Derivado de Pinkerle

En matemáticas , la derivada de Pinkerle T' de un operador lineal T : K [ x ] → K [ x ] sobre un espacio vectorial de polinomios en una variable x sobre un campo K es el conmutador del operador T multiplicado por x en el endomorfismo álgebra Fin( K [ x ]). Te T' es otro operador lineal T' : K [ x ] → K [ x ]

T':=[T,x]=Tx-xT=-\operatorname {anuncio} (x)T.

Más detalladamente, en un polinomio, este operador actúa de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización p (x)}$

T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad \forall p(x)\in \mathbb {K} [x ].

Nombrado en honor al matemático italiano Salvatore Pinkerle .

Propiedades

La derivada de Pinkerle, como todo conmutador , es una diferenciación que satisface la regla del producto y la suma: para cualquier operador lineal y perteneciente a , ${\ estilo de pantalla \ estilo de script S}$ ${\ estilo de pantalla \ estilo de script T}$ $\scriptstyle \operatorname {Fin} \left(\mathbb {K} [x]\right)$

$\scriptstyle {(T+S)^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime ))$ ;
$\scriptstyle {(TS)^{\prime }=T^{\prime }\!S+TS^{\prime }}$ donde está la composición de los operadores ; ${\ estilo de pantalla \ estilo de script {TS = T \ circ S}}$

También donde está el paréntesis de Lie habitual , que se deriva de la identidad de Jacobi . $\scriptstyle {[T,S]^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }]},$ ${\ estilo de pantalla \ estilo de script {[T, S] = TS-ST}}$

La derivada ordinaria, D = d / dx , es un operador de polinomios. El cálculo directo muestra que su derivada de Pinkerle es

D'=\left({d \over {dx}}\right)'=\operatorname {Id} _{\mathbb {K} [x]}=1.

Por inducción , esta fórmula se generaliza a

(D^{n})'=\left({{d^{n}} \over {dx^{n}}}\right)'=nD^{n-1}.

Esto prueba que la derivada de Pinkerle del operador diferencial

\parcial =\sum a_{n}{{d^{n}} \over {dx^{n}}}=\sum a_{n}D^{n}

es también un operador diferencial, por lo que la derivada de Pinkerle es una derivación . $\scriptstyle \operatorname {Dif} (\mathbb {K} [x])$

operador de turno

{\ estilo de visualización S_ {h} (f) (x) = f (x + h)}

se puede grabar

S_{h}=\sum _{n=0}{{h^{n}} \sobre {n!}}D^{n}

utilizando la fórmula de Taylor . Entonces su derivada de Pinkerle es

S_{h}'=\sum _{n=1}{{h^{n}} \over {(n-1)!}}D^{n-1}=h\cdot S_{h }.

En otras palabras, los operadores de desplazamiento son los vectores propios de la derivada de Pinkerle, cuyo espectro es todo el espacio de escalares . $\scriptstyle {\mathbb {K} }$

Si T es invariante por desplazamiento, es decir, si T conmuta con S h o , también tenemos: , por lo que también es invariante por desplazamiento . ${\ estilo de pantalla \ estilo de script {[T,S_{h}]=0}}$ ${\ estilo de pantalla \ estilo de script {[T',S_{h}]=0}}$ ${\ estilo de pantalla \ estilo de script T'}$ ${\ estilo de pantalla \ estilo de script h}$

Operador delta de tiempo discreto

{\displaystyle (\delta f)(x)={{f(x+h)-f(x)} \sobre h))

este es el operador

\delta ={1 \over h}(S_{h}-1),

cuya derivada de Pinkerle es el operador de desplazamiento . $\scriptstyle {\delta '=S_{h))$

Véase también

Interruptor de operador

Enlaces

Weisstein, Eric W. Pincherle Derivado . MathWorld: un recurso web de Wolfram.
Biografía de Salvatore Pincherle en el archivo MacTutor History of Mathematics .

Calculo diferencial

Principal

vistas privadas

Operadores diferenciales
( en varias coordenadas )

Primer orden	operador nabla Degradado Divergencia Rotor Helmholtziano
segundo orden	Operador elíptico operador de Laplace Operador vectorial de Laplace Operador D'Alembert Operador de Laplace-Beltrami
órdenes superiores	Operador hipoelíptico

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