Dibujante Shura

El multiplicador de Schur es la segunda homología de grupo del grupo G . Fue introducido por Isai Shur [1] en su trabajo sobre representaciones proyectivas $H_{2}(G,\mathbb {Z} )$ .

Ejemplos y propiedades

El multiplicador de Schur de un grupo finito G es un grupo abeliano finito cuyo exponente divide el orden del grupo G. Si un p -subgrupo de Sylow de G es cíclico para algún p , entonces el orden no es divisible por p . En particular, si todos los p -subgrupos de Sylow de G son cíclicos, entonces es trivial. ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {M} (G)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {M} (G)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {M} (G)}$

Por ejemplo, el multiplicador de Schur de un grupo no abeliano de orden 6 es un grupo trivial , ya que cualquier subgrupo de Sylow es cíclico. El multiplicador de Schur de un grupo abeliano elemental de orden 16 es un grupo abeliano elemental de orden 64, lo que demuestra que el multiplicador puede ser estrictamente mayor que el propio grupo. El multiplicador de Schur de un grupo de cuaterniones es trivial, mientras que el multiplicador de Schur de diédricos de 2 grupos es de orden 2.

Los multiplicadores de Schur de grupos simples finitos se definen sobre grupos simples finitos . Los grupos de cobertura de grupos alternos y simétricos han recibido recientemente una atención considerable.

Conexión con representaciones proyectivas

La razón inicial para estudiar los multiplicadores de Schur fue la clasificación de las representaciones proyectivasgrupos, y la formulación moderna de su definición es la segundacohomología de grupos . Una representación proyectiva es muy similar auna representación de grupo, excepto que en lugar de un homomorfismo a ungrupo linealse tomahomomorfismoa unlineal completo proyectivo. En otras palabras, la representación proyectiva es la representación móduloel centro. $H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times})$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {GL} (n, \ mathbb {C})}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {PGL} (n, \ mathbb {C})}$

Schur [1] [2] mostró que cualquier grupo finito G tiene al menos un grupo finito C asociado , llamado cubierta de Schur , con la propiedad de que cualquier representación proyectiva de G puede elevarse a una representación ordinaria de C. Un revestimiento de Schur también se conoce como grupo de revestimiento . Se conocen recubrimientos de Schur de grupos simples finitos y cada uno es un ejemplo de un grupo cuasi simple . La cobertura de Schur de un grupo perfecto está definida únicamente hasta el isomorfismo, pero la cobertura de Schur de un grupo finito general solo está definida hasta el isoclinismo .

Relación con extensiones centrales

El estudio de tales grupos de cobertura conduce naturalmente al estudio de las extensiones centrales y de tallo .

La extensión central del grupo G es la extensión

1\a K\a C\a G\a 1

donde es un subgrupo del centro del grupo C . $K\leqslant Z(C)$

La extensión de raíz del grupo G es la extensión

1\a K\a C\a G\a 1

donde es el subgrupo de intersección del centro C y el subgrupo derivado del grupo C . Esto es más restrictivo que el centro [3] . $K\leqslant Z(C)\cap C'$

Si el grupo G es finito y solo se consideran las extensiones de tallo, entonces existe el tamaño más grande de dicho grupo C , y para cualquier grupo C de este tamaño, el subgrupo K es isomorfo al multiplicador de Schur del grupo G. Si un grupo finito G es, además, perfecto , entonces C es único hasta el isomorfismo y es él mismo perfecto. Tal grupo C a menudo se denomina extensiones centrales perfectas universales del grupo G , o un grupo de cobertura (ya que es el análogo discreto del espacio de cobertura universal en topología). Si un grupo finito G no es perfecto, entonces los grupos de sus cubiertas de Schur (todos esos Cs de orden máximo) son solo isoclínicas .

El grupo también se denomina más brevemente la extensión central universal , pero tenga en cuenta que no existe la mayor extensión central, ya que el producto directo de un grupo G y un grupo abeliano forma una extensión central del grupo G de tamaño arbitrario.

Las extensiones de vástago tienen la propiedad interesante de que cualquier levantamiento del grupo electrógeno de un grupo G es un grupo electrógeno de C. Si un grupo G se define en términos de un grupo libre F en un conjunto de generadores y un subgrupo normal R se genera mediante un conjunto de enlaces en los generadores tales que , entonces el grupo de cobertura se puede representar en términos de F , pero con un subgrupo normal más pequeño S , es decir, . Dado que las relaciones de G determinan los elementos de K , cuando se los considera como parte de C , debe cumplirse . $G\cong F/R$ $C\cong F/S$ $S\leqslant [F,R]$

De hecho, si G es perfecto, eso es todo lo que se necesita: C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] y M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ]. Debido a esta simplicidad, exposiciones como las del artículo de Aschbacher [4] tratan primero el caso perfecto. El caso general para el multiplicador de Schur es similar, pero la consideración asegura que la extensión sea una extensión de raíz al restringirse al subgrupo generado F : M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]. Todos estos son resultados un poco más recientes de Schur, quien también proporcionó algunos criterios útiles para calcular múltiplos de manera más explícita.

Relación con las representaciones efectivas

En la teoría de grupos combinatoria , los grupos a menudo se describen mediante una asignación de grupo . Un tema importante en esta área de las matemáticas es el estudio de asignaciones con la menor cantidad de conexiones posible, como los grupos Baumslag-Solitaire con una relación definitoria. Estos grupos son grupos infinitos con dos generadores y una relación, y el viejo resultado de Schreier muestra que cualquier tarea con más generadores que relaciones produce un grupo infinito. Entonces, el caso de los límites es interesante: cuando los grupos finitos tienen el mismo número de generadores y relaciones, y en este caso dicen que el grupo tiene cero defectos . Para que un grupo tenga defecto cero, el grupo debe tener un multiplicador de Schur trivial, ya que el número mínimo de generadores de multiplicadores de Schur siempre es menor o igual a la diferencia entre el número de relaciones y el número de generadores, lo que da un defecto negativo. . Un grupo efectivo es un grupo en el que el multiplicador de Schur requiere muchos generadores [5] .

Un tema de investigación muy reciente es encontrar representaciones eficientes para todos los grupos simples finitos con multiplicadores de Schur triviales. Tales representaciones son agradables en cierto modo, ya que suelen ser cortas, pero difíciles de encontrar y de trabajar con ellas, ya que no se adaptan a métodos estándar como la enumeración de clases laterales .

Relación con la topología

En topología , los grupos a menudo se pueden describir como asignaciones de grupos finitos , y la cuestión fundamental es calcular su homología integral completa . En particular, la segunda homología juega un papel especial y esto llevó a Heinz Hopf a encontrar un método eficiente para calcularla. El método descrito en el artículo de Hopf [6] también se conoce como fórmula de homología integral de Hopf y esta fórmula es idéntica a la fórmula de Schur para el multiplicador de Schur de un grupo finito: $H_{n}(G,\mathbb {Z} )$

H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]

donde y F es un grupo libre . La misma fórmula también es cierta cuando G es un grupo perfecto [7] . $G\cong F/R$

El darse cuenta de que estas fórmulas son en realidad las mismas llevó a Samuel Eilenberg y Saunders MacLane a crear la cohomología de grupo . En su sentido general,

H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{* }

donde el asterisco significa el grupo algebraicamente dual. Además, cuando el grupo G es finito, hay un isomorfismo no natural

{\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times}){\bigr)}^{*}\cong H^{2}(G,\mathbb {C } ^{\veces}).

La fórmula de Hopf para se ha generalizado a dimensiones superiores. Para un enfoque y para la bibliografía, véase Iveret, Grahn y Van der Linden [8] . ${\ estilo de visualización H_ {2} (G)}$

Un grupo perfecto es un grupo cuya primera homología integral es cero. Un grupo superperfecto es un grupo, los dos primeros grupos de homología integral son cero. Los recubrimientos de Schur de grupos perfectos finitos son superperfectos. Un grupo acíclico es un grupo en el que todas las homologías integrales reducidas son cero.

Aplicaciones

El segundo grupo K algebraico K 2 ( R ) de un anillo conmutativo R se puede identificar con el segundo grupo de homología H 2 ( E ( R ), Z ) del grupo E ( R ) de matrices elementales (infinitas) con elementos de R [9] .

Véase también

Grupo cuasi-simple

El artículo de Miller [10] ofrece otra visión del multiplicador de Schur como el núcleo del morfismo κ: G ∧ G → G generado por el mapa del conmutador.

Notas

↑ 12 Schur , 1904 .
↑ Schur, 1907 .
↑ Rotman, 1994 , pág. 553.
↑ Aschbacher, 2000 , pág. §33.
↑ Johnson y Robertson 1979 , pág. 275–289.
↑ Hopf, 1942 .
↑ Rosenberg, 1994 , pág. Teoremas 4.1.3, 4.1.19.
↑ Everaert, Gran, Van der Linden, 2008 , pág. 2231–67.
↑ Rosenberg, 1994 , pág. Corolario 4.2.10.
↑ Molinero, 1952 .

Literatura

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