Partido de matemáticas

La coincidencia matemática es una situación en la que dos expresiones dan casi los mismos valores, aunque esta coincidencia no puede explicarse teóricamente de ninguna manera. Por ejemplo, existe una afinidad por el número redondo 1000 expresado como potencia de 2 y como potencia de 10: . Algunas coincidencias matemáticas se usan en ingeniería cuando una expresión se usa como una aproximación de otra. ${\ estilo de visualización 2 ^ {10} = 1024 \ aproximadamente 1000 = 10 ^ {3}}$

Introducción

La coincidencia matemática a menudo se asocia con números enteros , y los ejemplos sorprendentes ("aleatorios") reflejan el hecho de que los números reales que ocurren en algunos contextos resultan ser, según algunos estándares, una aproximación "cercana" de números enteros pequeños, o una potencia de diez. , o, más generalmente, un número racional con un denominador pequeño . Otro tipo de coincidencia matemática, como números enteros que satisfacen simultáneamente varios criterios aparentemente no relacionados, o coincidencias relacionadas con unidades de medida. En la clase de coincidencias puramente matemáticas, algunos resultados simples tienen una base matemática profunda, mientras que otros aparecen "de la nada".

Dado un número contable de formas de formar expresiones matemáticas utilizando un número finito de símbolos, hacer coincidir el número de símbolos utilizados y la precisión de la aproximación puede ser la forma más obvia de obtener una coincidencia matemática. Sin embargo, no existe un estándar, y la ley fuerte de los números pequeños es el tipo de argumento al que uno recurre cuando no hay una comprensión matemática formal. Se necesita cierto sentido matemático estético para decidir sobre el significado de una coincidencia matemática, ya sea una ocurrencia excepcional o un hecho matemático importante (por ejemplo, la constante de Ramanujan a continuación sobre una constante que apareció impresa hace unos años como un broma científica del día de los inocentes [1] ). En resumen, estas coincidencias se consideran para su curiosidad o para el estímulo de los amantes de las matemáticas en un nivel elemental.

Algunos ejemplos

Aproximaciones racionales

A veces, las aproximaciones racionales simples están excepcionalmente cerca de valores irracionales interesantes. El hecho puede explicarse en términos de representar valores irracionales como fracciones continuas , pero a menudo no está claro por qué suceden estas increíbles coincidencias.

A menudo se utiliza la aproximación racional (por fracciones continuas) al cociente de los logaritmos de varios números, lo que da una coincidencia (aproximada) de las potencias de estos números [2] .

Algunas coincidencias con el número : $\Pi$

el primer convergente del número , [3; 7] = 22/7 = 3,1428…, conocido desde la época de Arquímedes [3] , y da una precisión de alrededor del 0,04%. El tercer convergente, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929… hallado por Zu Chongzhi [4] es correcto con seis decimales [3] . Esta alta precisión se debe al hecho de que el siguiente término de la fracción continua tiene un valor inusualmente grande: = [3; 7, 15, 1, 292, …] [5] ; $\Pi$ $\Pi$
la coincidencia, en la que también participa la sección áurea φ, viene dada por la fórmula . Esta relación está relacionada con el triángulo de Kepler ; algunos investigadores creen que esta coincidencia se encuentra en las pirámides de Giza , pero es extremadamente improbable que sea deliberada [6] ; $\Pi$ ${\ estilo de visualización \ pi \ aproximadamente 4/{\ sqrt {\ varphi}} = 3.1446 \ puntos}$
hay una secuencia de seis nueves que comienza en la posición 762 de la representación decimal del número . Para un número normal elegido al azar , la probabilidad de cualquier secuencia elegida de seis dígitos (por ejemplo, 658020) es rara en notación decimal, solo 0,08 %. Existe la conjetura de que es un número normal, pero esto no ha sido probado; $\Pi$ $\Pi$
${\frac {5}{6}}\pi \approx\varphi^{2}$ ; correcto dentro de 0.002%.

Coincidencias de $mi$ números :

la secuencia de dígitos "1828" se repite dos veces cerca del comienzo de la representación decimal del número = 2,7 1828 1828…. [7] ; $mi$
existe una secuencia de números "99 999 999" entre los primeros 500 mil caracteres del número [8] . $mi$

La coincidencia también es muy utilizada , corrige con una precisión del 2,4%. Aproximación racional , o coincide con una precisión del 0,3%. Esta coincidencia se utiliza en cálculos de ingeniería para aproximar el doble de la potencia a 3 decibelios (el valor real es 3,0103 dB, el punto de media potencia ), o para convertir kibibytes en kilobytes [9] [10] . La misma coincidencia se puede reescribir como (quitar el factor común , para que el error relativo permanezca igual, 2,4%), que corresponde a una aproximación racional , o (también dentro del 0,3%). Esta combinación se utiliza, por ejemplo, para establecer velocidades de obturación en cámaras como una aproximación de potencias de dos (128, 256, 512) en la secuencia de velocidades de obturación 125, 250, 500, etc. [2] . ${\ estilo de visualización 2 ^ {10} = 1024 \ aproximadamente 1000 = 10 ^ {3}}$ $\textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\approx 3{,}3219\approx {\frac {10}{3}}$ ${\ estilo de visualización 2 \ aproximadamente 10 ^ {3/10}}$ ${\ estilo de visualización 128 = 2 ^ {7} \ aproximadamente 5 ^ {3} = 125}$ $2^3$ $\textstyle {\frac {\log 5}{\log 2))\approx 2.3219\approx {\frac {7}{3))$ ${\ estilo de visualización 2 \ aproximadamente 5 ^ {3/7}}$

Coincidencia con intervalos musicales

Coincidencia , generalmente utilizada en música al afinar 7 semitonos de una escala de temperamento igual en una quinta pura de una escala natural : , que coincide con una precisión del 0,1 %. La quinta justa es la base del sistema pitagórico y es el sistema más común en la música. De la aproximación resultante se sigue que el círculo de quintas termina siete octavas por encima del comienzo [2] . ${\ estilo de visualización 2 ^ {19} \ aproximadamente 3 ^ {12}}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}\aprox. 1,5849\puntos \aprox. {\frac {19}{12}}$ ${\ estilo de visualización 2 ^ {7/12} \ aproximadamente 3/2;}$ ${\ estilo de visualización {(3/2)}^{12}\aproximadamente 2^{7))$

El partido da como resultado una versión racional de los trastes 12-TET, como lo señaló Johann Kirnberger . ${\sqrt[{12}]{2}}{\sqrt[{7}]{5}}=1,33333319\ldots \approx {\frac {4}{3}}$

La coincidencia conduce a una versión racional del temperamento de tono medio de 1/4 de coma . ${\sqrt[{8}]{5}}{\sqrt[{3}]{35}}=4.00000559\ldots \aproximadamente 4$

El partido conduce a un intervalo muy pequeño (alrededor de un milicent ). ${\sqrt[{9}]{0.6}}{\sqrt[{28}]{4.9}}=0.99999999754\ldots \aproximadamente 1$ ${\ estilo de visualización 2^{9}3^{-28}5^{37}7^{-18}}$

Emparejar con una potencia de 2 da como resultado tres tercios mayores que forman una octava, . Esta y otras aproximaciones similares en música se denominan troqueles . ${\ estilo de visualización {(5/4)}^{3} \ aproximadamente {2/1}}$

Expresiones numéricas

Expresiones con potencias : $\Pi$

${\ estilo de visualización \ pi ^ {2} \ aproximadamente 10}$ con una precisión de alrededor del 1,3% [11] Esto se puede entender en términos de la fórmula de la función zeta [12] , esta coincidencia se utilizó en el desarrollo de reglas de cálculo cuando la escala comienza con y no con ; ${\ estilo de visualización \ zeta (2) = \ pi ^ {2}/6}$ $\Pi$ ${\ sqrt {10}}$
${\ estilo de visualización \ pi ^ {2} \ aproximadamente 227/23}$ precisión de 0.0004% [11] ;
${\ estilo de visualización \ pi ^ {3} \ aproximadamente 31}$ precisión de 0,02%;
${\sqrt[{5}]{\pi ^{3}+1}}\aproximadamente 2$ precisión de 0.004%;
$\pi \approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4}$ o [13] a 8 decimales [14] ; ${\ estilo de visualización 22 \ pi ^ {4} \ aproximadamente 2143}$

{\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22))}=3,1415926525\puntos

;

{\ estilo de visualización {\ sqrt [{5}] {306}} = 3.14155 \ puntos}

;

{\sqrt[{6}]{\frac {17305}{18))}=3,1415924\puntos

;

{\sqrt[{7}]{\frac {21142}{7))}=3,14159\puntos

;

Algunas conexiones plausibles se hacen con un alto grado de precisión, pero siguen siendo coincidencias. Un ejemplo es:

\int_{0}^{\infty}\cos(2x)\prod_{n=1}^{\infty}\cos \left({\frac {x}{n))\right) \mathrm {d} x\approx {\frac {\pi }{8}}

Los dos lados de esta expresión difieren solo en el lugar decimal 42 [15] .

Expresiones con potencias y : $\Pi$ $mi$

${\displaystyle \pi ^{4}+\pi ^{5}\approx e^{6))$ , con una precisión de 0.000 005% [13] ;
${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{3}e^{\pi ))))$ muy cerca de 5, alrededor de 0,008% de precisión;
${3}^{\frac{\pi +e}{4))$ muy cerca de 5, precisión alrededor de 0.000 538% [16] ;
$e^{\pi }-\pi \approx 19.99909998$ muy cerca de 20 [17] , esta coincidencia es equivalente a [13] ; $(\pi +20)^{i}=-0.9999999992\ldots -i\cdot 0.000039\ldots \approx -1$
$\pi ^{3^{2}}/e^{2^{3}}=9.9998\ldots \aproximadamente 10$ [13] .

Expresiones con , y 163: $\Pi$ $mi$

${163}\cdot (\pi -e)\aproximadamente 69$ con una precisión de 0.0005%] [13] ;
${\frac {163}{\ln 163}}\aproximadamente 2^{5}$ con una precisión de 0.000004%] [13] ;
La constante de Ramanujan :precisión, descubierta en 1859 por Charles Hermite [18] , no es una coincidencia matemática aleatoria inexplicable, ya que es consecuencia del hecho de que 163 es un número de Hegner . $e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx (2^{6}\cdot 10005)^{3}+744$ $2,9\cdot 10^{-28}\%$

Expresión con logaritmos:

$\ln 2\approx \left({\frac {2}{5}}\right)^{\frac {2}{5}}$ (precisión 0.00024%).

Al discutir la paradoja del cumpleaños , surge un número que es "gracioso" igual a hasta 4 dígitos [19] . $\lambda ={\frac {1}{365}}{23 \elegir 2}={\frac {253}{365}}$ ${\ estilo de visualización \ ln (2)}$

Coincidencias numéricas en el mundo físico

Seis semanas de duración

¡El número de segundos en seis semanas, o 42 días, es exactamente 10! ( factorial ) segundos (desde , y ). Muchos han notado esta coincidencia, en particular el número 42 es significativo en la novela La guía del autoestopista galáctico de Douglas Adams . ${\ estilo de visualización 24 = 4!}$ $42=6\cdot 7$ $60^{2}=5\cdot 8\cdot 9\cdot 10$

La velocidad de la luz

La velocidad de la luz (por definición) es exactamente 299.792.458 m/s, muy cerca de los 300.000.000 m/s. Esto es pura coincidencia, ya que el metro se definió originalmente como 1/ 10,000,000 de la distancia entre el polo terrestre y el ecuador al nivel del mar, la circunferencia de la tierra era aproximadamente 2/15 de un segundo luz [20] .

Aceleración gravitacional

Al no ser constante, sino dependiente de la latitud y la longitud , el valor numérico de la aceleración de caída libre en la superficie se encuentra entre 9,74 y 9,87, que es bastante cercano a 10. Esto significa que, como resultado de la segunda ley de Newton, el peso de un kilogramo de masa en la superficie terrestre de la Tierra corresponde a aproximadamente 10 newtons aplicados al objeto de fuerza [21] .

Esta coincidencia en realidad está relacionada con la mencionada coincidencia del cuadrado con 10. Una de las primeras definiciones del metro es la longitud del péndulo, cuyo período de oscilación es de dos segundos. Dado que el período de oscilación total viene dado aproximadamente por la siguiente fórmula, después de los cálculos algebraicos, obtenemos que la constante gravitatoria es igual al cuadrado [22] $\Pi$ $\Pi$

{\ Displaystyle T \ aproximadamente 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}}}

Cuando se descubrió que la circunferencia de la Tierra estaba muy cerca de los 40.000.000 de metros, se cambió la definición del metro para reflejar este hecho, ya que era un estándar más objetivo (la constante gravitatoria en la superficie de la Tierra no es constante). Esto condujo a un aumento en la longitud del metro de poco menos del 1%, que cayó dentro de los límites de los errores de medición experimentales.

Otra coincidencia es que el valor de g , que es de aproximadamente 9,8 m/s 2 , es igual a 1,03 años luz /año 2 , que es cercano a 1. Esta coincidencia se debe a que g es cercano a 10 en unidades SI (m/s 2 ), como se mencionó anteriormente, junto con el hecho de que el número de segundos en un año es cercano al valor numérico c /10, donde c es la velocidad de la luz en m/s.

Constante de Rydberg

La constante de Rydberg multiplicada por la velocidad de la luz y expresada como frecuencia está cerca de Hz: [20] ${\frac {\pi ^{2}}{3}}\times 10^{15}$

{\subrayado {3,2898}}41960364(17)\times 10^{15}

Hz [23] .

=R_{\infty}c

{\subrayado {3,2898}}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{3}}

Constante de estructura fina

La constante de estructura fina está cerca de y se planteó la hipótesis de que es exactamente igual a . $\alfa$ ${\frac{1}{137}}$ ${\frac{1}{137}}$

{\ estilo de visualización \ alfa = {\ frac {1} {137,035999074 \ puntos}}}

Aunque esta coincidencia no es tan estricta como algunas de las anteriores, es notable que es una constante adimensional , por lo que esta coincidencia no está relacionada con la unidad utilizada. $\alfa$

Véase también

Notas

↑ Gardner, 2001 , pág. 674–694.
↑ 1 2 3 Schroeder, 2008 , pág. 26–28.
↑ 1 2 Beckmann, 1971 , pág. 101, 170.
↑ Mikami, 1913 , pág. 135.
↑ Weisstein, 2003 , pág. 2232.
↑ Herz-Fischler, 2000 , pág. 67.
↑ En 1828 nació León Tolstoi, esto te permite recordar el número e con una precisión de 10 caracteres.
↑ El número e a 1 millón de dígitos . NASA. Fecha de acceso: 14 de febrero de 2017. Archivado desde el original el 2 de julio de 2017. (indefinido)
↑ Beucher, 2008 , pág. 195.
↑ Ayob, 2008 , pág. 278.
↑ 1 2 Frank Rubin, The Contest Center - Pi Archivado el 8 de octubre de 2017 en Wayback Machine .
↑ ¿Por qué está tan cerca de 10? $\pi^{2}$ Archivado el 9 de agosto de 2017 en Wayback Machine (¿Por qué tan cerca de 10?), Noam Elkies $\pi^{2}$
↑ 1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. Almost Integer (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ según Ramanujan : Quarterly Journal of Mathematics , XLV, 1914, pp. 350-372. Ramanujan argumenta que esta "curiosa aproximación" fue "obtenida empíricamente" y no tiene conexión con la teoría desarrollada en el artículo. $\Pi$
↑ Copia archivada (enlace no disponible) . Consultado el 25 de febrero de 2017. Archivado desde el original el 20 de julio de 2011. (indefinido)
↑ Joseph Clarke, 2015)
↑ Conway, Sloane, Arado, 1988
↑ Carretilla, 2002 .
↑ Arratia, Goldstein, Gordon, 1990 , pág. 403–434.
↑ 1 2 Michon, Gérard P. Coincidencias numéricas en números hechos por el hombre . Milagros matemáticos . Consultado el 29 de abril de 2011. Archivado desde el original el 22 de octubre de 2017. (indefinido)
↑ Leduc, 2003 , pág. 25
↑ ¿Qué tiene que ver Pi con la gravedad? . Por cable (8 de marzo de 2013). Consultado el 15 de octubre de 2015. Archivado desde el original el 10 de noviembre de 2017. (indefinido)
↑ NIST .

Literatura

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Enlaces

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Hardy, G. H. - La disculpa de un matemático . — Nueva York: Cambridge University Press, 1993, ( ISBN 0-521-42706-1 )
Weisstein, Eric W. Almost Integer (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Varias coincidencias matemáticas en la sección "Ciencia y Matemáticas" de futilitycloset.com
Press, WH, Las coincidencias matemáticas aparentemente notables son fáciles de generar