cualquiera de los dos vectores y cualquier . Así, una forma lineal (funcional lineal) es un caso especial del concepto de operador lineal que actúa de un espacio vectorial a otro espacio vectorial: considerado sobre el mismo campo . A saber, en el caso de una forma lineal (funcional lineal), el espacio vectorial . ${\ estilo de visualización f, g \ en L}$ $\alfa \in K$ ${\ estilo de visualización L_ {K} \ a M_ {K}}$ $k$ $M_{K}=K$

El término forma lineal se usa generalmente en álgebra y geometría algebraica, más a menudo hablando de espacios vectoriales de dimensión finita. Desde un punto de vista algebraico, una forma lineal es un caso especial del concepto más general de una forma k para k= 1.

El término funcional lineal es común en el análisis funcional , y la mayoría de las veces estamos hablando de espacios vectoriales de dimensión infinita, cuyos elementos son funciones de una clase u otra, y el término funcional enfatiza que se considera una función (mapa), el cuyo argumento son funciones. Los campos más utilizados son o . $k$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {C}$

Ejemplos

Ejemplos de formas lineales para espacios vectoriales de dimensión finita :

El ejemplo más simple de una forma lineal es una función lineal homogénea de una variable real o compleja:

{\ estilo de visualización y = kx.}

El producto escalar de un argumento y un vector arbitrario es una forma lineal:

\Phi (\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} =a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n }x_{n}.\qquad(*)

Además, en el caso de cualquier espacio de dimensión finita , todas las formas lineales en él tienen la forma . Esto permite identificar cada forma lineal con el vector , y esta correspondencia es uno a uno.

L

(*)

{\ estilo de visualización \ Phi (\ mathbf {x})}

{\mathbf {a} }\en L

Ejemplos de funcionales lineales para espacios de funciones :

Deje que el espacio consista en funciones que son continuas en el conjunto . Luego, para cualquier expresión y uno define funcionales lineales en . $L$ $f(x)$ $\Omega$ ${\ Displaystyle x_ {i} \ en \ Omega}$ ${\ estilo de visualización \ Phi (f) = f (x_ {0})}$ $\Phi (f)=\alpha _{1}f(x_{1})+\alpha _{2}f(x_{2})$ $L$
Deje que el espacio consista en funciones que son continuamente diferenciables n veces en el conjunto . Expresión $L$ $f(x)$ $\Omega$

\Phi (f)=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(x_{i }),\quad x_{i}\in\Omega ,

define un funcional lineal en .

L

Uno de los ejemplos más importantes de un funcional lineal es el producto escalar de un vector argumento y un vector fijo : . En el análisis funcional, a menudo se consideran espacios vectoriales, que consisten en funciones integrables, y el producto escalar se da usando una integral (generalmente se usa la integral de Lebesgue ). En este caso, la fórmula anterior para el funcional lineal toma la forma $f \ en L$ ${\ estilo de visualización \ phi \ en L}$ ${\ estilo de visualización \ phi (f) = \ langle f, \ phi \ rangle}$

{\ Displaystyle \ Phi (f) = \ int _ {\ Omega} f (x) \ phi (x) d \ omega}

. Estos funcionales lineales se utilizan, por ejemplo, en la definición de la transformada de Fourier .

Sea un operador lineal mapeando un espacio vectorial en sí mismo , que consta de funciones integrables en algún conjunto . Entonces la expresión ${\ estilo de visualización A \ dos puntos L \ a L}$ $L$ $\Omega$

\Phi (f)=\int _{\Omega }Af(x)\phi (x)d\omega

. define un funcional lineal en el espacio . Ejemplos de tales funcionales lineales:

L

{\ Displaystyle \ Phi (f) = \ int _ {\ Omega} f (x) d \ omega}

{\ Displaystyle \ Phi (f) = \ int _ {\ Omega} f (x) \ phi (x) d \ omega}

\Phi (f)=\int_{\Omega }{\Bigl (}\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i}{\frac {d^{i}f} {dx^{i))}(x){\Bigr )}\,d\omega

Propiedades

El conjunto de todas las formas lineales sobre un espacio vectorial es en sí mismo un espacio vectorial con respecto a las operaciones de suma y multiplicación por elementos del campo . Este espacio se llama dual to y se denota por [1] . Los vectores del espacio dual suelen llamarse covectores . En mecánica cuántica, también es habitual utilizar los términos vectores bra y vectores ket para denotar vectores del espacio original y covectores. $L$ $k$ $L$ ${\ estilo de visualización L ^ {\ ast}}$
Si la dimensión es (finita), entonces cuando se elige una cierta base en el espacio, cualquier forma lineal se escribe en la forma , donde el vector y el conjunto de coeficientes determinan únicamente esta forma. La forma viene dada por un conjunto de sus coordenadas en alguna base del espacio conjugado , que se llama recíproco o dual a la base . Así, [2] . ${\ estilo de visualización \ dim L = n}$ $L$ $e_{1},\ldots,e_{n}$ ${\displaystyle \Phi (x)=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n))$ ${\displaystyle x=x_{1}e_{1}+\cdots +x_{n}e_{n))$ $ai}$ $\fi (x)$ $ai}$ ${\ estilo de visualización L ^ {\ ast}}$ $e_{1},\ldots,e_{n}$ $\dim L^{*}=n$
Si la dimensión es finita, entonces es isomorfa , pero en el caso de dimensión infinita, este no es el caso. En el caso de dimensión finita, el segundo espacio dual se identifica naturalmente con el espacio original [3] . En el caso de dimensión infinita, la condición de que el espacio sea isomorfo no es trivial; tales espacios se denominan reflexivos [4] . ${\ estilo de visualización \ dim L}$ ${\ estilo de visualización L ^ {\ ast}}$ $L$ ${\ estilo de visualización (L^{\ ast})^{\ ast))$ $L$ $L$ ${\ estilo de visualización (L^{\ ast})^{\ ast))$
El núcleo de una forma lineal (funcional lineal) es un subespacio vectorial. Si el espacio es de dimensión finita, entonces el núcleo de una forma lineal que no es idénticamente cero es un hiperplano en . En particular, para el núcleo de la forma lineal , donde , es un plano en el espacio tridimensional, y los coeficientes son las coordenadas del vector normal del plano. $L$ $L$ ${\ estilo de visualización \ dim L = 3}$ $\Phi (x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=0$ $|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|\neq 0$ $ai}$

Conceptos relacionados

En el estudio de espacios de funciones de dimensión infinita, los funcionales lineales continuos , también llamados funciones generalizadas , juegan un papel especial . La propiedad de continuidad de una funcional lineal depende de la clase de funciones (espacio) sobre las que actúa. Por lo tanto, es fácil ver que algunos de los funcionales anteriores no son continuos cuando actúan sobre funciones discontinuas (tales ejemplos se pueden dar fácilmente). Sin embargo, en espacios separables —es decir, en el caso más común y constructivamente desarrollado— son todos continuos.
El teorema de representación de Rees establece que todo funcional lineal continuo en un espacio de Hilbert se puede representar de manera similar a través del producto escalar con algún elemento de este espacio. $(*)$
Usando funciones generalizadas , en particular la función delta de Dirac y sus derivadas, muchas funciones lineales, en particular de las dadas como ejemplos anteriores, pueden representarse como funciones integrales , por ejemplo:

\Phi (f)=f(1)-f(0)=\int _{-\infty}^{+\infty}\delta (x-1)f(x)dx-\int_{ -\infty }^{+\infty }\delta (x-0)f(x)dx=\int _{-\infty }^{+\infty }(\delta (x-1)-\delta (x ))f(x)dx

. En la definición abstracta habitual de una función generalizada, se define simplemente como un funcional lineal continuo (en el sentido y la notación tradicionales, el funcional se genera por integración implícita con una función generalizada).

Véase también

Literatura

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Álgebra lineal y geometría, - M .: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, Fizmatlit, Moscú, 2009.
Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, - M .: Nauka, 1965.
Kantorovich L. V. , Akilov G. P. , Análisis funcional, 1ª ed., M., 1977.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - Cualquier edición.

Notas

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. - cap. III, § 3.7. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. - cap. III, pág. 131. - M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. - cap. III, pág. 132. - M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - Cualquier edición.