Tono medio

La afinación de tono medio ( en alemán mitteltönige Stimmung , en inglés meantone tuning ) o temperamento de tono medio es una escala musical basada en una cadena secuencial de quintas, cada una de las cuales está templada (reducida en comparación con acústicamente pura en la misma cantidad). Así, en la afinación de tonos medios, todas las quintas tienen la misma proporción de frecuencias de sonidos (esta propiedad de la afinación a menudo también se denomina regularidad [1] ). Un rasgo característico de las afinaciones de medio tono es la presencia en ellas de “tonos enteros medios” (de ahí el nombre): en tales afinaciones, una segunda mayor es la mitad exacta de una tercera mayor.

Un lugar especial entre las escalas de medios tonos lo ocupa una escala en la que todas las quintas están templadas por coma de 1/4 de didimio : en ella, las terceras grandes, obtenidas como resultado de posponer cuatro quintas templadas de esta manera, resultan ser acústicamente claro. A menudo, el término "medio tono" se refiere a este sistema.

Terminología y comentarios históricos

La cantidad por la que se atemperan las quintas en la escala de medios tonos se especifica en su nombre, y generalmente se expresa en fracciones de la : didymecoma La definición de G. Zarlino (1558) [2] de la escala de medios tonos en 2/7 de coma es la primera descripción matemáticamente rigurosa documentada de la escala de temperamento (en el sentido propio del término) [3] .

La afinación de medio tono 1/4-coma-significado o cuarto de coma-significado fue descrita por primera vez por J. Zarlino (1571) [4] y F. Salinas (1577) [5] . M. Pretorius (1619) [6] proporcionó un método práctico para afinar el órgano en la escala de medios tonos a 1/4 de coma y una descripción teórica muy completa de este último. En este sentido, este sistema también recibió el nombre de "pretoriano" ( prätorianische Stimmung ), especialmente común en la literatura alemana , a partir del siglo XVII (por A. Werkmeister y otros).

El tono entero medio (segunda mayor) de la escala “pretoriana”, en contraste con los tonos enteros mayores (9:8) y menores (10:9) de la escala pura , es exactamente la mitad de una tercera mayor pura (5 :4), y, además, es el medio entre los tonos enteros más grandes y más pequeños.

Según la definición general, el temperamento uniforme también pertenece a las escalas de tonos medios , ya que en él todas las quintas están templadas por el mismo valor: 1/12 de la coma pitagórica [7] . Un tono entero en una escala de igual temperamento es el medio, dividiendo exactamente por la mitad la tercera mayor de igual temperamento [8] .

En la literatura científica popular rusa (por ejemplo, en A.M. Volkonsky ), en lugar del término "tono medio", también se encuentra el término "mesotónico", que es una transferencia morfológica de los términos francés e italiano ( French Tempérament mésotonique , italiano Temperamento mesotónico ) [9] .

Medio tono 1/4 coma ("pretoriano")

Base teórica

Si en una cadena de cuatro quintos, por ejemplo,

CGdae 1 ,

todas las quintas están afinadas limpiamente (tienen una relación de frecuencia de audio de 3: 2), luego la tercera mayor CE , formada "a lo largo de sus bordes" (teniendo en cuenta la transferencia de sonido e 1 hacia abajo dos octavas, tiene una relación de frecuencia de audio de 81:64), resulta ser un tercio importante del sistema pitagórico ( dyton ). El tercio mayor de la escala pitagórica es más ancho que el tercio mayor más eufónico de la escala pura (5:4) por la coma de Didyme (81:80). Por lo tanto, si cada quinta en la cadena dada se templa (cambia casi imperceptiblemente por el oído) con una disminución de 1/4 de la coma didym, entonces la tercera mayor después de dos octavas Ce 1 a lo largo de los bordes de la cadena será una puramente afinado, es decir, un intervalo del sonido natural sin tiempos de la escala entre los armónicos 1 y 5. La relación de las frecuencias de sonido de la 1/4 parte de la coma de didimio es

\sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4\cdot5}}=\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4] 5}

lo que hace que la relación de las frecuencias de sonido de la quinta de tono medio (una quinta reducida en 1/4 de la coma de didimio) sea igual a

\frac32:\left(\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4]5}\right)=\sqrt[4]5

[10] , o 696,5784 centavos .

Comparación con intervalos de afinación puros

La siguiente tabla compara los principales intervalos de afinación "pretorianos" con intervalos de afinación puros . El símbolo indica la relación de frecuencias ¼ coma [11] . $\beta$

Intervalo de medios tonos por ¼ de coma	q	O	Relación de frecuencia	Relación con intervalos de afinación puros		Valor en centavos
prima aumentada, semitono cromático	7	-cuatro	${\frac {25}{16{\sqrt[{4}]{5))))$	$\ ={\frac {25}{24}}\beta$	excede el semitono cromático más pequeño de afinación pura (25:24) por ¼ de coma	76.05
segundo pequeño, semitono diatónico	-5	3	${\frac {8}{5{\sqrt[{4}]{5))))$	$\ ={\frac {16}{15}}\beta$	supera el semitono diatónico más pequeño de afinación pura (16:15) por ¼ de coma	117.11
segunda mayor, tono entero (medio)	2	-una	${\frac {\sqrt {5}}{2}}$	$\ ={\frac {10}{9}}\beta ^{2}={\frac {9}{8}}:\beta ^{2}=$ $\ ={\sqrt {{\frac {10}{9}}\cdot {\frac {9}{8}}}}={\sqrt {\frac {5}{4}}}$	más de un tono entero más pequeño (10:9) por ½ coma y menos de un tono entero más grande (9:8) por ½ coma; medio entre estos tonos enteros; la mitad exacta de una tercera mayor pura (5:4)	193.16
tercera menor	-3	2	${\frac{4}{5}}{\sqrt[{4}]{5}}$	${\ estilo de visualización \ = {\ frac {6}{5}}: \ beta}$	menos de una tercera menor pura (6:5) por ¼ de coma	310.26
tercera mayor	cuatro	-2	${\frac{5}{4))$		es una tercera mayor pura	386.31
cuarto de galón	-una	una	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt[{4}]{5))))$	$\ ={\frac {4}{3}}\beta$	supera a la cuarta justa (4:3) por ¼ de coma	503.42
quinta	una	0	${\ estilo de visualización {\ sqrt [{4}] {5}}}$	${\ estilo de visualización \ = {\ frac {3}{2}}: \ beta}$	menos de una quinta pura (3:2) por ¼ de coma	696.58
sexta menor	-cuatro	3	${\frac {8}{5}}$		es una sexta menor pura	813.69
sexta mayor	3	-una	${\frac {5}{2{\sqrt[{4}]{5))))$	$\ ={\frac {5}{3}}\beta$	más que una sexta mayor pura (5:3) por ¼ de coma	889.74

Construcción

Tono básico: C, el comienzo de la construcción de Mi y más adelante en el quinto círculo

La construcción de la escala se puede hacer como en el sistema pitagórico , sólo que tomando como base no una quinta pura, sino una de medio tono, que tiene una relación de frecuencias:

$\frac{3}{2}:\izquierda(\frac{81}{80}\derecha)^{0{,}25}$ , es decir, una quinta de tono medio de este tipo ya tiene unas 5 centésimas puras.

Notación de notas	Relación de frecuencia a tónica
ES	$\frac{8}{27} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot 4$
B	$\frac{4}{9} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}5} \cdot 4$
F	$\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}25} \cdot 2$
C	$\frac{1}{1} = 1$
GRAMO	$\frac{3}{2}:\izquierda(\frac{81}{80}\derecha)^{0{,}25}$
D	$\frac{9}{4}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}5} \cdot \frac{1}{2}$
A	$\frac{27}{8}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot \frac{1}{2}$
mi	$\frac{81}{16}:\frac{81}{80} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
H	$\frac{243}{32}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}25} \cdot \frac{1}{4}$
fis	$\frac{729}{64}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}5} \cdot \frac{1}{8}$
cis	$\frac{2187}{128}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}75} \cdot \frac{1}{16}$
gis	$\frac{6561}{256}:\left(\frac{81}{80}\right)^2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{25}{16}$

Por lo tanto, se pueden obtener los siguientes intervalos

Ocho tercios mayores puros: Es-G, BD, FA, CE, GH, D-Fis, A-Cis, E-Gis
Once quintas de medios tonos: Es-B, BF, FC, CG, GD, DA, AE, EH, H-Fis, Fis-Cis, Cis-Gis
Un quinto lobo aumentado ( sexto disminuido ): Gis-Es con relación de frecuencia

2 \cdot \frac{32}{27} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot \frac{16}{25} = \frac{1024 }{675} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \approx \frac{3{,}0625}{2} \approx 737{,}64\ ,\mathrm{Cent}

Cuatro tercios mayores algo inflados ( cuartos disminuidos ): H-Es, Fis-B, Cis-F, Gis-C

\frac{32}{25}\approx 427{,}37\,\mathrm{Cent}

La presencia de tercios inflados está asociada a la presencia de un diesa pequeño , es decir, a la desigualdad de tres tercios grandes a una octava.

Otros medios tonos

Notas

↑ El término se remonta a en:Р. Bozanquetú . En otra terminología (especialmente inherente a la teoría matemática moderna de las afinaciones musicales), una afinación regular (temperamento) es una afinación matemática abstracta que consiste en un número infinito de sonidos (pasos), cuyas frecuencias relativas forman (de forma natural) un grupo abeliano libre generado finitamente - cf., por ejemplo, en:Regular Temperament .
↑ Istitutioni harmonice (1ª ed., 1558) II, 42-47.
↑ Véase, por ejemplo, Rasch, R. Tuning and Temperament // The Cambridge History of Western Music Theory. - NY: Cambridge University Press, 2002. - P. 193-222. — ISBN 0521623715 .
↑ Dimostrationi harmoniche (1.ª ed., 1571), p. 263-269. En la literatura, comenzando con A. J. Ellis , ha prevalecido durante mucho tiempo la opinión de que la afinación de medio tono de 1/4 de coma fue descrita por primera vez por P. Aaron en el último capítulo de Il Toscanello della Musica (1523). Sin embargo, la descripción de Aaron es de carácter general, sin especificar los valores del temperamento. Su demanda de que las terceras sean "sonoras y claras, es decir, lo más unificadas posible" ( sonora & giusta, cioe unita al suo possibile ) no siempre puede tomarse literalmente como una demanda de su pureza acústica (5:4), ya que además on él se refiere explícitamente a su temperamento en su entorno ( per laqual Participatione, restano spuntate overo diminute, le terze & seste ). Para un análisis detallado del temperamento de P. Aaron, véase, por ejemplo, Lindley, M. Early 16th-Century Keyboard Temperaments // Musica Disciplina. - 1974. - T. 28 . - Pág. 129-151. ; JSTOR20532169 . Además, Zarlino, definiendo una escala de medios tonos con temperamentos de quintas por 1/4 de coma, la llama nueva .
↑ De musica libri septem , Liber III, Cap. XIII-XIV. Salinas señala que llegó a este sistema independientemente de Zarlino: “Eam nos, dum essemus Romae iuvenes, excogitasse videbamur, et postea a Iosepho Zarlino traditam invenimus, nihil ab ea, quam nos excogitaueramus, discrepantem” (“En mi juventud, cuando Estuve en Roma, me pareció que esto [precisamente] lo inventé yo, y después encontré que G. Zarlino decía lo mismo, y lo que decía no se diferenciaba en nada de lo que yo inventé.") Salinas a Roma tuvo lugar en 1538, mucho antes de la publicación por él y Zarlino de la descripción del sistema de tonos medios para 1/4 de coma.
↑ Syntagma Musicum , T. II De Organographia , IV Theil, Cap. IV
↑ Dado que 1/12 de la coma pitagórica es prácticamente igual a 1/11 de la coma de didyme (la diferencia entre estas partes de la coma es inferior a 0,00012 céntimos ), el sistema de temperamento igual también es clasificado por muchos autores como un sistema de temperamento medio. sistema de tono en coma 1/11 (didyma): la diferencia entre este sistema y un temperamento igual calculado con precisión tiene solo un carácter matemático formal.
↑ A veces, formal y matemáticamente, el sistema pitagórico también se conoce como sistemas de tonos medios , en los que todas las quintas de la quinta cadena son puras, es decir, no templadas o, en otras palabras, "templadas a cero". Desde este punto de vista de los pitagóricos, el sistema es "sistema de medios tonos a 0 acciones de coma". Un tono entero de la escala pitagórica (9:8) es la mitad exacta del ditón , es decir, la tercera mayor de la escala pitagórica (81:64).
↑ En la literatura científica inglesa de finales del siglo XIX y principios del XX, también se utilizó el término mesotonic (por ejemplo, por A. J. Ellis ).
↑ La relación de las frecuencias de los sonidos de una quinta del sistema "pretoriano" también se puede obtener de la ecuación que expresa la relación "cuatro quintas del sistema "pretoriano" sin dos octavas da una tercera mayor de una afinación pura". $X$ $x^4\,:\,(2/1)^2=5/4$
↑ Eso es . $\beta=\sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4]5}$

Enlaces

Maneras prácticas de afinar un instrumento musical de oído (inglés):
- Medio tono de un cuarto de coma : en el sistema de tonos medios en 1/4 de coma ("pretoriano")
- Medio tono de la tercera coma : en el sistema de tonos medios por 1/3 de coma
- Significado de la sexta coma : en el sistema de tonos medios para 1/6 de coma

Literatura

Volkonsky, A. Fundamentos del temperamento. - M. : Compositor, 1998.
Lindley, M. Estudio histórico de los temperamentos de tono medio hasta 1620 // Early Keyboard Journal. - 1990. - T. 8 .
Leedy, D. Un temperamento venerable redescubierto // Perspectivas de la nueva música. — vol. 29 , núm. 2 (verano de 1991), págs. 202–211 ( JSTOR n.º 833439 )
Lindley, M. Evidencia del siglo XV del temperamento de tono medio // Actas de la Royal Musical Association. - (1975-1976). - T. 102 . - Pág. 37-51. ( JSTOR n.º 766092 )
Lindley, M. Laúdes, violas y temperamentos. - Cambridge, etc.: Cambridge University Press, 1984. - P. 43-66. — ISBN 0521288835 .
Lindley M., Turner-Smith RF Modelos matemáticos de escalas musicales: un nuevo enfoque. - Bonn: Verlag für Systematische Musikwissenschaft, 1993. - P. 52-54. — ISBN 3922626661 .
Lindley, la coma 2/7 de M. Zarlino significaba un temperamento // La música en la interpretación y la sociedad. Ensayos en honor a Roland Jackson (Monografías de Detroit sobre musicología) / M. Cole y J. Koegel, editores - Michigan: Harmonie Park Press, 1997. - ISBN 0899901069 .
Barbour, J. Murray. Afinación y temperamento: un estudio histórico . - Nueva York: Dover Publications, 2004. - P. 25-44 . — ISBN 0486434060 . (Reimpresión de la primera edición de 1951, East Lancing, Michigan State College Press)

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