Punto de Nagel

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punto de Nagel
N es el punto de Nagel del triángulo ABC
coordenadas baricéntricas	${\ estilo de visualización -a+b+c:a-b+c:a+bc}$
Coordenadas trilineales	${\frac {-a+b+c}{a)):{\frac {a-b+c}{b)):{\frac {a+bc}{c))$
código ECT	X(8)
puntos conectados
conjugado isotómicamente	punto gergón
adicional	círculo inscrito centro
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Punto de Nagel : el punto de intersección de los segmentos que conectan los vértices del triángulo con los puntos de contacto de los lados opuestos con los círculos correspondientes .

Usualmente denotado . $norte$

Propiedades

El punto de Nagel se encuentra en la misma línea recta que el incentro y el baricentro , mientras que el baricentro divide el segmento entre el punto de Nagel y el incentro en una proporción de 2:1. Esta línea se llama línea de Nagel (ver figura).
Si los puntos , , son tales que cada uno de los segmentos , y divide el perímetro del triángulo por la mitad, entonces estos segmentos se intersecan en un punto: el punto de Nagel . $T_{A}\en BC$ $T_{B}\en CA$ $T_{C}\en AB$ $AT_{A}$ ${\ estilo de visualización BT_ {B}}$ $CT_{C}$
El punto de Nagel es isotómicamente conjugado con el punto de Gergonne .
El punto de Nagel es conjugado isogonalmente al centro de la homotecia positiva del incírculo y el circuncírculo ( punto de Verrier ).
La distancia entre el ortocentro y el punto de Nagel es igual al diámetro del círculo de Furman y es igual a $H$ $norte$

NH=2R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{ 2}c-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}

La mitad de esta distancia es igual a la distancia entre el centro del círculo circunscrito y el incentro [1] .
El punto Cevian del Nagel se refiere a veces en la literatura inglesa como divisor o bisectriz del perímetro . También se refieren al plumín triangular divisor .
El incentro de un triángulo dado es el punto de Nagel del triángulo formado por sus 3 medianas ( punto medio del triángulo ). [2] [3]
Un punto débil en un triángulo es aquel que puede encontrar un gemelo por su conjugación ortogonal fuera del triángulo. Por ejemplo, el incentro , el punto de Nagel y otros son puntos débiles , porque permiten obtener puntos similares cuando se aparean fuera del triángulo. [4] .

Triángulo de Nagel

* El triángulo de Nagel (ver figura arriba) para un triángulo está definido por los vértices , y , que son los puntos de contacto de los excírculos del triángulo y el punto opuesto al lado , etc. $A B C$ $EJÉRCITO DE RESERVA}$ $TUBERCULOSIS}$ $T_{C}$ $A B C$ $EJÉRCITO DE RESERVA}$ $A$

Propiedades

El círculo circunscrito alrededor del triángulo se llama círculo de Mandart (un caso especial de la elipse de Mandart ). $T_{A}T_{B}T_{C}$
Tres líneas , y dividen el perímetro por la mitad y se cruzan en un punto de Nagel - X(8) . $AT_{A}$ ${\ estilo de visualización BT_ {B}}$ $CT_{C}$ $norte$
Las perpendiculares restauradas en tres vértices del triángulo de Nagel a los lados del triángulo principal (es decir, en los puntos de contacto de las excircunferencias con los lados del triángulo principal) se cruzan en un punto. Este punto es simétrico al centro de la circunferencia inscrita con respecto al centro de la circunferencia circunscrita [5] .
La animación de la construcción del punto de Nagel se muestra en la fig.

Nota

El punto de Nagel es un punto débil . Por lo tanto, no deberíamos hablar de uno, sino de varios puntos de Nagel. Es decir, conectar otros puntos de contacto de las excircunferencias con los vértices del triángulo da tres puntos de Nagel más.

Historia

Nombrado en honor a Christian Heinrich von Nagel , quien lo describió por primera vez en un artículo de 1836 .

Véase también

Notas

↑ Weisstein, Eric W. Fuhrmann Circle en el sitio web Wolfram MathWorld .
↑ Honsberger, R. Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX. Washington, DC: Matemáticas. Asoc. amer 1995. Pág. 51, Artículo (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
↑ Johnson, RA Geometría moderna: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo. Boston, MA: Houghton Mifflin, pág. 247, 1929.
↑ Myakishev A. Caminar en círculos: de Euler a Taylor // Matemáticas. ¡Todo para el maestro! Nº 6 (6). Junio. 2011. pág. 11, columna derecha, segundo párrafo desde arriba// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
↑ Myakishev A. G. Elementos de la geometría de un triángulo. — M. : MTsNMO, 2002. — P. 11, p. 5. — (Biblioteca "Educación matemática").

Punto de Nagel

Propiedades

Triángulo de Nagel

Propiedades

Nota

Historia

Véase también

Notas

Enlaces