Operadores de permutación

Los operadores de permutación son el operador lineal restringido y el operador lineal , para los cuales el operador es una extensión del operador :. Si los operadores y están definidos en todo el espacio (además, no están necesariamente acotados ), entonces conmutan si . En este caso, los operadores de permutación también se denominan conmutación [1] . En el caso general, la igualdad es un inconveniente para usar como una definición de permutabilidad, porque incluso el operador inverso no conmutará si no está definido en todo el espacio; entonces los operadores $B$ $T$ ${\ estilo de pantalla de televisión}$ ${\ estilo de visualización BT}$ $BT\subconjunto TB$ $B$ $T$ ${\ estilo de visualización BT = TB}$ ${\ estilo de visualización BT = TB}$ $B^{{-1}}$ $B$ $B^{{-1}}$ $BB^{-1}$ y tendrá diferentes alcances . A veces, los operadores de permutación usan la notación: o [2] [3] . ${\ estilo de visualización B ^ {-1} B}$ $B\taza T$ $B\sonrisa T$

Propiedades

Si un operador conmuta con y conmuta con , entonces también conmuta con y . $B$ $T_{1}$ $T_{2}$ $B$ $T_{1}+T_{2}$ ${\ estilo de visualización T_{1}T_{2}}$
Si conmuta con y conmuta con , entonces los operadores y conmutan con . $B_1$ $T$ $B_{2}$ $T$ ${\ estilo de visualización B_{1}+B_{2))$ ${\ estilo de visualización B_{1}B_{2}}$ $T$
Si conmuta con y existe , entonces conmuta con . $B$ $T$ $T^{-1}$ $B$ $T^{-1}$
Si es permutable con cada uno de los operadores , entonces es permutable con . $B$ $T_{n}\,(n=1,2,\puntos)$ $B$ $\lim \limits _{n\to \infty }T_{n}$
Si cada uno de los operadores conmuta con , entonces conmuta con bajo el supuesto de que está acotado y es cerrado . $B_{n}\,(n=1,2,\puntos)$ $T$ ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty}B_{n))$ $T$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty}B_{n))$ $T$
Si conmuta con y existe el operador adjunto , entonces conmuta con [3] . $B$ $T$ $T^{*}$ $B^{*}$ $T^{*}$

El caso de un espacio de dimensión finita

En un espacio de dimensión finita , los operadores de permutación corresponden a matrices de permutación : . El problema de Frobenius consiste en determinar todas las matrices que conmutan con una matriz dada . Todas las soluciones del problema de Frobenius tienen la forma ${\ estilo de visualización AB = BA}$ $X$ $A$

X=UX_{A}U^{-1},

donde es una matriz arbitraria que conmuta con , es una matriz que conduce a la forma normal de Jordan : . El número de soluciones linealmente independientes del problema de Frobenius está determinado por la fórmula: ${\ estilo de visualización X_ {A}}$ $A$ $tu$ $A$ $j$ $A=UJU^{-1}$

N=n_{1}+3n_{2}+\dots +(2t-1)n_{t},

donde son los grados de los polinomios invariantes no constantes de la matriz . ${\displaystyle n_{1},n_{2},\puntos,n_{t))$ $i_{1}(\lambda ),i_{2}(\lambda ),\dots ,i_{t}(\lambda )$ $A$

Si los operadores lineales en un espacio de dimensión finita son permutables por pares, entonces todo el espacio se puede dividir en subespacios invariantes bajo todos los operadores : ${\displaystyle A_{1},A_{2},\puntos,A_{m))$ $R$ $R$ $Ai}$

{\displaystyle R=I_{1}+I_{2}+\dots +I_{m))

de modo que el polinomio mínimo de cualquiera de estos subespacios con respecto a cualquiera de los operadores es el grado de un polinomio irreducible [4] . $Ai}$

Los operadores de permutación siempre tienen un vector propio común [5] . Dado un conjunto finito o infinito de operadores normales permutables por pares en un espacio unitario , todos estos operadores tienen un sistema ortonormal completo de vectores propios comunes . En términos de matrices , esto significa que cualquier conjunto finito o infinito de matrices de permutación por pares puede reducirse a una forma diagonal mediante la misma transformación unitaria [6] . $A_{1},A_{2},\puntos$

Véase también

Sistema completo de conmutables observables

Notas

↑ Gantmakher, 1966 , pág. 263.
↑ Wojciechowski, 1984 .
↑ 12 Riess , 1979 , página 116.
↑ Gantmakher, 1966 , capítulo VIII, §2.
↑ Gantmakher, 1966 , pág. 245.
↑ Gantmakher, 1966 , capítulo IX, §15.

Literatura

Voitsekhovsky M.I. Operadores de permutación // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - 1216 libras esterlinas. : enfermo. — 150.000 copias.
Riess F. , Sökefilvi-Nagy B. Conferencias sobre análisis funcional. — M .: Mir, 1979. — 592 p.
Gantmakher F. R. Teoría de la matriz. - Ed. 2º, adicional.. - M .: Nauka, cap. edición Phys.-Math. iluminado, 1966.
Suprunenko D. A. , Tyshkevich R. I. Matrices de permutación. - Minsk: Ciencia y tecnología, 1966. - 2500 ejemplares.