Ruta (topología)

En matemáticas , un camino en un espacio topológico X  es un mapeo continuo f desde el intervalo unitario I = [0,1] hasta X

El punto inicial de la ruta es f (0) y el punto final  es f (1). A menudo hablamos de "la ruta de x a y ", donde x e y  son los puntos inicial y final de la ruta. Tenga en cuenta que una ruta no es solo un subconjunto de X que "parece" una curva , también incluye una parametrización . Por ejemplo, la aplicación f ( x ) = x y g ( x ) = x 2 representan dos caminos diferentes de 0 a 1 en la línea real.

Un bucle en el espacio X con punto base x ∈ X  es un camino de x a x . Un bucle también se puede definir como una aplicación f  : I → X con f (0) = f (1) o como una aplicación continua desde el círculo unitario S 1 hasta X

Esto último se deriva del hecho de que S 1 puede considerarse un espacio cociente de I cuando 0 se identifica con 1. El conjunto de todos los bucles en X forma un espacio llamado espacio de bucle del espacio X [1] .

Un espacio topológico en el que existe un camino que conecta dos puntos cualesquiera se llama camino conectado . Cualquier espacio se puede dividir en un conjunto de componentes conectados linealmente . El conjunto de componentes linealmente conectados del espacio X a menudo se denota por π 0 ( X );.

También se pueden definir caminos y bucles en espacios puntiagudos , que son importantes en la teoría de la homotopía . Si X es un espacio topológico con un punto distinguido x 0 , entonces un camino en X  es un camino cuyo punto inicial es x 0 . De manera similar, un ciclo en X  es un ciclo en x 0 .

Homotopía de ruta

Los caminos y bucles son objetos centrales de estudio en la rama de la topología algebraica llamada teoría de la homotopía . La homotopía de caminos precisa la noción de una deformación continua de un camino conservando los extremos del camino.

En particular, una homotopía de caminos en X  es una familia de caminos f t  : I → X indexada por I tal que

• f t (0) = x 0 y f t (1) = x 1 son fijos.
• la aplicación F  : I × I → X dada por F ( s , t ) = f t ( s ) es continua.

Se dice que los caminos f 0 y f 1 son homotópicos (o, más precisamente, linealmente homotópicos ) si están conectados por una homotopía. De manera similar, se puede definir una homotopía de bucle que conserva el punto base.

La relación de homotopía es una relación de equivalencia para caminos en un espacio topológico. La clase de equivalencia de un camino f bajo esta relación se llama la clase de homotopía de f , y a menudo se denota [ f ].

Composición de caminos

Es posible formar una composición de caminos en un espacio topológico de manera obvia. Sea f  un camino de x a y y g  un camino de y a z . El camino fg se define como el camino obtenido primero pasando f y luego g :

Está claro que la composición del camino se define solo si el punto final f coincide con el punto inicial g . Si consideramos bucles en el punto x 0 , entonces la composición de caminos es una operación binaria .

La composición de ruta, si se define, no es una operación asociativa debido a la diferencia en la parametrización. Sin embargo, es asociativo hasta la homotopía. Es decir, [( fg ) h ] = [ f ( gh )]. La composición de ruta define la estructura de un grupo en el conjunto de clases de bucles homotópicos en X con punto base x 0 . El grupo resultante se denomina grupo fundamental de X con el punto x 0 marcado y generalmente se denota como π 1 ( X , x 0 ).

Uno puede definir un camino en X como un mapeo continuo del intervalo [0, a ] en X para cualquier real a ≥ 0. Un camino f de esta forma tiene longitud | f | definido como un . La composición de la ruta se define entonces como antes, con el siguiente cambio:

Mientras que en la definición anterior f , g y fg tienen longitud 1, esta definición da | fg | = | f | + | g |. Lo que en la definición anterior conducía a la violación de la asociatividad era que aunque ( fg ) h y f ( gh ) tenían la misma longitud, a saber, 1, el punto medio de ( fg ) h terminaba entre g y h , mientras que el punto medio de f ( gh ) vino entre f y g . En la definición modificada de ( fg ) h y f ( gh ) tienen la misma longitud, a saber | f |+| g |+| h |, y los mismos puntos medios encontrados en (| f |+| g |+| h |)/2 para ( fg ) h y f ( gh ). E incluso tienen la misma parametrización.

Grupoide fundamental

Cualquier espacio topológico X da lugar a una categoría cuyos objetos son los puntos de X y cuyos morfismos son las clases de homotopía de caminos. Dado que cualquier morfismo en esta categoría es un isomorfismo , esta categoría es un grupoide , llamado grupoide fundamental de X. Los bucles en esta categoría son endomorfismos (en realidad, todos son automorfismos ). El grupo de automorfismos del punto x 0 en X  es simplemente el grupo fundamental en X . Uno puede definir un grupoide fundamental en cualquier subconjunto A de X usando las clases de homotopía de caminos que conectan puntos en A .

Literatura

• Ronal Brown. Topología y groupoides. - Deganwy, Reino Unido, 2006. - ISBN 1-4196-2722-8 .

• Pedro Mayo. Un curso conciso de topología algebraica. - Chicago, IL: University of Chicago Press, 1999. - ISBN 10: 0226511820 13: 9780226511825.

• James R. Munkres. topología — 2ed. - Nueva Jersey: Prentice Hall, 2000. - ISBN 0-13-181629-2 .
• John Frank Adams. Espacios de bucle infinito. - Princeton University Press, 1978. - T. 90. - (Anales de estudios matemáticos). — ISBN 9780691082066 .
• O. Ya. Viro, O.A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Topología elemental. - M. : MTSNMO, 2010. - ISBN 978-5-94057-587-0 .

1. ↑ Adams, 1978 , pág. 3.