Conjugación de isotomía

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 3 de octubre de 2013; las comprobaciones requieren 15 ediciones .

En planimetría , la conjugación de isotomía es una de las transformaciones del plano generadas por el triángulo ABC dado en el plano .

Definición

Sea dado un triángulo en el que - el punto medio del lado , - el punto medio y - el punto medio del lado . Sea también elegido un punto arbitrario en el plano que no esté sobre las rectas que contienen sus lados. Luego considere las rectas , y . Que se intersequen las líneas que contienen los lados opuestos del triángulo, respectivamente, en los puntos , y (si las líneas resultan ser paralelas, el punto de intersección se considera el punto en el infinito de la línea). Según el teorema de Ceva , . Si ahora los puntos , y se reflejan simétricamente con respecto a , y respectivamente, obtenemos los puntos , y (el punto en el infinito pasa a sí mismo). Como , y lo mismo para los otros pares de puntos, obtenemos y, según el mismo teorema de Ceva , las rectas , y se cortan en un punto . Este punto se llama punto isotómicamente conjugado con respecto al triángulo . $A B C$ $A_0$ $antes de Cristo$ $B_{0}$ $C.A.$ $C_{0}$ $AB$ $PAGS$ $punto de acceso$ $PA$ $PC$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $A_0$ $B_{0}$ $C_{0}$ $A_{2}$ $B_{2}$ $C_{2}$ $AC_1=BC_2$ $AC_2=BC_1$ $1=\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=\frac{BC_2}{C_2A}\cdot\frac{CA_2}{A_2B}\ cdot\frac{AB_2}{B_2C}$ $AA_2$ $BB_2$ $CC_{2}$ $PAGS'$ $PAGS$ $A B C$

La conjugación isotómica establece una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano con las líneas excluidas , y . En estas líneas, la correspondencia no es uno a uno, ya que cualquier punto de la línea corresponde a un vértice (y viceversa, a un vértice - cualquier punto ), y así sucesivamente. $AB$ $antes de Cristo$ $C.A.$ $antes de Cristo$ $A$ $A$ $antes de Cristo$

Coordenadas

Si las coordenadas baricéntricas de un punto son , entonces las coordenadas baricéntricas del punto isotómicamente conjugado son . $PAGS$ $(p:q:r)$ $PAGS'$ $\left(\frac1{p}:\frac1{q}:\frac1{r}\right)$

Si las coordenadas trilineales de un punto son , entonces las coordenadas trilineales del punto conjugadas isotómicamente a él son . $PAGS$ $(p:q:r)$ $PAGS'$ $\left(\frac1{a^2p}:\frac1{b^2q}:\frac1{c^2r}\right)$

Otra definición

Si, en lugar de una ceviana simétrica , tomamos una ceviana cuya base está tan alejada de la mitad del lado como la base del original, entonces esas cevianas también se cortarán en un punto. La transformación resultante se llama conjugación isotómica . También asigna líneas a cónicas circunscritas . Bajo transformaciones afines , los puntos conjugados isotómicamente se convierten en puntos conjugados isotómicamente . Con la conjugación de isotomía , la elipse de Steiner descrita irá a la línea en el infinito .

Propiedades

Una conjugación isotómica es una involución , es decir, su cuadrado es trivial.

Los puntos fijos (es decir, que pasan a sí mismos) de la conjugación isotómica son el baricentro (otros nombres: baricentro o centro de masas, es decir, el punto de intersección de las medianas) del triángulo y puntos simétricos a los vértices del triángulo con respecto a los puntos medios de los lados opuestos. $A B C$
Los puntos de Gergonne y Nagel son isotómicamente conjugados .
El punto de Lemoine (el punto de intersección de las simedianas) de un triángulo es isotómicamente conjugado con su punto de Brocard .
El punto de intersección de las bisectrices ( incentro ) es isotómicamente conjugado al punto de intersección de las antibisectores ,
Las líneas de posición general con respecto a un triángulo bajo conjugación isotómica entran en cónicas descritas a su alrededor , y viceversa.

Conjugación de isotomía

Definición

Coordenadas

Otra definición

Propiedades

Véase también

Enlaces