Teorema de Darboux en geometría simpléctica

El teorema de Darboux en geometría simpléctica es la afirmación de que para cualquier estructura simpléctica dada en una variedad , cualquier punto en tiene una vecindad abierta y coordenadas locales , en las que la forma simpléctica toma la forma canónica . $M^{{2n}}$ $M^{{2n}}$ ${\displaystyle q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n))$ $\omega$ ${\ estilo de visualización \ suma _ {j} dp_ {j} \ cuña dq_ {j}}$

Redacción

Sea una estructura simpléctica en . Entonces para cualquier punto siempre existe una vecindad con tales coordenadas regulares locales , en la que la forma se escribe en la forma canónica más simple, a saber: $\omega$ $M^{{2n}}$ $x\en M^{2n}$ ${\displaystyle q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n))$ $\omega$

{\ Displaystyle \ omega = \ sum _ {i} dp_ {i} \ cuña dq_ {i}}

es decir, en cada punto de esta vecindad, la matriz toma la forma de bloque ${\ estilo de visualización \ izquierda (\ omega _ {ij} \ derecha)}$

{\begin{pmatrix}\mathbb {0} &\mathbb {E} \\-\mathbb {E} &\mathbb {0} \end{pmatrix))

donde y son las matrices cero e identidad , respectivamente. El conjunto de coordenadas se denomina coordenadas canónicas , o coordenadas de Darboux , y los conjuntos de coordenadas son canónicamente conjugados entre sí. ${\ estilo de visualización \ mathbb {0}}$ ${\ matemáticas {E}}$ $n\veces n$ ${\ estilo de visualización 2 \, n}$ ${\ estilo de visualización (q, \, p)}$ $norte$ $q$ $pags$

Prueba

La demostración moderna del teorema de Darboux utiliza el llamado truco de Moser . Es especialmente claro en variedades simplécticas cerradas. Es decir, sean dos formas simplécticas en la variedad que pertenecen a la misma clase de cohomología de De Rham . Entonces (por ejemplo, considerando sus combinaciones lineales: el cono de las formas no degeneradas es convexo) pueden relacionarse mediante una familia de formas simplécticas de un parámetro tal que su clase de cohomología sea la misma. Por lo tanto, según la definición de la cohomología de De Rham, tenemos derecho a escribir , donde es alguna forma 1. Sea un campo vectorial tal que (tal existe debido a la no degeneración de todas las formas ). ${\ estilo de visualización \ omega _ {0}, \ omega _ {1}}$ $X$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {t}}$ ${\ estilo de visualización t \ en [0; 1]}$ ${\frac {\parcial \omega _{t}}{\parcial t}}=d\eta _{t}$ $\eta _{t}$ $Vermont}$ $\iota _{v_{t}}\omega _{t}=\eta _{t}$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {t}}$

Compongamos estas dos familias, a saber, campos vectoriales y 2-formas, en un solo campo vectorial definido en una variedad con límite como , y una sola 2-forma , restringida a cualquier subvariedad como (implícitamente nos identificamos al olvidar el tiempo coordinada, y sin esa constante en ) y se desvanece cuando se sustituye un campo vectorial en él . Tenga en cuenta que, en términos generales, la forma no se cierra como una forma : al escribir una fórmula explícita para el diferencial de De Rham, es fácil ver la igualdad (junto con la desaparición idéntica a lo largo de subvariedades , la forma 3 está determinada de forma única ). $V$ ${\ estilo de visualización X \ veces [0; 1]}$ ${\displaystyle V_{(x,t)}={\frac {\parcial }{\parcial t))-(v_{t})_{x))$ $\Omega$ ${\displaystyle X_{t}=X\veces \{t\))$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {t}}$ $X_{t}$ $X$ $X_{t}$ ${\frac {\parcial }{\parcial t))$ $\Omega$ ${\ estilo de visualización X \ veces [0; 1]}$ ${\ Displaystyle \ iota _ {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} d \ Omega = {\ frac {\ parcial \ omega _ {t}} {\ parcial t}}}$ $X_{t}$ $d\Omega$

Entonces, apliquemos la fórmula de Cartan: . Por lo tanto, el flujo del campo vectorial conserva la forma . Al mismo tiempo, su flujo transforma subvariedades entre sí. Por lo tanto, el mapeo de Cauchy definido por it , que mapea el punto inicial de la curva integral a su punto final, transforma la restricción de forma en la restricción de forma , es decir, define un difeomorfismo que se transforma en . $\left(\mathrm {Mentira} _{V}\Omega \right)_{t}=\left(d\iota _{V}\Omega +\iota _{V}d\Omega \right) _ {t}={\frac {\parcial \omega_{t}}{\parcial t}}-d\iota_{v_{t}}\omega_{t}=d\eta_{t}- d\eta _{t}=0$ $V$ $\Omega$ $X_{t}$ ${\ estilo de visualización X_ {0} \ a X_ {1}}$ $\Omega$ $\Omega$ $X$ $\omega_0$ $\omega_{1}$

En particular, cuando la variedad es bidimensional, la forma simpléctica es la misma que la forma del área, por lo que la clase de cohomología correspondiente se define por un solo número, su integral sobre el ciclo fundamental, en otras palabras, el área de la superficie Por lo tanto, la clase de simplectomorfismo de una superficie simpléctica está determinada únicamente por su género y área. Este hecho era conocido, al parecer, incluso por Poincaré . $X$

La demostración del área abierta (es decir, el enunciado original del teorema de Darboux) es algo más tediosa, aunque no requiere otras ideas esenciales, y se encuentra en el libro [1] .

Variaciones y generalizaciones

Una variante del teorema de Darboux para las subvariedades de Lagrangian se debe a Weinstein . Es decir, existe una estructura simpléctica canónica en el espacio total del paquete cotangente a cada variedad. Por otro lado, si es una variedad simpléctica y es una subvariedad lagrangiana (es decir, una subvariedad semidimensional tal que ), entonces hay un isomorfismo de los paquetes tangente y conormal a : el vector tangente se envía a la funcional que se desvanece en y por lo tanto definido en el espacio normal ; en virtud de la no degeneración de la forma , se obtiene así todo funcional sobre un espacio normal. Al dualizar, uno puede pensar en este mapeo como un mapeo del paquete cotangente al paquete normal. El teorema de Darboux-Weinstein establece que este mapeo se puede integrar a un mapeo real , donde hay alguna vecindad tubular de la sección cero del paquete cotangente , además, tal que es constante en él, y toma la forma simpléctica en la simpléctica . formulario en . En particular, los gráficos de formas 1 cerradas bajo tal mapeo pasarán a subvariedades lagrangianas en cerca de . ${\ estilo de visualización (X, \ omega)}$ $Y\subconjunto X$ $\omega |_{Y}\equiv 0$ $Y$ $v$ ${\ estilo de visualización \ iota _ {v} \ omega}$ ${\ estilo de visualización TY}$ ${\ estilo de visualización TX/TY}$ $\omega$ ${\ estilo de visualización U \ a X}$ $tu$ $T^{*}Y$ $Y$ $U\subconjunto T^{*}Y$ $X$ $X$ $Y$

Un análogo de dimensión impar del teorema de Darboux para variedades de contacto se debe a Gray .

En esencia, el teorema de Darboux significa que las variedades simplécticas no tienen invariantes locales, lo que cambia el enfoque hacia la topología al estudiarlas. Las estructuras complejas tienen algunas similitudes : para cualquier operador de una estructura casi compleja (es decir, tal que ) que satisface la condición de integrabilidad (es decir, que los campos vectoriales imaginarios, valores propios para el operador , cuando se conmutan, dan un campo que es también eigenfor con eigenvalue ), hay un mapa complejo, es decir, un mapeo holomorfo local en un dominio en . Este enunciado constituye el teorema de Newlander-Nirenberg , cuya demostración es mucho más complicada. Las variedades de Riemann dan un ejemplo de una situación en la que el teorema de Darboux no es cierto : para una isometría local, dos métricas deben tener los mismos tensores de curvatura de Riemann . Al mismo tiempo, las métricas riemannianas son más simples en el sentido de que para ellas la condición de “integrabilidad” (similar a la condición anterior para una estructura casi compleja o la condición para una forma 2 no degenerada) siempre se cumple automáticamente: para una estructura casi simpléctica y casi compleja, la condición de integrabilidad equivale a la existencia de una conexión lineal libre de torsión , respecto de la cual estos tensores son paralelos, mientras que para la métrica de Riemann tal conexión existe y, además, es única. $I\dos puntos TX\a TX$ $I^{2}=-\mathrm {Id}_{TX}$ ${\ sqrt {-1}}$ $yo$ $yo$ ${\ sqrt {-1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {n}}$ $d\omega =0$

Para variedades holomórficamente simplécticas, tampoco puede existir un análogo del teorema de Darboux-Weinstein, y por razones esenciales. Por ejemplo, considere una superficie K3 con un haz elíptico no isotrivial (es decir, un haz cuya fibra común es lisa, y en una vecindad de cualquier fibra no singular todas las capas son curvas elípticas no isomorfas por pares), y es una de las fibras de este haz. El fibrado cotangente holomorfo a una curva elíptica es trivial, y las gráficas de 1-formas cerradas, es decir, sus secciones constantes, son curvas elípticas biholomórficas a la dada. Por otro lado, como señaló Hitchin , una forma holomorfamente simpléctica, vista como una forma 2 con coeficientes complejos, hace posible recuperar la estructura compleja en una variedad de forma única. Si hubiera un mapeo , donde es una vecindad de la sección cero, que mapea una forma holomorfamente simpléctica en una forma holomorfamente simpléctica sobre , entonces sería holomorfa en sí misma, y mapearía curvas cercanas a curvas cercanas a , además, biholomórficas . Pero está claro a partir de la fórmula adjunta que todas las deformaciones de una curva elíptica en una superficie K3 forman una familia de un parámetro y pertenecen al mismo paquete elíptico. Por lo tanto, si el paquete no es isotrivial, tal mapeo no puede existir. Para variedades holomorfas en variedades holomorfamente simplécticas (por ejemplo, curvas racionales en superficies K3), todavía hay un análogo del teorema de Darboux-Weinstein, pero la clave de su prueba no son consideraciones geométricas como el truco de Moser, sino la teoría de singularidades o incluso teoría de la representación : por ejemplo, al soplar una curva racional en la superficie K3 se forma una singularidad de tipo A 1 , que también es un factor , que también es una singularidad del cono nilpotente del álgebra de Lie ; y todas esas singularidades son equivalentes hasta el isomorfismo analítico, que da un isomorfismo para la vecindad de la curva antes del escape. Para curvas de género más grande, exactamente lo contrario es cierto: conocer una vecindad arbitrariamente pequeña de la curva permite reconstruir la superficie (o al menos el campo de funciones meromórficas en ella) de forma única. En principio, para medir hasta qué punto una vecindad de una subvariedad compleja no admite isomorfismo con una vecindad de la sección cero de su fibra normal podría medirse utilizando un invariante similar a la clase Ueda ; pero sólo existe para subvariedades de codimensión uno, es decir, si hablamos de subvariedades lagrangianas, curvas sobre superficies. En el caso de curvas elípticas sobre superficies complejas, cuyo fibrado normal es topológicamente trivial, el criterio para la presencia de un biholomorfismo local con fibrado cotangente viene dado por el llamado teorema de Arnold sobre pequeños denominadores : si es la normal haz de una curva elíptica que se encuentra sobre una superficie compleja , entonces a lo largo es una vecindad localmente biholomórfica de la sección cero si y solo si, para cualquier métrica invariante en el grupo de Picard , la función tiene asintótica (la misma condición en el crecimiento de los denominadores de fracciones convergentes a un número es necesario que este número sea algebraico , de ahí el nombre del teorema; es curioso que la violación de una condición similar sobre la relación de los períodos de revolución de los cuerpos celestes hace improbable la circulación en algunas órbitas, lo que da lugar a las ranuras de Kirkwood y la fisión de Cassini , ver más detalles en el artículo " Resonancia orbital "). Al mismo tiempo, en dimensiones altas, esta ciencia está lejos de ser completa: por ejemplo, la conjetura de Matsushita , que establece que la fibración lagrangiana en una variedad de hiperkähler es isotrivial o sus fibras (que siempre son variedades abelianas ; teorema) constituyen una familia de módulos de dimensión completa en el espacio de variedades abelianas aún no ha sido probado (aunque en 2015 van Gemen y Voisin lograron avances significativos en este tema ). $X$ $mi$ ${\ estilo de visualización U \ a X}$ $U\subconjunto T^{*}E$ $T^{*}E$ $X$ ${\ estilo de visualización E \ subconjunto U}$ $E\subconjunto X$ $mi$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\))$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $L$ $mi$ $X$ $X$ $mi$ $L$ $\rho$ $\mathrm {Imagen} (E)$ $-\ln \rho ({\cal {O}}_{E},L^{\otimes n})$ ${\ estilo de visualización O (\ ln n)}$

El hecho de que no hay esperanza para la existencia del teorema de Darboux-Weinstein para variedades holomórficamente simplécticas puede demostrarse de otra manera. Es decir, en una vecindad de la sección cero existe una acción holomorfa del grupo , que multiplica los vectores cotangentes por números complejos de módulo igual a uno. En el ejemplo anterior de una superficie K3 elíptica no isotrivial, tal acción local es imposible, porque todas sus fibras en cualquier vecindad son no biholomórficas por pares. En cierto sentido, esta consideración es el único obstáculo para la existencia de un análogo del teorema de Darboux-Weinstein para variedades holomórficamente simplécticas. En cualquier caso, el siguiente teorema está contenido en las memorias de Kaledin , presentadas por él en Trieste en 1994: [2] ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (1)}$

Sea una variedad holomórficamente simpléctica dotada de una acción de grupo holomorfa regular tal que el elemento multiplica la forma holomorfamente simpléctica por el número . Entonces hay una vecindad abierta del conjunto de puntos fijos de esta acción y un mapeo canónico tal que la métrica de hyperkähler es inducida por este mapeo desde la estructura canónica de hyperkähler hasta . $X$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (1)}$ $z\in \mathrm {U} (1)$ $z\in \mathbb {C}$ $U\subconjunto X$ $Y=X^{\mathrm {U} (1)}\subconjunto X$ $U\a T^{*}Y$ $tu$ $T^{*}Y$

También probó una versión de esta afirmación para variedades hipercomplejas más generales.

Notas

↑ Geometría simplista. Métodos y aplicaciones., 1988 , p. 84-867.
↑ ed.: S. Marchiafava, P. Piccinni, M. Pontecorvo. Estructuras cuaterniónicas en matemáticas y física (inglés) . - World Scientific , 2001 . - P. 199 . — ISBN 981-02-4630-7 .

Literatura

Fomenko A.T. Geometría simpléctica. Métodos y aplicaciones. - M. : MGU, 1988. - 413 p. — ISBN 5-211-00083-8 .