Teorema de existencia

Un teorema de existencia es un enunciado que establece bajo qué condiciones existe una solución a un problema matemático o un objeto matemático, por ejemplo, una derivada, una integral indefinida, una integral definida, una solución a una ecuación, etc. Al probar los teoremas de existencia, Se utiliza información de la teoría de conjuntos . Los teoremas de existencia juegan un papel muy importante en varias aplicaciones de las matemáticas, por ejemplo, en el modelado matemático de varios fenómenos y procesos. El modelo matemático no es adecuado al fenómeno específico descrito, la existencia del problema matemático correspondiente no se sigue de la existencia de una solución a un problema real. La prueba de los teoremas de existencia es necesaria antes de resolver varios problemas matemáticos, como calcular una integral o integrar una ecuación diferencial. Los teoremas de existencia le permiten determinar si la integral que se está calculando existe y cuántas soluciones tiene una ecuación diferencial . Si es posible probar el teorema de existencia, la unicidad de la solución y la corrección del enunciado del problema en sí, entonces esto significa un primer paso muy importante para resolver el problema.

Ejemplos

Una condición necesaria y suficiente para que la función sea integrable: para que la suma integral converja al límite en , se requiere que la suma de todos los intervalos en los que la fluctuación sea mayor que , para cualquiera con una elección adecuada , pueda hacerse arbitrariamente pequeño. $s$ $\Delta x_{{máx}}\rightarrow 0$ $\sigma$ $\sigma$ $d$
Teorema de la secuencia creciente acotada de Weierstrass .
Un teorema de existencia para números trascendentales , que se demuestra a partir de consideraciones de la cardinalidad de un conjunto .
Teorema del punto fijo de Brouwer .
Un teorema de existencia para una solución al problema de Cauchy (en particular, el Teorema de Peano ).
Teorema del resto chino .
Teoremas sobre aproximaciones diofánticas de números irracionales (por ejemplo , el teorema de Dirichlet sobre aproximaciones diofánticas ).
Teorema de Dirichlet sobre los números primos en progresión aritmética .
Teorema de Picard (ecuaciones integrales) .

Constructividad de los teoremas de existencia

Para los teoremas de existencia, a menudo se considera la cuestión de su constructibilidad o la eficiencia de construir el objeto cuya existencia se está probando. Un teorema en el que un objeto se construye explícitamente se considera más significativo que el llamado teorema que afirma la existencia de algún objeto, pero no dice en absoluto cómo construirlo. Los teoremas del primer tipo se denominan teoremas de existencia constructiva, los teoremas del segundo tipo se denominan teoremas de existencia pura. Los teoremas de existencia constructivos suelen ser más difíciles de probar que los teoremas de existencia pura correspondientes, o simplemente pueden no existir en alguna etapa del desarrollo de las matemáticas.

En el intuicionismo , los teoremas de existencia se formulan en una formulación más débil.

Literatura

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