Polinomio irreducible

Un polinomio irreducible es un polinomio que no se puede descomponer en polinomios no triviales (es decir, no constantes). Los polinomios irreducibles son elementos irreducibles de un anillo de polinomios .

La propiedad de irreductibilidad depende del anillo (campo) de coeficientes (ver la sección de ejemplos).

Definición

Se dice que un polinomio en variables sobre un cuerpo es irreducible sobre un cuerpo si es un elemento simple del anillo , es decir, no es una constante y no se puede representar como un producto , donde y son polinomios con coeficientes de , que son diferentes de las constantes. $p(x_{1},x_{2},..,x_{n})$ $norte$ $k$ $k$ $k[x_{1},x_{2},..,x_{n}]$ $p=qr$ $q$ $r$ $k$

Un polinomio que es irreducible sobre un anillo integral se define de manera similar .

Se dice que un polinomio es absolutamente irreducible si es irreducible sobre la clausura algebraica del campo de coeficientes. Los polinomios absolutamente irreducibles de una variable son polinomios de primer grado y solo ellos. En el caso de varias variables, hay polinomios absolutamente irreducibles de grado arbitrariamente alto, por ejemplo, cualquier polinomio de la forma

p(x_{1},x_{2},..,x_{{n-1}})+x_{n}

absolutamente irreductible.

Las raíces de un polinomio irreducible se llaman conjugadas .

Propiedades

El anillo de polinomios es factorial : cualquier polinomio se descompone en un producto de polinomios irreducibles, y esta descomposición está definida de manera única hasta factores constantes y el orden de los factores. $k[x_1,x_2..,x_n]$
En el campo de los números reales, cualquier polinomio irreducible en una variable tiene grado 1 o 2, y un polinomio de segundo grado es irreducible si y solo si tiene un discriminante negativo . De hecho, cualquier polinomio real que no tenga raíces reales (lo que es posible solo para grados pares) tiene al menos una raíz puramente compleja , y luego la raíz de este polinomio es el elemento conjugado con esta raíz ; por tanto, este polinomio es divisible por el polinomio real , que para un polinomio de grado 3 o superior significa reducible. $z$ ${\overline {z}}\neq z$ $(xz)(x-{\overline {z)))$
Sobre cualquier campo de números algebraicos existe un polinomio irreducible de cualquier grado predeterminado; por ejemplo, el polinomio , donde y es un número primo, es irreducible debido al criterio de Eisenstein . $x^{n}+px+p$ $n>1$ $pags$
Un polinomio irreducible sobre un campo de característica 0 no puede tener raíces múltiples ni en este campo ni en ninguna de sus extensiones.
Si es un campo finito de elementos y es un número natural, entonces existe al menos un polinomio irreducible de grado n de . $k=F_{q}$ $q$ $norte$ $k[x]$
Suponga que es un anillo integralmente cerrado con un campo de cocientes (por ejemplo , y ) y es un polinomio de una variable con coeficiente principal 1, luego en , y y tiene coeficiente principal 1, luego . $A$ $k$ $A=\matemáticas{Z}$ $k={\mathbb Q}$ $p\en A[x]$ $p=qr$ $k[x]$ $q$ $r$ $q,r\en A[x]$
Criterio de reducción por irreductibilidad. Sea dado un homomorfismo de dominios de integridad . Si el grado del polinomio coincide con el grado del polinomio y es irreducible sobre el campo de cocientes , entonces no hay descomposición donde y son diferentes de una constante. $\sigma :A\a B$ $\sigma (pag)$ $pags$ $\sigma (pag)$ $B$ $p=qr$ $p,r\en A[x]$
- Por ejemplo, un polinomio con un coeficiente principal es simple en (y por lo tanto irreducible en ) si el polinomio obtenido de la reducción de los coeficientes módulo un número primo es simple. $pags$ $una$ $\matemáticas {Z} [x]$ ${\mathbb Q}[x]$ $\sigma (pag)$ $pags$

Ejemplos

Los siguientes cinco polinomios demuestran algunas propiedades elementales de los polinomios irreducibles:

p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2))

p_{2}(x)=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}

p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)

p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\raíz cuadrada {2)))(x+{\raíz cuadrada {2)))

p_{5}(x)=x^{2}+1\,={(xi)(x+i)}

, donde .

{\ estilo de visualización yo ^ {2}}

{\ estilo de visualización = {-1}}

Sobre el anillo de los enteros, los dos primeros polinomios son reducibles, los dos últimos son irreducibles. (El tercero no es un polinomio sobre enteros). $\matemáticas {Z}$

Sobre el campo de los números racionales, los primeros tres polinomios son reducibles, los otros dos son irreducibles. $\matemáticas {Q}$

Sobre el campo de los números reales, los primeros cuatro polinomios son reducibles, pero son irreducibles. En el campo de los números reales, los polinomios lineales y los polinomios cuadráticos sin raíces reales son irreducibles. Por ejemplo, la expansión de un polinomio en el campo de los números reales tiene la forma . Ambos factores en esta expansión son polinomios irreducibles. $\matemáticas {R}$ $p_{5}(x)$ $x^{4}+1$ $(x^{2}+{\raíz cuadrada {2}}x+1)(x^{2}-{\raíz cuadrada {2}}x+1)$

En el campo de los números complejos, los cinco polinomios son reducibles. De hecho, todo polinomio no constante sobre se puede factorizar de la forma: ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $p(x)$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

p(x)=a(x-z_{1})\cdots (x-z_{n})

donde es el grado del polinomio , es el coeficiente principal, son las raíces de . Por lo tanto, los únicos polinomios irreductibles son polinomios lineales ( Teorema fundamental del álgebra ). $\norte$ $\a$ $\ z_{1},\ldots,z_{n}$ $\p(x)$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

Campos finales

Los polinomios con coeficientes enteros que son irreducibles sobre un cuerpo pueden ser reducibles sobre un cuerpo finito . Por ejemplo, el polinomio es irreducible sobre , pero sobre un campo de dos elementos tenemos: $\matemáticas {Q}$ $x^{2}+1$ $\matemáticas {Q}$ $\mathbb {F} _{2}$

{\ estilo de visualización (x^{2}+1)=(x+1)^{2}.}

Literatura

Van der Waerden B. L. Álgebra. — M .: Mir, 1976. — 648 p.
Leng S. Álgebra. — M .: Mir, 1968.
Zarissky O., Samuel P. Álgebra conmutativa. — M .: IL, 1963.