Teoría de los números trascendentales

La teoría de los números trascendentales es una rama de la teoría de números que estudia los números trascendentales , es decir, los números ( reales o complejos ) que no pueden ser raíces de ningún polinomio con coeficientes enteros . Por ejemplo, constantes de análisis tan importantes como e son trascendentales, pero no lo son, ya que existe una raíz del polinomio $\Pi$ ${\ sqrt {2}}$ ${\ sqrt {2}}$ ${\ estilo de visualización x^{2}-2.}$

Uno de los principales problemas de esta teoría es averiguar si un número dado es trascendental o no. Los métodos y resultados de la teoría de los números trascendentales son ampliamente utilizados en el estudio de las ecuaciones diofánticas .

Números trascendentales

De acuerdo con el Teorema Fundamental del Álgebra , cualquier polinomio distinto de cero con coeficientes enteros tiene una raíz compleja . En otras palabras, para cualquier polinomio con coeficientes enteros, existe un número complejo tal que la Teoría de los Números Trascendentales considera predominantemente la cuestión inversa: dado un número complejo ; determinar si existe un polinomio con coeficientes enteros tal que Si se prueba que tal polinomio no existe, entonces, con ello, se prueba la trascendencia del número . $P(x)$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización P (\ alfa) = 0.}$ $\alfa$ $P(x)$ ${\ estilo de visualización P (\ alfa) = 0.}$ $\alfa$

El conjunto de raíces de todos los polinomios con coeficientes enteros se denomina conjunto de números algebraicos . Por ejemplo, todo número racional es algebraico como raíz polinomial ; todas las posibles combinaciones finitas de radicales de grado arbitrario a partir de números enteros también pertenecen a números algebraicos. Por lo tanto, todos los números complejos se dividen en dos clases que no se superponen: algebraicas y trascendentales. Al final resultó que, en cierto sentido, hay números mucho más trascendentales que los algebraicos (ver más abajo). ${\ Displaystyle {m \ over n}}$ ${\ estilo de visualización nx-m;}$

A diferencia del conjunto de números algebraicos, que es un campo , los números trascendentales no forman ninguna estructura algebraica con respecto a las operaciones aritméticas - el resultado de la suma, resta, multiplicación y división de números trascendentales puede ser tanto un número trascendental como un número algebraico. Sin embargo, hay algunas formas limitadas de obtener un número trascendente de otro número trascendente.

Si t es un número trascendental, entonces y también son trascendentales. $-t$ ${\ estilo de visualización 1/t}$
Si a es un número algebraico distinto de cero, t es trascendente, entonces ellos son trascendentales. $a\pm t,\at,\a/t,\t/a$
Si t es un número trascendental y es un número natural , entonces también son trascendentales. $norte$ $t^{n}$ ${\sqrt[{n}]{t))$

Historia

Aproximación por números racionales: de Liouville a Roth

El concepto de números trascendentales , en contraposición a los algebraicos, se remonta al siglo XVII, cuando Gottfried Leibniz demostró que el seno no es una función algebraica [1] . Esta cuestión fue examinada con más detalle en la década de 1740 por Euler [2] ; afirmó [3] que el valor del logaritmo para los números racionales no es algebraico, excepto en el caso de que para algún racional el enunciado de Euler resulte ser cierto, pero no se demostró hasta el siglo XX. Euler posee los términos propios: número algebraico y trascendental (en la obra de 1775) [4] . $\log _{a}{b}$ $a, b$ ${\ Displaystyle b = a ^ {c}}$ ${\ estilo de visualización c.}$

Los primeros ejemplos concretos de números trascendentales fueron indicados por Joseph Liouville en la década de 1840 con la ayuda de fracciones continuas . Posteriormente, en la década de 1850, formuló la condición necesaria para que un número sea algebraico; en consecuencia, si se viola esta condición, entonces el número es obviamente trascendental [5] . Con la ayuda de tal criterio, describió una amplia clase de números trascendentales, llamados " números de Liouville ". Más tarde se estableció que los números de Liouville forman un conjunto denso en todas partes sobre el eje real real , que tiene la cardinalidad del continuo y, al mismo tiempo, la medida cero de Lebesgue [6] .

El criterio de Liouville esencialmente significa que los números algebraicos no pueden ser bien aproximados (aproximados) por números racionales (ver el teorema de aproximación de números algebraicos de Liouville ). Así, si un número es bien aproximado por números racionales, entonces debe ser trascendental. El significado exacto del concepto de Liouville de " bien aproximado " es el siguiente: si es un número algebraico de grado y ε es cualquier número positivo, entonces la desigualdad $\alfa$ $d\geqslant 2$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}

sólo puede tener un número finito de soluciones racionales , por lo que para probar la trascendencia hay que asegurarse de que para cualquiera y existen infinitas soluciones de la desigualdad indicada [7] . ${\ estilo de visualización p/q.}$ $d$ $\varepsilon >0$

En el siglo XX, los trabajos de Axel Thue [8] , Karl Siegel [9] y Klaus Roth [10] permitieron simplificar algo la verificación de la desigualdad de Liouville reemplazando la expresión primero por y luego (1955) por Este resultado , conocido como el teorema de Thue-Siegel-Roth , como se creía, ya no se podía mejorar, ya que se comprobó que reemplazando por solo 2 da un enunciado erróneo. Sin embargo, Serge Leng sugirió una mejora a la versión de Roth; en particular, sugirió que uno podría reemplazar la expresión más pequeña . $d+\varepsilon$ $d/2+\varepsilon+1,$ $2+\varepsilon.$ $2+\varepsilon$ ${\ Displaystyle q^ {2+\ varepsilon}}$ ${\ Displaystyle q^{2}\ln(q)^{1+\varepsilon))$

El teorema de Thue-Siegel-Roth completó efectivamente el trabajo iniciado por Liouville, permitió a los matemáticos demostrar la trascendencia de muchos números, por ejemplo, la constante de Champernaun . Sin embargo, esta técnica no es lo suficientemente fuerte para detectar todos los números trascendentales; en particular, no se aplica a números y [11] . $mi$ $\Pi$

Funciones auxiliares: de Hermite a Baker

Para analizar tales números, como en el siglo XIX, se desarrollaron otros métodos. Se sabe que estas dos constantes están relacionadas por la identidad de Euler . Las llamadas funciones auxiliares que tienen muchos ceros en los puntos de estudio se han convertido en una herramienta conveniente para el análisis . Aquí muchos ceros pueden significar literalmente una gran cantidad de ceros, o solo un cero, pero con una multiplicidad alta, o incluso muchos ceros con una multiplicidad alta cada uno. $mi$ $\Pi ,$

Charles Hermite en 1873, para probar la trascendencia , utilizó funciones auxiliares que aproximaban la función para cada número natural [12] . En la década de 1880, Ferdinand von Lindemann [13] utilizó los resultados de Hermite para demostrar que si es un número algebraico distinto de cero, entonces es trascendental. En particular, esto implica que el número es trascendente, ya que es un número algebraico (igual a -1). Este descubrimiento cierra un problema tan conocido de la antigüedad como la " cuadratura del círculo ". Otra clase de números cuya trascendencia se deriva del teorema de Lindemann son los logaritmos de los números algebraicos [6] . $mi,$ ${\ Displaystyle e^{kx}}$ $k$ $\alfa$ $e^{\alfa}$ $\Pi$ $e^{i\pi}$

El tema fue desarrollado por Karl Weierstrass , quien publicó el teorema de Lindemann-Weierstrass en 1885 [14] . Amplió significativamente la clase de números con trascendencia comprobada, incluyendo los valores de las funciones seno y coseno para casi todos los valores algebraicos de los argumentos [4] .

En 1900, David Hilbert , en su famoso informe en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos , enumeró los problemas matemáticos más importantes . En el séptimo de ellos , uno de los más difíciles (según su propia valoración), se planteó la cuestión de la trascendencia de los números de la forma en que son números algebraicos, no el cero y no el uno, sino irracionalmente . En la década de 1930 , Alexander Gelfond [15] y Theodor Schneider [16] demostraron que todos esos números son realmente trascendentales ( teorema de Gelfond-Schneider ). Los autores utilizaron una función auxiliar implícita para la demostración, cuya existencia está garantizada por el lema de Siegel . El teorema de Gelfond-Schneider implica la trascendencia de números como , y la constante de Gelfond [6] . ${\ estilo de visualización a^{b},}$ $a, b$ $a$ $b$ $e^{\pi}$ $2^{{{\sqrt {2))))$

El siguiente resultado importante en esta área se produjo en la década de 1960, cuando Alan Baker avanzó sobre un problema planteado por Gelfond sobre formas lineales sobre logaritmos. Anteriormente, Gelfond logró encontrar un límite inferior no trivial para la expresión:

|\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,

donde las cuatro cantidades desconocidas son algebraicas y no son iguales a cero o uno, pero son irracionales . Gelfond no pudo encontrar límites inferiores similares para la suma de tres o más logaritmos. La prueba del teorema de Baker contenía encontrar dichos límites y resolver el problema del número de clases gaussianas . Este trabajo le valió a Baker el premio Fields de 1970 por su uso para resolver ecuaciones diofánticas . ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1}, \ alfa _ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {1}, \ beta _ {2}}$

Del teorema de Baker se deduce que si los números algebraicos no son iguales a cero ni a uno, y son números algebraicos tales que son linealmente independientes sobre el campo de los números racionales , entonces el número es trascendental [17] . ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1} \ puntos \ alfa _ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {1} \ puntos \ beta _ {n}}$ ${\ estilo de visualización 1, \ beta _ {1} \ puntos \ beta _ {n}}$ $\alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}$

Otros métodos: Kantor y Silber

En 1874, Georg Cantor , desarrollando su teoría de conjuntos , demostró que los números algebraicos se pueden poner en una correspondencia biunívoca con el conjunto de los números naturales . En otras palabras, el conjunto de números algebraicos es contable , y entonces el conjunto de números trascendentales debe ser no solo infinito, sino también más que contable ( continuo ) [18] . Más tarde, en 1891, Cantor usó el método diagonal [19] , más simple y familiar , para demostrarlo . Hay opiniones de que estos resultados de Cantor no son adecuados para construir números trascendentales concretos [20] , pero de hecho las demostraciones en los dos documentos anteriores proporcionan métodos para construir números trascendentales [21] . Cantor usó la teoría de conjuntos para probar la integridad del conjunto de números trascendentales.

Una de las últimas tendencias en la resolución de problemas en la teoría de los números trascendentales ha sido el uso de la teoría de modelos . El problema es determinar el grado de trascendencia del campo

K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots,x_{n},e^{x_{1)),\ldots,e^{x_{n)))

para números complejos que son linealmente independientes sobre el campo de los números racionales. Stephen Schanuel sugirió que la respuesta es al menos n , pero aún no hay evidencia de esto. Sin embargo, en 2004, Boris Zilber publicó un artículo que usa métodos de teoría de modelos para crear una estructura que se comporta de manera muy similar a los números complejos, provistos de las operaciones de suma, multiplicación y exponenciación. Además, en esta estructura abstracta se cumple la conjetura de Chenyul [22] . Desafortunadamente, todavía no es seguro que esta estructura sea realmente la misma que la de los números complejos con las operaciones nombradas. $x_{1},\ldots,x_{n},$

Aproximaciones

Ya se ha mencionado anteriormente que el conjunto de los números algebraicos es únicamente contable y, en consecuencia, "casi todos" los números son trascendentales. La trascendencia del número es, pues, un caso típico; sin embargo, por lo general no es fácil probar que un número dado es trascendental. Por esta razón, la teoría de la trascendencia a menudo prefiere un enfoque más cuantitativo: dado un número complejo α; la pregunta es, ¿qué tan cerca está de los números algebraicos? Por ejemplo, si se puede demostrar que ningún aumento en el grado de un polinomio o sus coeficientes puede hacer que α sea su raíz, entonces este número debe ser trascendental.

Para implementar esta idea, puede encontrar el borde inferior del formulario:

{\ estilo de visualización | P (\ alfa) |> F (A, d),}

donde el lado derecho es alguna función positiva que depende de alguna medida de los coeficientes del polinomio y su grado . El caso corresponde al problema clásico de las aproximaciones diofánticas , es decir, encontrar la cota inferior de la expresión: $A$ ${\ estilo de visualización d;}$ $re=1$

{\ estilo de visualización | hacha + b |}

Los métodos de la teoría de la trascendencia y las aproximaciones diofánticas tienen mucho en común: ambos utilizan el concepto de funciones auxiliares.

Generalizaciones

La definición de trascendencia puede generalizarse. Se dice que un conjunto de números es algebraicamente independiente sobre un cuerpo si no hay ningún polinomio distinto de cero con coeficientes tales que Para el cuerpo de números racionales y un conjunto de un número, esta definición coincide con la definición de trascendencia dada anteriormente . También se ha desarrollado la teoría de los números p-ádicos trascendentales [6] . ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1} \ puntos \ alfa _ {n}}$ $k$ $P(x_{1}\puntos x_{n})$ $k$ $P(\alpha _{1}\dots \alpha _{n})=0.$ $\alfa$ $\alfa$

Temas abiertos

El teorema de Gelfond-Schneider mencionado anteriormente abrió una gran clase de números trascendentales, pero esta clase solo es contable, y para muchas constantes importantes todavía no se sabe si son trascendentales. Ni siquiera siempre se sabe si son irracionales. Entre ellos, por ejemplo, varias combinaciones de y e , la constante de Aperi , la constante de Euler-Mascheroni [23] . $\Pi$

Los avances existentes en la teoría se refieren predominantemente a números relacionados con el exponente . Esto significa que se necesitan métodos completamente nuevos. El principal problema de la teoría de la trascendencia es probar que un conjunto particular de números trascendentales es algebraicamente independiente , lo cual es una afirmación más fuerte que la de que los números individuales en un conjunto son trascendentales. Sabemos que ye son trascendentes , pero esto no significa que otras combinaciones de estos números sean trascendentes (a excepción de la constante de Gelfond , que, como ya sabemos, es trascendente). La conjetura de Chenyul resuelve el problema , sin embargo, también solo se aplica a los números relacionados con el exponente. $\Pi$ ${\ estilo de visualización \ pi + e}$ ${\ estilo de visualización e ^ {\ pi},}$ ${\ estilo de visualización \ pi + e,}$

Notas

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↑ Gelfond, 1952 , pág. ocho.
↑ Euler, L. Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . — Lausana, 1748.
↑ 1 2 Zhukov A. .
↑ J. Liouville . Sur les classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationelles algébriques, Comptes Rendus Acad.
↑ 1 2 3 4 Enciclopedia matemática, 1985 , p. 426-427.
↑ Gelfond, 1952 , pág. 9.
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Enlaces

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