Orden 4 nido de abeja octaédrico

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mosaico octaédrico orden de panal 4
Proyección en perspectiva en el modelo de Poincaré
Tipo de	Panales regulares hiperbólicos Panales homogéneos paracompactos
Símbolos Schläfli |{3,4,4} {3,4 1,1 }
Diagramas de Coxeter-Dynkin	↔ ↔ ↔
células	octaedro {3,4}
facetas	triángulo {3}
figura de borde	cuadrado {4}
figura de vértice	Parqué cuadrado , {4,4}
panales dobles	Panales de mosaico cuadrados , {4,4,3}
grupos de coxeter	[4,4,3] [3,4 1,1 ]
Propiedades	correcto

En un espacio hiperbólico de dimensión 3, los panales octogonales de orden 4 son panales paracompactos regulares. Se llaman paracompactas , ya que tienen figuras de vértices infinitos con todos los vértices como puntos ideales en el infinito. Si un poliedro está dado por el símbolo de Schläfli {3,4,4}, tiene cuatro octaedros {3,4} alrededor de cada borde y un número infinito de octaedros alrededor de cada vértice en el parquet cuadrado {4,4}, como el ubicación de los vértices [1 ] .

Los panales geométricos son poliedros que llenan espacios o celdas de dimensiones más altas. El llenado se produce para que no haya espacios entre ellos. Este es un ejemplo del concepto matemático más general de mosaico o mosaico en un espacio de cualquier dimensión.

Los panales generalmente se construyen en el espacio euclidiano ("plano") habitual como panales uniformes convexos . También se pueden construir en espacios no euclidianos , como el panal hiperbólico homogéneo . Cualquier poliedro uniforme finito se puede proyectar sobre su esfera circunscrita para formar panales uniformes en el espacio esférico.

Simetría

La construcción con media simetría, [3,4,4,1 + ], existe como {3,4 1,1 }, con alternancia de dos tipos (colores) de celdas octaédricas.↔. Segunda construcción con media simetría , [3,4,1 + ,4]:↔. Existe un índice de simetría más alto, [3,4,4 * ], índice 8, con un dominio fundamental piramidal, [((3,∞,3)),((3,∞,3))]: .

Estas células contienen,mosaico 2 - superficies hipercíclicas como mosaicos paracompactoso

Poliedros y panales relacionados

El poliedro está incluido en 15 panales hiperbólicos regulares en el espacio tridimensional, 11 de los cuales, como estos panales, son paracompactos y tienen celdas infinitas o figuras de vértice.

11 peines regulares paracompactos
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Hay quince panales homogéneos en la familia [4,4,3] de los grupos de Coxeter , incluida esta forma homogénea.

Familia celular [4,4,3]

{4,4,3}	r{4,4,3}	t{4,4,3}	rr{4,4,3}	t 0,3 {4,4,3}	tr{4,4,3}	t 0,1,3 {4,4,3}	t0,1,2,3 { 4,4,3 }
{3,4,4}	r{3,4,4}	{3,4,4}	rr{3,4,4}	2t{3,4,4}	tr{3,4,4}	t 0,1,3 {3,4,4}	t0,1,2,3 { 3,4,4 }

Los panales forman parte de una secuencia de panales con una figura de vértice en forma de parquet cuadrado :

Panales {p,4,4}
Espacio	mi 3	H3 _
La forma	afín	paracompacto		no compacto
Nombre	{2,4,4}	{3,4,4}	{4,4,4}	{5,4,4}	{6,4,4}	.. {∞,4,4}
coxeter
Imagen
Células	{2,4}	{3,4}	{4,4}	{5,4}	{6,4}	{∞,4}

Los panales son parte de una secuencia de poliedros 4D regulares y panales con celdas octaédricas .

Poliedros {3,4,p}
Espacio	S3 _	H3 _
La forma	Final	paracompacto	no compacto
Nombre	{3,4,3}	{3,4,4}	{3,4,5}	{3,4,6}	{3,4,7}	{3,4,8}	... {3,4,∞}
Imagen
figura de vértice	{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}	{4,∞}

Panales rectangulares octogonales de orden 4

Panales octogonales rectangulares pedido 4
Tipo de	Panales homogéneos paracompactos
Símbolos Schläfli	r{3,4,4} o t 1 {3,4,4}
Diagramas de Coxeter-Dynkin	↔ ↔ ↔
células	r{4,3} {4,4}
facetas	triangular {3} cuadrado {4}
figura de vértice
grupos de coxeter	[4,4,3]
Propiedades	vértice transitivo

Panales octogonales rectificados de orden 4 , t 1 {3,4,4},tienen facetas en forma de cuboctaedro y parquet cuadrado , con una pirámide cuadrada como figura de vértice .

Panal octogonal truncado orden 4

Nido de abeja octogonal truncado orden 4
Tipo de	Panales homogéneos paracompactos
Símbolos Schläfli	t{3,4,4} o t 0,1 {3,4,4}
Diagramas de Coxeter-Dynkin	↔ ↔ ↔
células	{3,4} {4,4}
facetas	cuadrado {4} hexagonal {6}
figura de vértice
grupos de coxeter	[4,4,3]
Propiedades	vértice transitivo

Panal octogonal truncado orden 4 , t 0.1 {3,4,4},tienen facetas en forma de octaedro truncado y un parquet cuadrado con una pirámide cuadrada como figura de vértice .

Nido de abeja octogonal biselado orden 4

Nido de abeja octogonal biselado orden 4
Tipo de	Panales homogéneos paracompactos
Símbolos Schläfli	rr{3,4,4} o t 0,2 {3,4,4} s 2 {3,4,4}
Diagramas de Coxeter-Dynkin	↔
células	rr{3,4} r{4,4}
facetas	triángulo {3} cuadrado {4}
figura de vértice	prisma triangular
grupos de coxeter	[4,4,3]
Propiedades	vértice transitivo

Panales octogonales biselados de orden 4 , t 0.2 {3,4,4},tienen caras en forma de rombicuboctaedro y un parquet cuadrado con una figura de vértice en forma de prisma triangular .

Nido de abeja octogonal truncado biselado orden 4

Panales octogonales truncados oblicuamente orden 4
Tipo de	Panales homogéneos paracompactos
Símbolos Schläfli	tr{3,4,4} o t 0,1,2 {3,4,4}
Diagramas de Coxeter-Dynkin	↔
células	tr{3,4} r{4,4}
facetas	cuadrado {4} hexagonal {6} octogonal {8}
figura de vértice	tetraedro
grupos de coxeter	[4,4,3]
Propiedades	vértice transitivo

Panales octogonales truncados biselados de orden 4 , t 0,1,2 {3,4,4},tienen facetas en forma de cuboctaedro truncado y un parquet cuadrado con un tetraedro como figura de vértice .

Orden de nido de abeja octogonal truncado strug 4

Panal octogonal truncado orden 4
Tipo de	Panales homogéneos paracompactos
Símbolos Schläfli	t 0,1,3 {3,4,4}
Diagramas de Coxeter-Dynkin	↔
células	t{3,4} rr{4,4}
facetas	triángulo {3} cuadrado {4} octogonal {8}
figura de vértice	pirámide cuadrada
grupos de coxeter	[4,4,3]
Propiedades	vértice transitivo

Panales octogonales truncados de orden 4 , t 0,1,3 {3,4,4},tienen facetas en forma de octaedro truncado y un parquet cuadrado con una pirámide cuadrada como figura de vértice .

Orden 4 panales octogonales chatos

Pida 4 panales octogonales chatos
Tipo de	Panal isósceles paracompacto
Símbolos Schläfli	{3,4,4}
Diagramas de Coxeter-Dynkin	↔ ↔ ↔
células	parquet cuadrado icosaedro pirámide cuadrada
facetas	{3} {4}
figura de vértice
grupos de coxeter	[4,4,3 + ] [4 1,1 ,3 + ] [(4,4,(3,3) + )]
Propiedades	vértice transitivo

Panales octogonales chatos de orden 4 , s{3,4,4}, tienen un diagrama de Coxeter-Dynkin. Son panales isósceles con pirámides cuadradas , mosaicos cuadrados e icosaedros .

Véase también

• Panales homogéneos convexos en espacio hiperbólico
• Lista de poliedros y compuestos multidimensionales regulares

Notas

1. ↑ Coxeter, 1999 , pág. Capítulo 10, Cuadro III.

Literatura

• coxeter _ Tablas I y II: Politopos regulares y panales //Politopos regulares . — 3er. ed.. - Publicaciones de Dover, 1973. - págs  . 294-296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• coxeter _ Capítulo 10: Panales regulares en el espacio hiperbólico, tablas de resumen II, III, IV, V // La belleza de la geometría: doce ensayos . - Publicaciones de Dover, 1999. - S. 212-213. - ISBN 0-486-40919-8 .
• Jeffrey R. Semanas. Capítulo 16-17: Geometrías en Tres-variedades I,II // La Forma del Espacio. — 2do. — ISBN 0-8247-0709-5 .
• NW Johnson . Politopos uniformes. - (Manuscrito).
  • NW Johnson . La teoría de politopos uniformes y panales. - Universidad de Toronto, 1966. - (Tesis doctoral).
  • NW Johnson . Capítulo 13: Grupos hiperbólicos de Coxeter // Geometrías y Transformaciones. — 2015.
  • Norman W. Johnson, Asia Ivic Weiss. Enteros cuadráticos y Grupos de Coxeter  // Can. J. Matemáticas.. - 1999. - T. 51 , no. 6 _ - S. 1307-1336 .