Potencial de Pöschl-Teller

El potencial de Pöschl-Teller es una función de la energía potencial de un campo electrostático, propuesto por los físicos húngaros Herta Pöschl y Edward Teller [1] como una aproximación a la energía de una molécula diatómica, alternativa al potencial de Morse . El potencial tiene la forma

U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\left({\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2 }ax}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)

en el intervalo , en cuya frontera tiende al infinito. Los parámetros satisfacen las condiciones y . A veces, el potencial de Pöschl-Teller se denomina potencial de Pöschl-Teller modificado . $0\leqslant x\leqslant \pi /(2a)$ ${\ estilo de visualización \ varkappa> 1}$ $\lambda > 1$

Ecuación de Schrödinger con potencial de Pöschl-Teller

La ecuación estacionaria de Schrödinger con el potencial de Pöschl-Teller tiene la forma:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\left( {\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax))+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax))\right) \Psi(x)=E\Psi(x).

Si ingresa la notación , tomará la forma: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-a^{2}{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}-a ^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)\Psi (x)=0.

Después del cambio de variable

y=\sin ^{2}ax

obtenemos

y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)+{\frac {1}{4 }}\left({\frac {k^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{y}}-{\frac {\lambda (\ lambda -1)}{1-y}}\right)\Psi (y)=0.

Dado que los puntos 0 y 1 son especiales, es natural representar la solución en la forma:

\Psi (y)=y^{\mu }(1-y)^{\nu }f(y)

Si elige

\mu ={\frac {\varkappa }{2)),\qquad \nu ={\frac {\lambda }{2)),

entonces la ecuación se reducirá a la forma hipergeométrica:

y(1-y)f''(y)+\left(\left(\varkappa +{\frac {1}{2))\right)-y\left(\varkappa +\lambda +1 \right)\right)f'(y)+{\frac {1}{4}}\left({\frac {\varkappa ^{2}}{a^{2}}}+(\varkappa +\ lambda )^{2}\right)f(y)=0.

La solución general de esta ecuación se puede expresar en términos de funciones hipergeométricas :

f(y)=C_{1}\;_{2}F_{1}(a,b;c;y)+C_{2}y^{1-c}\;_{2}F_ {1}(a+1-c,b+1-c;2-c;y),

donde se introduce la notación:

a={\frac {1}{2}}\left(\varkappa +\lambda +{\frac {k}{a}}\right),\quad b={\frac {1}{2 }}\left(\varkappa +\lambda -{\frac {k}{a}}\right),\quad c=\varkappa +{\frac {1}{2}}.

Si tenemos en cuenta las condiciones de contorno :

{\ estilo de visualización \ Psi (0) = \ Psi (1) = 0,}

entonces obtenemos funciones propias

\Psi _{n}(x)=C_{1}\sin ^{\varkappa }(ax)\cos ^{\lambda }(ax)\;_{2}F_{1}(-n ,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2));\sin ^{2}ax),

donde la constante se calcula teniendo en cuenta la normalización:

C_{1}=\left(\int \limits _{0}^{1}\sin ^{\varkappa }(ax)\cos ^{\lambda }(ax)\;_{2}F_ {1}(-n,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2));\sin ^{2}ax)dx\right)^{-{\frac {1} {2}}}.

Los niveles de energía correspondientes son:

E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\varkappa +\lambda +2n)^{2},\quad n\in \mathbb {Z}_{ +}.

Notas

↑ G. Poschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators (alemán) // Zeitschrift für Physik. - 1933. - Bd. 83 , núm. 3-4 . — S. 143–151 . -doi : 10.1007/ BF01331132 .

Literatura

Z. Flugge. Problemas de mecánica cuántica. - Editorial LKI, 2008. - T. 1.

IG Kaplan. Interacciones intermoleculares . — 2006.

Pablo Harrison. Pozos cuánticos, cables y puntos . — 2005.

Modelos de mecánica cuántica
Unidimensional sin espín	partícula libre Pozo con paredes interminables Pozo cuántico rectangular potencial delta Pozo cuántico triangular Oscilador armónico Posible trampolín Pozo de potencial Pöschl-Teller Pozo de potencial Pöschl-Teller modificado Partícula en un potencial periódico Peine potencial de Dirac Partícula en el anillo
Multidimensional sin giro	oscilador circular Ion de molécula de hidrógeno Parte superior simétrica Potenciales esféricamente simétricos Potencial de Woods-Saxon problema de kepler Potencial Yukawa potencial de Morse Hulthen potencial Potencial Molecular de Kratzer Potencial exponencial
Incluye giro	átomo de hidrógeno ion hidruro átomo de helio