Intersección (geometría euclidiana)

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Una intersección en la geometría euclidiana es un punto o una curva que comparten dos o más objetos (como curvas, planos y superficies ). El caso más simple es la intersección de dos rectas diferentes en el plano, que o es un solo punto o no existe si las rectas son paralelas .

La tarea de encontrar la intersección de planos -objetos geométricos lineales bidimensionales incrustados en un espacio multidimensional- se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales .

En general, la intersección está definida por un sistema de ecuaciones no lineales , que puede resolverse numéricamente , por ejemplo, utilizando el método de Newton . Problemas sobre la intersección de una línea recta y una sección cónica ( círculo , elipse , parábola , etc.) o una cuádrica ( esfera , cilindro , hiperboloide , etc.) conducen a ecuaciones cuadráticas que se resuelven fácilmente. Las intersecciones entre cuádricas conducen a ecuaciones de cuarto grado , que se pueden resolver algebraicamente .

En el avión

Dos líneas

Para encontrar el punto de intersección de dos rectas no paralelas:

{\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2))

se puede utilizar, por ejemplo, la regla de Cramer , o sustituyendo una variable, las coordenadas del punto de intersección : ${\ estilo de visualización (x_ {s}, y_ {s})}$

x_{s}={\frac{c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}} ,\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}

(Si , entonces estas líneas son paralelas, lo que significa que estas fórmulas no se pueden usar porque implican dividir por 0). $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$

Dos segmentos

Para dos segmentos de línea no paralelos , y este punto no es necesariamente el punto de intersección (ver diagrama), porque el punto de intersección de las líneas correspondientes no tiene que estar contenido en los segmentos de línea. Para comprobar la situación, se utilizan representaciones paramétricas de líneas: ${\ estilo de visualización (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ ${\ estilo de visualización (x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})}$ $(x_{0},y_{0})$

(x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1} )),

(x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3} )).

Los segmentos se intersecan solo en un punto común de las líneas correspondientes, si los parámetros correspondientes satisfacen la condición . Los parámetros son la solución del sistema lineal. $(x_{0},y_{0})$ ${\ estilo de visualización s_ {0}, t_ {0}}$ $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ ${\ estilo de visualización s_ {0}, t_ {0}}$

s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},

s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .

Se puede resolver para s y t usando la regla de Cramer (ver arriba ). Si se cumple la condición , se inserta o en la representación paramétrica correspondiente y se obtiene el punto de intersección . $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ ${\ estilo de visualización s_ {0}}$ $t_0$ $(x_{0},y_{0})$

Ejemplo: Para segmentos y se obtiene un sistema lineal ${\ estilo de visualización (1,1), (3,2)}$ ${\ estilo de visualización (1,4), (2, -1)}$

{\ estilo de visualización 2s-t = 0}

{\ estilo de visualización s+5t=3}

y . Esto significa: las rectas se cortan en un punto . $s_{0}={\tfrac {3}{11)),t_{0}={\tfrac {6}{11}}$ $({\tfrac {17}{11)),{\tfrac {14}{11)))$

Nota: si se consideran líneas rectas en lugar de segmentos definidos por pares de puntos, se puede omitir cada condición y el método produce el punto de intersección de las líneas (ver arriba ). $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$

Línea y círculo

Para la intersección de un segmento de línea y un círculo , resuelva una ecuación lineal para x o y y sustitúyala en la ecuación del círculo y obtenga la solución (usando la fórmula de la ecuación cuadrática) con: $hacha+por=c$ ${\ estilo de visualización x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\ estilo de visualización (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$

x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2)))){ a^{2}+b^{2}}}

y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2)))){ a^{2}+b^{2}}}

si _ Si esta condición se cumple con estricta desigualdad, entonces hay dos puntos de intersección; en este caso, la línea recta se llama línea secante del círculo, y el segmento de línea que conecta los puntos de intersección se llama cuerda del círculo. $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}\geq 0$

Si , entonces solo hay un punto de intersección y la línea es tangente al círculo. Si la desigualdad débil no se cumple, la línea no interseca al círculo. $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0$

Si el medio del círculo no es el origen [1] , se puede considerar la intersección de una línea y una parábola o hipérbola.

Dos círculos

Determinación de los puntos de intersección de dos círculos:

(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^ {2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}

se reduce al caso anterior de la intersección de una recta y una circunferencia. Restando estas dos ecuaciones, se obtiene una ecuación lineal:

2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_ {1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.

Esta línea particular es el eje radical de los dos círculos .

Caso especial ; en este caso, el origen es el centro del primer círculo y el segundo centro se encuentra en el eje x (ver diagrama ${\ estilo de visualización \; x_ {1} = y_ {1} = y_ {2} = 0}$ [ refinar ] ). La ecuación de la línea radical se simplifica a: y los puntos de intersección se pueden escribir como con $\;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;$ ${\ estilo de visualización (x_ {0}, \ pm y_ {0})}$

x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_ {0}={\raíz cuadrada {r_{1}^{2}-x_{0}^{2))}\ .

En el caso de un círculo, no tienen puntos comunes. En el caso de los círculos, tienen un punto común y el eje radical es una tangente común. ${\displaystyle r_{1}^{2}<x_{0}^{2))$
${\displaystyle r_{1}^{2}=x_{0}^{2))$

Cualquier caso general, como se describió anteriormente, puede convertirse en un caso especial mediante el desplazamiento y la rotación.

La intersección de dos círculos (el interior de dos círculos) forma una forma llamada lente .

Dos secciones cónicas

El problema de la intersección de una elipse , hipérbola , parábola con otra sección cónica se reduce a un sistema de ecuaciones cuadráticas , que en casos particulares es fácil de resolver eliminando una coordenada. Las propiedades especiales de las secciones cónicas se pueden utilizar para obtener una solución . En general, los puntos de intersección se pueden determinar resolviendo la ecuación usando la iteración de Newton. Si a) ambas cónicas se dan implícitamente (por medio de una ecuación), se necesita una iteración de Newton bidimensional; b) uno implícitamente y el otro paramétricamente: es necesario que se dé la iteración unidimensional de Newton.

Dos curvas suaves

Dos curvas en (espacio bidimensional) que son continuamente diferenciables (es decir, no hay una curva pronunciada) tienen un punto de intersección si tienen un punto común en el plano y tienen en ese punto $\matemáticas {R} ^{2}$

a: tangentes diferentes ( intersección transversal ) o b: la recta tangente es común y se cortan entre sí ( intersección tangencial , ver diagrama).

Si ambas curvas tienen un punto S en común y una tangente, pero no se cortan, simplemente se "tocan" en el punto S.

Dado que los toques de intersección son raros y difíciles de manejar, las siguientes consideraciones no tienen en cuenta este caso. En cualquier caso, a continuación se asumen todas las condiciones diferenciales necesarias. La determinación de los puntos de intersección siempre da como resultado una o dos ecuaciones no lineales que se pueden resolver mediante la iteración de Newton. La lista de casos que se dan es la siguiente:

Si ambas curvas se dan explícitamente : al igualarlas se obtiene la ecuación $y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)$

f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .

Si ambas curvas se dan paramétricamente : $C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s)).$

Igualándolos, obtenemos dos ecuaciones con dos variables:

x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .

Si una curva se da paramétricamente y la otra implícitamente : $C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:f(x,y)=0.$

Este es el caso más simple además del explícito. Debe insertar una representación paramétrica en la ecuación de la curva y obtendrá la ecuación:

C_{1}

f(x,y)=0

C_{2}

f(x_{1}(t),y_{2}(t))=0\ .

Si ambas curvas se dan implícitamente : $C_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ C_{2}:f_{2}(x,y)=0.$

Aquí el punto de intersección es la solución del sistema.

f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .

Cualquier iteración de Newton requiere valores iniciales convenientes, que se pueden obtener visualizando ambas curvas. Una curva definida paramétrica o explícitamente se puede visualizar fácilmente porque para cualquier parámetro t o x , respectivamente, es fácil calcular el punto correspondiente. Para curvas implícitamente definidas, esta tarea no es tan simple. En este caso, es necesario determinar el punto de la curva utilizando valores iniciales e iteración [2] .

Ejemplos:

1: y círculo (ver diagrama).

{\ estilo de visualización C_ {1}: (t, t ^ {3})}

C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0

Iteración de Newton para una función

t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n))}}

f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10

Debe ser hecho. Puede elegir −1 y 1,5 como valores iniciales. Puntos de intersección: (−1.1073, −1.3578), (1.6011, 4.1046) 2:

C_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,

C_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0,5)^{2}+(y-0,5)^{2}-1=0

(ver diagrama). iteración de newton

{x_{n+1} \elegir y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \elegir y_{n}+\delta _{y}}

debe satisfacerse, ¿dónde está la solución del sistema lineal

{\delta _{x} \elegir \delta _{y))

{\begin{pmatrix}{\frac {\parcial f_{1}}{\parcial x}}&{\frac {\parcial f_{1}}{\parcial y}}\\{\frac { \parcial f_{2}}{\parcial x}}&{\frac {\parcial f_{2}}{\parcial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \elegir \delta _{ y}}={-f_{1} \elegir -f_{2}}

en el punto Puede elegir (−0.5, 1) y (1, −0.5) como valores iniciales.

{\ estilo de visualización (x_ {n}, y_ {n})}

El sistema lineal se puede resolver usando la regla de Cramer. Los puntos de intersección son (−0.3686, 0.9953) y (0.9953, −0.3686).

Dos polígonos

Si uno quiere determinar los puntos de intersección de dos polígonos , puede verificar la intersección de cualquier par de segmentos de línea de los polígonos (ver arriba ). Para polígonos con una gran cantidad de segmentos, este método es bastante laborioso. En la práctica, el algoritmo de intersección se acelera mediante pruebas de ventana . En este caso, puede dividir los polígonos en pequeños subpolígonos y definir la ventana más pequeña (rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas) para cualquier subpolígono. Antes de comenzar la laboriosa determinación del punto de intersección de dos segmentos de línea, se verifica la presencia de puntos comunes en cualquier par de ventanas [3]

En el espacio (tres dimensiones)

En el espacio 3D, hay puntos de intersección (puntos comunes) entre curvas y superficies. En las siguientes secciones, solo consideramos la intersección transversal .

Línea y plano

La intersección de una recta y un plano en posición general en tres dimensiones es un punto.

Por lo general, una línea en el espacio se representa paramétricamente y un plano se representa mediante una ecuación . Insertar la representación del parámetro en la ecuación da la ecuación lineal ${\ estilo de visualización (x (t), y (t), z (t))}$ $hacha+por+cz=d$

ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,

para el parámetro del punto de intersección . $t_0$ ${\ estilo de visualización (x (t_ {0}), y (t_ {0}), z (t_ {0}))}$

Si la ecuación lineal no tiene solución, la recta se encuentra en el plano o es paralela a él.

Tres aviones

Si una línea está definida por dos planos que se cortan y debe ser cortada por un tercer plano , se debe estimar el punto común de intersección de los tres planos. $\varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2$ $\varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3}$

Tres planos con vectores normales linealmente independientes tienen un punto de intersección $\varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3$ ${\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}$

{\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+ d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times { \vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3 })}}\ .

Para la demostración se debe establecer utilizando las reglas del triple producto escalar . Si el producto escalar triple es 0, entonces los planos no tienen una intersección triple o es una línea recta (o un plano, si los tres planos son iguales). ${\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\i=1,2,3,$

Curva y superficie

Similar al caso plano, los siguientes casos conducen a sistemas no lineales que pueden resolverse utilizando la iteración de 1 o 3 dimensiones de Newton [4] :

curva paramétrica y ${\ estilo de visualización C: (x (t), y (t), z (t))}$

superficie paramétrica

{\ estilo de visualización S: (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) \,}

curva paramétrica y ${\ estilo de visualización C: (x (t), y (t), z (t))}$

superficie implícita

S:f(x,y,z)=0\ .

Ejemplo:

curva paramétrica y

{\ estilo de visualización C: (t, t ^ {2}, t ^ {3})}

superficie implícita (ver figura).

S:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0

Puntos de intersección: (−0,8587, 0,7374, −0,6332), (0,8587, 0,7374, 0,6332).

La intersección de una línea y una esfera es un caso especial.

Como en el caso de una línea y un plano, la intersección de una curva y una superficie en posición general consta de puntos discretos, pero la curva puede estar total o parcialmente contenida por la superficie.

Línea y poliedro

Dos superficies

Dos superficies que se cortan transversalmente dan una curva de intersección . El caso más simple es la línea de intersección de dos planos no paralelos.

Notas

↑ Hartmann, 2003 , pág. 17
↑ Hartmann, 2003 , pág. 33.
↑ Hartmann, 2003 , pág. 79.
↑ Hartmann, 2003 , pág. 93.

Literatura

Erich Hartman. Geometría y Algoritmos para el Diseño Asistido por Computador . — Universidad Tecnológica de Darmstadt, 2003.