Trayectoria radial

Trayectoria radial : en astrodinámica y mecánica celeste , una órbita kepleriana con momento angular cero . Dos objetos en una trayectoria radial se mueven en línea recta.

Clasificación

Hay tres tipos de trayectorias radiales (órbitas). [una]

Trayectoria elíptica radial : una órbita correspondiente a una parte de una elipse degenerada desde el momento en que los cuerpos se tocan y luego los cuerpos se alejan hasta el próximo toque. La velocidad relativa de dos cuerpos es menor que la velocidad de escape . Para esta órbita, el semieje menor tiene longitud cero, la excentricidad es igual a uno. Aunque la excentricidad es la unidad, la órbita no es parabólica. Si el coeficiente de elasticidad de ambos cuerpos es igual a 1, entonces dicha órbita será periódica; si el coeficiente de elasticidad es menor que 1, la órbita no es periódica.
Trayectoria parabólica radial : Una órbita no periódica donde la velocidad relativa de los cuerpos es igual a la velocidad de escape. Hay dos casos: los cuerpos se acercan o se alejan.
Trayectoria hiperbólica radial : Una órbita no periódica donde la velocidad relativa de los cuerpos excede la velocidad de escape. Hay dos casos: los cuerpos se acercan o se alejan. Es una órbita hiperbólica con longitud cero del semieje menor, mientras que la excentricidad es igual a uno.

A diferencia de las órbitas estándar, una de cuyas características es la excentricidad, las órbitas radiales se clasifican por la cantidad de energía por unidad de masa (la suma de la energía cinética y potencial dividida por la masa reducida ):

\epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu}{x)),

donde x es igual a la distancia entre los centros de masa de los cuerpos, v es igual a la velocidad relativa, es el parámetro gravitatorio . ${\ estilo de visualización \ mu = {G} (m_{1}+m_{2})}$

Otra constante tiene la forma

w={\frac {1}{x}}-{\frac {v^{2}}{2\mu }}={\frac {-\epsilon }{\mu }}.

Para trayectorias elípticas, w es positivo e igual al recíproco de la distancia apocéntrica.
Para trayectorias parabólicas, w es igual a cero.
Para trayectorias hiperbólicas, w es negativo e igual a , donde es igual a la velocidad a una distancia infinita. $\textstyle {\frac {-v_{\infty}^{2}}{2\mu }}$ ${\displaystyle \textstyle v_{\infty ))$

El tiempo en función de la distancia

Dada la distancia entre los componentes, la velocidad y la masa total en algún momento, es posible determinar la posición del objeto en cualquier momento.

En el primer paso, se determina la constante w. El signo w determina el tipo de órbita.

w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu )),

donde y son la distancia entre los componentes y la velocidad en algún momento. ${\ estilo de visualización \ estilo de texto x_ {0}}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto v_ {0}}$

Trayectoria parabólica

t(x)={\sqrt {\frac {2x^{3}}{9\mu }}},

donde t muestra el tiempo hasta o desde el momento en que dos masas, si son puntos, coinciden en el espacio, x muestra la distancia.

Esta ecuación solo se aplica a trayectorias parabólicas radiales. Para obtener trayectorias parabólicas más generales, consulte la ecuación de Barker.

Trayectoria elíptica

t(x,w)={\frac {\arcsin({\sqrt {w\,x)))-{\sqrt {w\,x\ (1-w\,x)))}{ {\sqrt {2\mu}}\,w^{3/2}}},

donde t muestra el tiempo hasta o desde el momento en que dos masas, si son masas puntuales, coinciden en el espacio, x muestra la distancia mutua.

Esta ecuación es la ecuación radial de Kepler. [2]

Trayectoria hiperbólica

t(x,w)={\frac {{\sqrt {(|w|x)^{2}+|w|x}}-\ln({\sqrt {|w|x}}+ {\sqrt {1+|w|x)))}{{\sqrt {2\mu}}\,|w|^{3/2}}},

donde t muestra el tiempo hasta o desde el momento en que dos masas, si son masas puntuales, coinciden en el espacio, x muestra la distancia mutua.

Fórmula universal (para cualquier trayectoria)

La ecuación radial de Kepler se puede escribir en una forma universal aplicable a cualquier trayectoria radial:

t(x,w)=\lim _{u\to w}{\frac {\arcsin({\sqrt {u\,x)))-{\sqrt {u\,x\ (1- u\,x)}}}{{\raíz cuadrada {2\mu}}\,u^{3/2}}}.

Si usamos desarrollos en serie, la ecuación se transforma a la forma

t(x,w)={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}\left.({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\ fracción {1}{5}}wx^{5/2}+{\frac {3}{28}}w^{2}x^{7/2}+{\frac {5}{72}}w ^{3}x^{9/2}+{\frac {35}{704}}w^{4}x^{11/2}\cdots)\right|_{-1<w\cdot x< una}

Problema radial de Kepler (distancia en función del tiempo)

El problema de determinar la distancia entre dos cuerpos en un momento arbitrario, dada la distancia y la velocidad en un momento dado, se conoce como el problema de Kepler . En esta sección se resuelve el problema de Kepler para órbitas radiales.

En la primera etapa, se determina la constante w. El signo w se utiliza para determinar el tipo de órbita.

w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu )),

donde y son la distancia entre los componentes y la velocidad en algún momento. ${\ estilo de visualización \ estilo de texto x_ {0}}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto v_ {0}}$

Trayectoria parabólica

x(t)=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3}}

Forma universal (para cualquier trayectoria)

Usamos dos cantidades independientes w y la distancia p en el tiempo t, que sería entre los cuerpos si estuvieran en una órbita parabólica.

w={\frac {1}{x_{0))}-{\frac {v_{0}^{2)){2\mu )),\quad \quad p=\left({\ fracción {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac{1}{3)),

donde t es el tiempo, es la posición inicial, es igual a la velocidad inicial, . $x_0$ $v_{0}$ ${\ estilo de visualización \ mu = {G} (m_{1}+m_{2})}$

La ecuación radial inversa de Kepler es una solución al problema radial de Kepler:

x(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\lim_{r\to 0}\left({\frac {w^{n-1}p^{ n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\left(r^{n }\left({\frac {3}{2}}(\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {rr^{2}}})\right)^{-{\frac {2 {3}}n}\derecho)\derecho)\derecho)

x(t)=p-{\frac {1}{5}}wp^{2}-{\frac {3}{175}}w^{2}p^{3}-{\frac {23}{7875}}w^{3}p^{4}-{\frac {1894}{3931875}}w^{4}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}w ^{5}p^{6}-{\frac{2418092}{62077640625}}w^{6}p^{7}\cdots

Las series de potencias son fáciles de diferenciar término a término, lo que permite obtener fórmulas de velocidad, aceleración, etc.

Notas

↑ William Tyrrell Thomson (1986), Introducción a la dinámica espacial, Dover
↑ Marrón, Kevin, http://www.mathpages.com/rr/s4-03/4-03.htm , MathPages

Cowell, Peter (1993), Resolución de la ecuación de Kepler durante tres siglos, William Bell.

Enlaces

Ecuación de Kepler en Mathworld [1]

órbitas

Tipos

Principal	Órbita de caja Órbita de captura órbita circular Órbita elíptica / Órbita elíptica alta Cuidado de la órbita Órbita de entierro Trayectoria hiperbólica Órbita inclinada / Órbita no inclinada Órbita osculadora trayectoria parabolica Órbita de referencia (incluida la baja ) órbita síncrona ( Semi-síncrono subsincrónico ) órbita estacionaria
Geocéntrico	órbita geosíncrona órbita geoestacionaria Órbita heliosíncrona Orbita terrestre baja Órbita terrestre media Órbita terrestre alta Órbita "Relámpago" órbita ecuatorial órbita lunar órbita polar Órbita "Tundra" TLE
Alrededor de otros cuerpos celestes y puntos	Órbita areosincrónica Órbita areoestacionaria órbita de halo Órbita Lissajous órbita lunar Órbita heliocéntrica Órbita heliosíncrona

Opciones

Clásico	$i\,\!$ Estado animico $\Omega\,\!$ Longitud del nodo ascendente $mi\,\!$ Excentricidad $\omega\,\!$ argumento periapsis $a\,\!$ eje mayor $Mes\,\!$ Anomalía promedio por época
Otro	$\nu\,\!$ verdadera anomalía $b\,\!$ eje menor $MI\,\!$ Anomalía excéntrica $L\,\!$ Longitud media $yo\,\!$ longitud verdadera $T\,\!$ Período de circulación

maniobras orbitales
Órbita de transferencia bielíptica Margen de velocidad característica órbita de geotransferencia maniobra de gravedad giro de gravedad órbita de Hohmann Ruta de transición de bajo costo efecto Oberth Cambio de inclinación orbital fase orbital Unión cósmica Transposición, acoplamiento y extracción maniobra de retirada

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