Transformada de Mellin

La transformada de Mellin es una transformada que se puede considerar como una versión multiplicativa de la transformada de Laplace de dos caras . Esta transformación integral está estrechamente relacionada con la teoría de las series de Dirichlet y se usa a menudo en la teoría de números y en la teoría de expansiones asintóticas . La transformada de Mellin está estrechamente relacionada con la transformada de Laplace y la transformada de Fourier , así como con la teoría de las funciones gamma y la teoría de las funciones especiales adyacentes .

La transformación lleva el nombre del matemático finlandés Hjalmar Mellin que la estudió .

Definición

La transformada directa de Mellin viene dada por:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int \limits _{0}^{\infty}x^{s-1}f (x)dx

Transformación inversa - por la fórmula:

\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \ límites _ {ci\infty}^{c+i\infty}x^{-s}\varphi(s)\,ds

Se supone que la integración tiene lugar en el plano complejo . Las condiciones bajo las cuales se puede realizar la transformación son las mismas que las condiciones del teorema de la transformación inversa de Mellin.

Relación con otras transformaciones

La integral de Laplace de dos colas se puede expresar en términos de la transformada de Mellin:

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)

Y viceversa: la transformada de Mellin se expresa en términos de la transformada de Laplace mediante la fórmula:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s) .

La transformada de Fourier se puede expresar en términos de la transformada de Mellin mediante la fórmula:

\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{ \mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-es)

Atrás:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s) =\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(es)

La transformada de Mellin también relaciona las fórmulas de interpolación de Newton o las transformaciones binomiales con la función generadora de secuencias mediante el ciclo de Poisson-Mellin-Newton .

Ejemplos

La integral de Cahen-Mellin

Si un:

${\ estilo de visualización c> 0,}$
${\ estilo de visualización \ Re (y)> 0,}$
${\displaystyle y^{-s))$ en la rama principal,

entonces [1]

e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{ci\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{- s}\;ds

, dónde

{\ estilo de visualización \ gamma (s)}

es la función gamma .

Nombrado en honor a Hjalmar Mellin y al matemático francés Eugène Cahen ( en francés: Eugène Cahen ).

Transformada de Mellin para el espacio de Lebesgue

En un espacio de Hilbert, la transformada de Mellin se da de manera algo diferente. Para un espacio Lebesgue, cualquier franja fundamental incluye . En este sentido, es posible definir un operador lineal como: $L^{2}(0,\infty)$ ${\tfrac {1}{2}}+i\mathbb{R}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {\ mathcal {M}}}}$

{\tilde {\mathcal {M))}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\ mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+es}f(x)\,dx

Eso es:

\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f \}({\tfrac{1}{2}}-es)

Este operador generalmente se denota y se llama transformada de Mellin, pero aquí y en lo que sigue usaremos la notación . ${\ matemáticas {M}}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {\ mathcal {M}}}}$

teoremas de la transformada inversa de Mellinmuestra que

{\tilde {\mathcal {M))}^{-1}\dos puntos L^{2}(-\infty,\infty)\to L^{2}(0,\infty),\{ {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits_{-\infty} ^{\infty}x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi(s)\,ds.

Además, este operador es isométrico , es decir

\|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^{2}(0 ,\infty)}

para _

\forall f\in L^{2}(0,\infty)

Esto explica la relación ${\ estilo de visualización {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}}}$

Conexión con la teoría de la probabilidad

En la teoría de la probabilidad, la transformada de Mellin es una herramienta importante para estudiar la distribución de variables aleatorias [2] .

Si un:

$D=\{s:a\leqslant \Re(s)\leqslant b\},$
$a\leqslant 0\leqslant b,$
$X$ - valor aleatorio,
$X^{+}=\max\{X,0\},$
$X^{-}=\max\{-X,0\},$

entonces la transformada de Mellin se define como:

{\mathcal {M}}_{X}(s)=\int \limits _{0}^{\infty}x^{s}dF_{X^{+}}(x)+i\ int \limites _{0}^{\infty}x^{s}dF_{X^{-}}(x),

donde es la unidad imaginaria .

i

La transformada de Mellin de una variable aleatoria determina de forma única su función de distribución . ${\mathcal {M}}_{X}(it)$ $X$ $F_{x}$

Aplicación

La transformada de Mellin es especialmente importante para la tecnología de la información, especialmente para el reconocimiento de patrones .

Notas

↑ Hardy, GH; Littlewood, JE Contribuciones a la teoría de la función zeta de Riemann y la teoría de la distribución de números primos // Acta Mathematica : revista . - 1916. - Vol. 41 , núm. 1 . - pág. 119-196 . -doi : 10.1007/ BF02422942 . (Consulte las notas allí para obtener más referencias al trabajo de Cahen y Mellin, incluida la tesis de Cahen).
↑ Galambos, Simonelli, 2004, pág.15

Literatura

Galambos, Janos; Simonelli, Italo. Productos de variables aleatorias: aplicaciones a problemas de física ya funciones aritméticas . —Marcel Dekker , Inc., 2004. - ISBN 0-8247-5402-6 .
París, R. B.; Kaminski, D. Asintóticas e integrales de Mellin-Barnes (neopr.) . — Prensa de la Universidad de Cambridge , 2001.
polianina, AD; Manzhirov, A. V. Manual de ecuaciones integrales (neopr.) . - Boca Ratón: CRC Press , 1998. - ISBN 0-8493-2876-4 .
Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. Mellin transformadas y asintóticas: sumas armónicas // Ciencias de la Computación Teórica. - 1995. - vol. 144 , núm. 1-2 . - Pág. 3-58 .
Tablas de transformadas integrales Archivado el 30 de junio de 2007 en Wayback Machine en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), transformada de Mellin , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Mellin Transform (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Enlaces

Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Transformadas de Mellin y asintóticas: sumas armónicas. Archivado el 24 de mayo de 2006 en Wayback Machine .
Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico Archivado el 3 de noviembre de 2012 en Wayback Machine , grupo de noticias es.ciencia.matematicas
Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Archivado el 29 de enero de 2007 en Wayback Machine (en español).
Métodos de transformación de Mellin Archivado el 11 de abril de 2013 en Wayback Machine , Biblioteca digital de funciones matemáticas , 2011-08-29, Instituto Nacional de Estándares y Tecnología
Antonio De Sena y Davide Rocchesso, A Fast Mellin Transform With Applications in DAFX Archivado el 14 de septiembre de 2014 en Wayback Machine .

Transformaciones integrales
transformada abel Transformaciones de Bessel Transformación bosquimana Transformación de Gegenbauer Transformada de Hilbert Transformación de Kontorovich-Lebedev Transformada de Laplace Transformada de Meyer Transformación de Mehler-Fock Transformada de Mellin Transformada de Nerain Transformación de radón Transformación de Stieltjes Transformada de Fourier Transformada de Hankel Transformada de Hartley