La paradoja de Ehrenfest

La paradoja de Ehrenfest es un experimento mental que considera un disco girando a una velocidad cercana a la de la luz.

En sentido moderno, muestra la incompatibilidad de algunos conceptos de la mecánica clásica con la teoría especial de la relatividad, así como la posibilidad de diferentes definiciones de los conceptos de tiempo y distancia en marcos de referencia giratorios.

Esta paradoja fue propuesta por Ehrenfest en 1909 después de que Einstein desarrollara la teoría especial de la relatividad .

La esencia de la paradoja

Considere un círculo (o cilindro hueco ) que gira alrededor de su eje. Dado que la velocidad de cada elemento del círculo se dirige tangencialmente, entonces (el círculo) debe experimentar la contracción de Lorentz , es decir, su tamaño para un observador externo debe parecer más pequeño que su propia longitud .

Si un círculo tiene un radio , entonces, para un observador externo, su longitud es . $R$ $2 \ pi R$

Sin embargo, dada la contracción de Lorentz, la circunferencia propia será mayor:

l={\frac {2\pi R}{{\sqrt {1-(v/c)^{2))))}={\frac {2\pi R}{{\sqrt {1-\left (\displaystyle {\frac {\omega R}{c}}\right)^{2}}}}},

donde es la frecuencia circular , es la velocidad de la luz . $\omega$ $C$

Así, un círculo rígido inicialmente inmóvil, después de ser destrenzado, paradójicamente debe disminuir su radio para mantener su longitud.

De acuerdo con el razonamiento de Ehrenfest, un cuerpo absolutamente rígido no puede ponerse en movimiento de rotación [1] , ya que no debería haber compresión de Lorentz en la dirección radial. En consecuencia, el disco, que era plano en reposo , de alguna manera debe cambiar su forma cuando se desenrosca.

Análisis teórico

Rotación en relatividad

Considere dos sistemas de referencia con un eje común . Let es inercial y gira con una velocidad angular constante con respecto al eje . En el sistema de referencia , considere un círculo centrado en el origen en el plano . En el sistema de referencia , se puede considerar como un círculo con centro en el origen en el plano . Las medidas de la circunferencia y su diámetro en el sistema de acuerdo con la geometría euclidiana en el marco de referencia inercial darán su relación igual a . Las medidas de la circunferencia y su diámetro en el sistema , desde el punto de vista de un observador del sistema , debido a la contracción de Lorentz de la escala aplicada a lo largo del círculo y la invariancia de la escala aplicada radialmente, darán su relación menor que . Es decir, desde el punto de vista de un observador del sistema , la relación entre la circunferencia y el diámetro será mayor . Además, desde el punto de vista de un observador del sistema , el curso de un reloj ubicado en un círculo en el sistema se ralentizará debido a su movimiento relativo al sistema . Esto significa que en un marco de referencia no inercial, la métrica del espacio-tiempo no es euclidiana [2] [3] [4] . Desde el punto de vista del observador en el marco de referencia, la curvatura del espacio-tiempo se explica por el campo gravitatorio que actúa en este marco de referencia, desde el punto de vista del marco de referencia , por el movimiento acelerado de los puntos de referencia. el círculo ( el principio de equivalencia de las fuerzas gravitacionales y de inercia ). [2] [4] Una de las consecuencias de las conclusiones de este experimento mental es la imposibilidad en la teoría general de la relatividad de la inmovilidad mutua de un sistema de cuerpos, incluyendo la imposibilidad de la existencia de cuerpos absolutamente rígidos (paradoja de Ehrenfest) . [3] ${\ estilo de visualización K, K'}$ $z$ $k$ $K'$ $k$ $z$ $k$ $xy$ $K'$ ${\ estilo de visualización x'y'}$ $k$ $\Pi$ $K'$ $k$ $\Pi$ $K'$ $\Pi$ $k$ $K'$ $k$ $K'$ $K'$ $k$

El razonamiento de Ehrenfest muestra la imposibilidad de hacer girar un cuerpo absolutamente rígido (inicialmente en reposo).

Sin embargo, no refuta la existencia de discos rígidos que giran uniformemente. Sin embargo, su geometría espacial debe ser diferente de la euclidiana .

La descripción espacio-temporal de tal disco es posible utilizando las coordenadas de Born , sin embargo, el flujo de tiempo en él diferirá del galileano.

La velocidad del tiempo dependerá de la distancia al centro, y las velocidades de avance y retroceso de la luz en la dirección de rotación en las coordenadas de Born serán diferentes (ver también el efecto Sagnac ). Resulta imposible construir un sistema de coordenadas de espacio-tiempo ortogonal unido a un disco giratorio.

Sin embargo, resulta posible definir correctamente la distancia sobre un disco giratorio en el sentido de una métrica riemanniana .

Geometría de un disco giratorio

Usando las coordenadas de Born, podemos determinar nuestra propia distancia entre puntos muy cercanos [5] del disco. Pueden estar representados, por ejemplo, por moléculas o átomos vecinos en el metal del que está hecho el disco.

Localmente, la distancia resulta estar ordenada exactamente como creía Ehrenfest: a lo largo de los círculos, la distancia propia excede la distancia aparente exactamente de acuerdo con la ley de contracción de Lorentz, y en la dirección de los radios resulta ser invariable, es decir , igual a la diferencia de los radios.

Los cálculos muestran que un disco giratorio, aunque se supone que se encuentra en un plano, debe (en términos de su propia geometría) ser una superficie con curvatura negativa .

Si consideramos que el cuerpo giratorio considerado tiene un grosor, entonces a lo largo de él (es decir, en la dirección a lo largo del eje de rotación ), así como en las direcciones radiales, no hay diferencia entre las distancias naturales y aparentes. En coordenadas , por lo tanto, la métrica de las tres dimensiones del espacio se verá así: $(\varfi,\;r,\;z)$

{\frac {c^{2}\,r^{2}}{c^{2}-\omega ^{2}\,r^{2}}}\,d\varphi ^{2}+dr ^{2}+dz^{2}.

La paradoja de Ehrenfest y la relatividad general

La resolución de la "paradoja" en su forma moderna involucra aparatos matemáticos tales como coordenadas curvilíneas y geodésicas , características de la relatividad general . No obstante, aunque los conceptos de la relatividad general son bastante aplicables a este caso, hay que tener en cuenta que la paradoja de Ehrenfest se plantea en un espacio de Minkowski plano, no curvo . La rotación de un disco en un campo gravitacional presentará un problema diferente.

Interpretación física

La rotación cercana a la luz de un cuerpo sólido difícilmente se puede observar en la práctica, ya que la fuerza centrífuga debería conducir (para un disco que no está sostenido por ninguna fuerza que no sea su propia fuerza) a tensiones del orden de la densidad del material multiplicada por , que ninguna sustancia o material puede resistir. $c^{2}$

Sin embargo, si la fuerza centrífuga es compensada por el campo gravitatorio (como sucede, por ejemplo, en los púlsares ), entonces iremos más allá de la aplicabilidad de SRT, y la geometría del cuerpo, aparentemente, cambiará de una manera diferente a descrito arriba.

Cuando el disco giratorio alcanza una velocidad de rotación moderada, su forma cambia mucho más debido a las deformaciones elásticas que debido a los efectos de SRT. El efecto Ehrenfest relativista solo debería aumentar ligeramente el estiramiento longitudinal (a lo largo de la dirección de rotación) del material del disco.

Véase también

Notas

↑ Física, parte 2. Enciclopedia para niños. Volumen 16. Pág. 123. ISBN 5-8483-0030-5 .
↑ 1 2 A. Einstein , L. Infeld La evolución de la física. - M.-L., Tekhteorizdat, 1948. - p. 208-216
↑ 1 2 L. D. Landau , E. M. Lifshits Field Theory. - M., Nauka, 1967. - pág. 294-295
↑ 1 2 Clement Durell El ABC de la Teoría de la Relatividad. - M. , Mir , 1964. - pág. 135-138
↑ Estrictamente hablando, la velocidad relativa de estos dos puntos debe ser mucho menor que la velocidad de la luz, dentro de los límites de aplicabilidad de la mecánica clásica.