Teorema de Newton-Leibniz

La fórmula de Newton-Leibniz , o el teorema fundamental del análisis , da la relación entre dos operaciones: tomar la integral de Riemann y calcular la antiderivada .

Redacción

La formulación clásica de la fórmula de Newton-Leibniz es la siguiente.

Si una función es continua en un segmento y cualquiera de sus antiderivadas en este segmento, entonces la igualdad $\estilo de texto f(x)$ $\izquierda[a,b\derecha]$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ Phi (x)}$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _ {a}^{b}

Prueba

Sea dada una función integrable sobre el segmento . $\izquierda[a,b\derecha]$ $\estilo de texto f$

Establezcamos un valor arbitrario y definamos una nueva función . Está definida para todos los valores de , porque sabemos que si existe una integral de on , entonces también existe una integral de on , donde . Recuerde que consideramos por definición $\textstyle x\in \left[a,b\right]$ $\textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ $\textstyle x\in \left[a,b\right]$ $\estilo de texto f$ $\izquierda[a,b\derecha]$ $\estilo de texto f$ $\izquierda[a,x\derecha]$ $a\leqslant x\leqslant b$

$F(a)=\int \limites _{a}^{a}f(t)\,dt=0$ (una)

Darse cuenta de

$F(b)=\int \limites _{a}^{b}f(t)\,dt$

Demostremos que es continua en el segmento . De hecho, deja ; después $\estilo de texto F$ $\izquierda[a,b\derecha]$ $x,x+h\en\izquierda[a,b\derecha]$

$F(x+h)-F(x)=\int \limits _{a}^{{(x+h)}}f(t)\,dt-\int \limits _{a}^{x} f(t)\,dt=\int \limits _{x}^{{(x+h)}}f(t)\,dt$

y si , entonces $K=sup|f(t)|,a\leqslant t\leqslant b$

$|F(x+h)-F(x)|\leqslant {\bigg |}\int \limits _{x}^{{(x+h)))f(t)\,dt{\bigg |} \leqslant K|h|\a 0,h\a 0$

Así, es continua independientemente de que tenga discontinuidades o no; es importante que sea integrable en . $\estilo de texto F$ $\izquierda[a,b\derecha]$ $\estilo de texto f$ $\estilo de texto f$ $\izquierda[a,b\derecha]$

La figura muestra un gráfico . El área de la figura variable es . Su incremento es igual al área de la figura , que por la limitación de , obviamente tiende a cero en independientemente de si es un punto de continuidad o de discontinuidad , por ejemplo, un punto .

\estilo de texto f

\textstyle aABx

\textstyle F(x)

\textstyle F(x+h)-F(x)

\textstyle xBC(x+h)

\estilo de texto f

h \ a 0

\textstyle x

\estilo de texto f

\estilo de texto xd

Ahora permita que la función no solo sea integrable en , sino que sea continua en el punto . Probemos que entonces tiene una derivada en este punto igual a $\estilo de texto f$ $\izquierda[a,x\derecha]$ $x\in\izquierda[a,x\derecha]$ $\estilo de texto F$

$\textstyle F'(x)=f(x)$ (2)

De hecho, para el punto dado $\textstyle x$

${\dfrac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(t )\,dt={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}(f(x)+\eta (t))\,dt$ $={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt+{\dfrac {1}{h}}\int \limits_{ x}^{{x+h}}\eta(t)\,dt=f(x)+o$ (1) , (3) $h \ a 0$

Ponemos , y como la constante es relativa a , entonces . Además, debido a la continuidad en el punto , cualquiera puede especificar tal que para . $\textstyle f(t)=f(x)+\eta (t)$ $\estilo de texto f(x)$ $\ estilo de texto t$ $\textstyle \int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt=f(x)h$ $\estilo de texto f$ $\textstyle x$ $\textstyle \varepsilon >0$ $\estilo de texto \delta$ $\textstyle |\eta (t)|<\varepsilon$ $\textstyle |xt|<\delta$

Es por eso

$\left|{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt\right|\leqslant {\dfrac {1}{| h|}}|h|\varepsilon =\varepsilon,|h|<\delta$

lo que prueba que el lado izquierdo de esta desigualdad es o(1) para . $\textstyle h\a 0$

Pasar al límite en (3) en muestra la existencia de la derivada de en el punto y la validez de la igualdad (2). Aquí estamos hablando de las derivadas derecha e izquierda, respectivamente. $\textstyle h\a 0$ $\estilo de texto F$ $\textstyle x$ $\textstyle x=a,b$

Si una función es continua en , entonces, según lo demostrado anteriormente, la función correspondiente $\estilo de texto f$ $\izquierda[a,b\derecha]$

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ (cuatro)

tiene una derivada igual a . Por lo tanto, la función es antiderivada para sobre . $\textstyle f(x):F'(x)=f(x),a\leqslant x\leqslant b$ $\textstyle F(x)$ $\estilo de texto f$ $\izquierda[a,b\derecha]$

Esta conclusión a veces se denomina teorema integral del límite superior variable o teorema de Barrow .

Hemos demostrado que una función continua arbitraria en un intervalo tiene una antiderivada en este intervalo, definida por la igualdad (4). Esto prueba la existencia de una antiderivada para cualquier función continua en un intervalo. $\izquierda[a,b\derecha]$ $\estilo de texto f$

Sea ahora una antiderivada arbitraria de una función en . Sabemos que , donde es alguna constante. Suponiendo en esta igualdad y teniendo en cuenta que , obtenemos . $\ estilo de texto \ Phi$ $\estilo de texto f(x)$ $\izquierda[a,b\derecha]$ $\textstyle \Phi (x)=F(x)+C$ $\estilo de texto C$ $\textstyle x=a$ $\textstyle F(a)=0$ $\textstyle \Phi (a)=C$

Así, . Pero $\textstyle F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)$

$\int \limites _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)$

Es por eso

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)=\Phi (x){\bigg |}{\begin{matriz }x=b\\\\x=a\end{matriz}}$

Sin embargo, de hecho, el requisito de continuidad del integrando es redundante. Para cumplir esta fórmula, es suficiente sólo la existencia de las partes izquierda y derecha.

Si una función es integrable y tiene una antiderivada en el segmento , — cualquiera de sus antiderivadas en este segmento, entonces la igualdad $\estilo de texto f(x)$ $\izquierda[a,b\derecha]$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ Phi (x)}$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _ {a}^{b}

La continuidad es una condición conveniente en la práctica, ya que inmediatamente garantiza tanto la integrabilidad como la existencia de una antiderivada. En su defecto, para la correcta aplicación, es necesario comprobar ambas propiedades, lo que a veces resulta difícil. Hay funciones integrables que no tienen antiderivada (cualquier función con un número finito de puntos de discontinuidad o una función de Riemann ), y funciones no integrables que tienen antiderivada (derivada suplementada por cero en cero, en cualquier segmento que contiene 0, o la función Volterra ). ${\displaystyle x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2))))$

La fórmula se puede generalizar al caso de funciones con un número finito de discontinuidades. Para hacer esto, necesitamos generalizar el concepto de antiderivada. Deje que la función se defina en un segmento excepto, quizás, para un número finito de puntos. Una función se llama antiderivada generalizada si: $F$ $[a;b]$ $F$ $F$

Continuo en un segmento $[a;b]$
En todos los puntos , con la posible excepción de un número finito de ellos, es diferenciable $[a;b]$
En todos los puntos donde es diferenciable, excepto quizás en un número finito de ellos, su derivada es . $F$

Esta definición no requiere que la derivada sea igual en todos los puntos donde es diferenciable. Con este concepto, se puede generalizar aún más la fórmula de Newton-Leibniz. $F$ $F$ $F$

Que se defina en todas partes excepto, quizás, para un número finito de puntos. Si una función es integrable y tiene una antiderivada generalizada en el segmento , — cualquiera de sus antiderivadas generalizadas en este segmento, entonces la igualdad $F$ $[a;b]$ $\estilo de texto f(x)$ $\izquierda[a,b\derecha]$ $F(x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)={\Bigg .}F(x){\Bigg |}_{a }^{b}

Prueba

Como la función es integrable, se puede considerar cualquier secuencia de particiones con puntos marcados cuyo diámetro tiende a cero. El límite de las sumas integrales sobre ellas será igual a la integral. $F$

Considere una secuencia de particiones de un segmento tal que el diámetro de la partición tiende a cero como . Incluyamos también en cada una de estas particiones los puntos del segmento en los que no es diferenciable o su derivada no es igual a . Con estos puntos de división adicionales, denote . $[a;b]$ ${\ estilo de visualización \ {T_ {n} \}}$ $n\to +\infty$ $[a;b]$ $F$ $F$ $T_{n}'$

Ahora vamos a establecer puntos marcados en ellos. Arreglamos una partición específica . Entonces, por suposición, la función es continua en cada uno de los segmentos y derivable en los intervalos . Las condiciones del teorema de Lagrange se cumplen y, por lo tanto, existe tal punto que . Tomamos estos puntos como los puntos de división marcados . Entonces la suma integral sobre tal partición será igual a . $T_{n}=\{a=x_{0},\ldots,x_{n}=b\}$ $F$ ${\ estilo de visualización [x_{i-1};x_{i}]}$ ${\ estilo de visualización (x_ {i-1}; x_ {i})}$ ${\ estilo de visualización \ xi _ {i} \ en (x_ {i-1}; x_ {i})}$ $f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})=F(x_{i})-F(x_{i-1})$ ${\ estilo de visualización \ Xi _ {n} = (\ xi _ {1}, \ ldots, \ xi _ {n})}$ $T_{n}'$ $:\sigma (f,T_{n}',\Xi _{n})=f(\xi _{1})(x_{1}-x_{0})+f(\xi _{n}) 2})(x_{2}-x_{1})+\ldots +f(\xi _{n})(x_{n}-x_{n-1})=-F(x_{0})+ F(x_{1})-F(x_{1})+F(x_{2})-\ldots -F(x_{n-1})+F(x_{n})=F(x_{n })-F(x_{0})=F(b)-F(a)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dt=\lim _{n\to +\infty }\sigma (f,T_{n}',Xi_{n}) =F(b)-F(a)

La prueba anterior es interesante porque no usó ninguna de las propiedades de la integral, excepto por su definición directa. Sin embargo, no proporciona una prueba de la fórmula de Newton-Leibniz en la formulación clásica: para esto, es necesario probar adicionalmente que cualquier función continua es integrable y tiene una antiderivada.

comentario _ La aplicación irreflexiva de una fórmula a funciones que no son continuas puede conducir a un error. Un ejemplo de un cálculo incorrecto:

\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{- 1}^{1}=-1-1=-2,

aunque la integral de una función positiva no puede ser negativa.

Causa del error: la función no es antiderivada (incluso generalizada) para una función en un segmento , simplemente porque no está definida en cero. La función no tiene ninguna antiderivada en este segmento. Además, esta función tampoco está acotada en la vecindad de cero y, por lo tanto, no es Riemann integrable. $-{\frac{1}{x}}$ ${\ estilo de visualización {\ frac {1} {x ^ {2}}}}$ ${\ estilo de visualización [-1; 1]}$

Historia

Incluso antes del advenimiento del análisis matemático, Gregory y Barrow conocían este teorema (en una formulación geométrica o mecánica) . Por ejemplo, Barrow describió este hecho en 1670 como una relación entre las tareas de cuadratura y tangencia .

Newton formuló verbalmente el teorema de la siguiente manera: "Para obtener el valor propio del área adyacente a alguna parte de la abscisa , esta área debe tomarse siempre igual a la diferencia en los valores de z [antiderivada] correspondientes a las partes de la abscisa delimitada por el principio y el final del área".

Leibniz tampoco tiene registro de esta fórmula en su forma moderna, ya que la notación de una integral definida apareció mucho más tarde, en Fourier a principios del siglo XIX.

La formulación moderna la dio Lacroix a principios del siglo XIX.

Significado

El teorema fundamental del análisis establece una conexión entre el cálculo diferencial y el integral . El concepto de antiderivada (y por lo tanto el concepto de integral indefinida) se define a través del concepto de derivada y por lo tanto pertenece al cálculo diferencial. Por otra parte, el concepto de integral de Riemann definida se formaliza como un límite al que converge la denominada suma integral. Es independiente del concepto de derivada y pertenece a otra rama del análisis: el cálculo integral. La fórmula de Newton-Leibniz nos permite expresar una integral definida en términos de la antiderivada.

Integral de Lebesgue

La función es una integral indefinida de la función sumable . La función es absolutamente continua . $F(x):=C+\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$ $f(x)$ $F(x)$

Teorema ( Lebesgue ): es absolutamente continua en un intervalo si y sólo si existe un integrable en una función tal que para cualquier valor de x de a a b . $f(x)$ $[a,b]$ $[a,b]$ $gramo$ $f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}g(t)dt$

De este teorema se sigue que si una función es absolutamente continua en , entonces su derivada existe casi en todas partes , es integrable y satisface la igualdad [1] : $F$ $[a,b]$

f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt

, donde .

x\en[a,b]

Algunas consecuencias

Como corolarios de este teorema, se puede nombrar la fórmula para el cambio de variables, así como el teorema de expansión de Lebesgue para funciones monótonas [1] .

Integración por partes

Sean y funciones absolutamente continuas sobre el segmento . Después: $F$ $gramo$ $[a,b]$

\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits_{ a}^{b}f(x)g'(x)dx

La fórmula se sigue inmediatamente del teorema principal de análisis y la regla de Leibniz [1] .

Variaciones y generalizaciones

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Análisis real y funcional: curso universitario. - M.-Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámica Regular y Caótica", Instituto de Investigación Informática, 2009. - P. 188-197. — 724 pág. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Literatura

Demidovich B. P. Departamento 3. La fórmula de Newton-Leibniz // Colección de problemas y ejercicios de análisis matemático. - 1990. - (Curso de matemáticas superiores y física matemática).
Kamynin L. I. Análisis matemático. T. 1, 2. - 2001.
Nikiforovsky V. A. El camino hacia la integral. — M .: Nauka, 1985.