Factoriales crecientes y decrecientes

El factorial decreciente [1] (a veces llamado lower , factorial gradualmente decreciente o descendente [2] [3] ) se escribe usando el símbolo de Pochhammer y se define como

(x)_{n}=x^{\subrayado {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-(n-1))=\prod _{k= 1}^{n}(x-(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(xk).

El factorial creciente (a veces los nombres función de Pochhammer, polinomio de Pochhammer [4] , superior , gradualmente creciente o factorial ascendente [2] [3] ) se define como

x^{(n)}=x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+(n-1))=\prod _{k=1 }^{n}(x+(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).

El valor de ambos factoriales se toma igual a 1 ( el producto vacío ) para n = 0.

El símbolo de Pochhammer , propuesto por Leo August Pochhammer , es la notación de , donde es un número entero no negativo . Según el contexto, el símbolo de Pochhammer puede representar el factorial decreciente o el factorial creciente como se definió anteriormente. Se debe tener cuidado al interpretar el símbolo en cualquier artículo en particular. El mismo Pochhammer usó una notación con un significado completamente diferente, a saber, para denotar el coeficiente binomial [5] . $(x)_{n}$ $norte$ $(x)_{n}$ ${\binom {x}{n))$

En este artículo, se usa un símbolo para representar un factorial decreciente y un símbolo para representar un factorial creciente. Estas convenciones se aceptan en combinatoria [6] . En la teoría de funciones especiales (particularmente la función hipergeométrica ), el símbolo de Pochhammer se usa para representar el factorial creciente [7] En el libro de Lucy Slater [8] se proporciona una lista útil de fórmulas para manipular factoriales crecientes en esta última notación . Knuth usó el término potencias factoriales que incluyen factoriales crecientes y decrecientes [9] $(x)_{n}$ ${\ estilo de visualización x^{(n)))$ $(x)_{n}$

Si x es un número entero no negativo, entonces da el número de n permutaciones del conjunto de elementos x o, de manera equivalente, el número de inyecciones de un conjunto con n elementos en un conjunto de tamaño x . Sin embargo, se utilizan otras notaciones para estos valores, como P ( x ,n ). El símbolo de Pochhammer se utiliza principalmente con fines algebraicos, por ejemplo, cuando x es una cantidad desconocida, en cuyo caso significa un cierto polinomio en x de grado n . $(x)_{n}$ ${\ estilo de visualización _ {x} P_ {n}}$ $(x)_{n}$

Ejemplos

Los primeros factoriales crecientes:

x^{(0)}=x^{\overline {0}}=1

x^{(1)}=x^{\overline {1}}=x

x^{(2)}=x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x

x^{(3)}=x^{\overline {3}}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x

x^{(4)}=x^{\overline {4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+ 11x^{2}+6x

Los primeros factoriales decrecientes:

(x)_{0}=x^{\subrayado {0}}=1

(x)_{1}=x^{\subrayado {1}}=x

(x)_{2}=x^{\subrayado {2}}=x(x-1)=x^{2}-x

(x)_{3}=x^{\subrayado {3}}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x

(x)_{4}=x^{\subrayado {4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+ 11x^{2}-6x

Los coeficientes obtenidos abriendo los paréntesis son números de Stirling de primera especie .

Propiedades

Se pueden usar factoriales crecientes y decrecientes para expresar coeficientes binomiales :

{\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \elegir n}

{\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \elegir n}.

Luego, muchas identidades para coeficientes binomiales se transfieren a factoriales crecientes y decrecientes.

Un factorial creciente se puede expresar en términos de un factorial decreciente que comienza en el otro extremo,

{\ estilo de visualización x^{(n)}={(x+n-1)}_{n},}

o como un factorial decreciente con el argumento opuesto,

x^{(n)}={(-1)}^{n}{(-x)}_{n}.

Los factoriales crecientes y decrecientes están bien definidos en cualquier anillo unitario y, por lo tanto, x puede ser, por ejemplo, un número complejo , un número negativo, un polinomio con coeficientes complejos o cualquier función compleja .

El factorial creciente se puede extender a valores reales de n usando la función gamma :

x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)))),

y de la misma manera el factorial decreciente:

(x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1))).

Si denotamos por D tomando la derivada de x , obtenemos

D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\,\,x^{an}.

El símbolo de Pochhammer es una parte integral de la definición de la función hipergeométrica : la función hipergeométrica se define para | z | < 1 serie de potencias

\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty}{a^{(n)}b^{(n) } \sobre c^{(n)}}\,{z^{n} \sobre n!}

siempre que c no sea igual a 0, −1, −2, ... . Tenga en cuenta, sin embargo, que en la literatura sobre la función hipergeométrica, el factorial creciente se denota por . ${\ estilo de visualización {(a)}_{n}}$

Conexión con el cálculo de sombras

El factorial decreciente ocurre en una fórmula que representa polinomios usando el operador de diferencias finitas y que es formalmente similar al teorema de Taylor . En esta fórmula y en muchos otros lugares, el factorial decreciente en el cálculo de diferencias finitas juega un papel en el cálculo de la derivada. Nótese, por ejemplo, la similitud ${\ estilo de visualización \ vartriangle}$ ${\ estilo de visualización (x) _ {k}}$ $x^{k}$

\Delta (x)_{k}=k\ (x)_{k-1},

sobre el

Dx^{k}=k\x^{k-1},

Hechos similares son válidos para factoriales crecientes.

El estudio de analogías de este tipo se conoce como " cálculo de sombras " [10] . La teoría principal que describe tales relaciones, incluidas las funciones decrecientes y crecientes, se considera en la teoría de secuencias polinómicas de tipo binomial y secuencias de Schaeffer . Los factoriales crecientes y decrecientes son sucesiones de Schaeffer de tipo binomial, como lo muestran las siguientes relaciones:

(a+b)^{(n)}=\sum _{j=0}^{n}{n \elegir j}(a)^{(nj)}(b)^{(j) }

{\displaystyle (a+b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \elegir j}(a)_{nj}(b)_{j))

donde los coeficientes son los mismos que en la expansión en serie de potencias de la identidad binomial de Vandermonde ).

De manera similar, la función generadora de los polinomios de Pochhammer es igual a la suma de los exponentes de sombra,

\sum _{n=0}^{\infty}(x)_{n}~{\frac {t^{n}}{n!)}}=(1+t)^{x} ~,

desde . ${\displaystyle \vartriangle (1+t)^{x}=t(1+t)^{x))$

Coeficientes de acoplamiento e identidades

Los factoriales decrecientes y crecientes se relacionan entre sí usando números de Lach y usando sumas de potencias enteras de una variable usando números de Stirling de segundo tipo , como sigue (aquí ): [11] $X$ ${\binom {r}{k}}=r^{\subrayado {k}}/k!$

{\begin{alineado}x^{\subrayado {n}}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac { n!}{k!}}\veces (x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x-n+1)_{n}= {\frac {1}{(x+1)^{\overline {-n))))\\(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom { n}{k}}(n-1)^{\subrayado {nk}}\veces x^{\subrayado {k}}\\&=(-1)^{n}(-x)^{\subrayado {n}}=(x+n-1)^{\subrayado {n}}={\frac{1}{(x-1)^{\subrayado {-n}}}}\\&={\ binom {-x}{n}}(-1)^{n}n!\\&={\binom {x+n-1}{n}}n!\\x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matriz}n\\nk\end{matriz}}\right\}x^{\subrayado {nk}}\\&=\sum _ {k=0}^{n}\left\{{\begin{matriz}n\\k\end{matriz}}\right\}(-1)^{nk}(x)_{k}.\ fin{alineado}}

Dado que los factoriales decrecientes son la base de un anillo de polinomios , podemos expresar el producto de dos de ellos como una combinación lineal de factoriales decrecientes:

(x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{m \elegir k}{n \elegir k}k!\,(x)_ {m+nk}.

Los coeficientes at se denominan coeficientes de acoplamiento y tienen una interpretación combinatoria como el número de formas de unir k elementos de un conjunto de m elementos y un conjunto de n elementos. También tenemos una fórmula de conexión para la proporción de dos símbolos de Pochhammer ${\ Displaystyle (x) _ {m + nk}}$

{\frac {(x)_{n}}{(x)_{i}}}=(x+i)_{ni},\ n\geq i.

Además, podemos extender la regla de la potencia generalizada y las potencias crecientes y decrecientes negativas con las siguientes identidades:

{\begin{alineado}x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}\\(x)_{m+n}& =(x)_{m}(xm)_{n}\\(x)_{-n}&={\frac {1}{(xn)_{n))}={\frac {1} {(x-1)^{\subrayado {n}}}}\\x^{\subrayado {-n}}&={\frac{1}{(x+1)_{n}}}={ \frac {1}{n!{\binom {x+n}{n))))={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n))). \end{alineado}}

Finalmente, la fórmula de la duplicación y la fórmula de la multiplicación para factoriales crecientes dan las siguientes relaciones:

(x)_{k+mn}=(x)_{k}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+j+ k {m}}\right)_{n},\ m\en \mathbb {N}

(ax+b)_{n}=x^{n}\prod _{k=0}^{x-1}\left(a+{\frac {b+k}{x))\right )_{n/x},\ x\en \mathbb {Z} ^{+}

(2x)_{2n}=2^{2n}(x)_{n}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)_{n}.

Designaciones alternativas

Notación alternativa para factorial creciente

x^{\overline {m}}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m~\mathrm {factores} }

por todo

{\ estilo de visualización m \ geq 0,}

Y para el factorial decreciente

x^{\underline {m}}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m~\mathrm {factores} }

por todo

{\ estilo de visualización m \ geq 0;}

se remonta a A. Capelli (1893) y L. Toscano (1939) respectivamente [12] . Graham, Knuth y Patashnik [13] propusieron pronunciar esta expresión como "aumentar x en m " y "disminuir x en m ", respectivamente.

Otras notaciones para el factorial decreciente incluyen o . (Ver los artículos " Permutación " y " Combinación ".) ${\displaystyle P(x,n),^{x}P_{n},P_{x,n))$ ${\ estilo de visualización _ {x} P_ {n}}$

Una notación alternativa para factorial creciente se usa con menos frecuencia. Para evitar confusiones, cuando se utiliza la notación para el factorial creciente, la notación para el factorial decreciente habitual es [5] . ${\ estilo de visualización (x) _ {n}^{+))$ ${\ estilo de visualización x^{(n)))$ ${\ estilo de visualización (x) _ {n}^{+))$ ${\ estilo de visualización (x) _ {n}^{-))$

Generalizaciones

El símbolo de Pochhammer tiene una versión generalizada llamada símbolo de Pochhammer generalizado , y se utiliza en el análisis multivariado . También hay un q -análogo , el q -símbolo de Pochhammer .

Una generalización del factorial decreciente, en el que la función se evalúa en una progresión aritmética decreciente:

[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(xh)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),

La correspondiente generalización del factorial creciente

[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).

Esta notación combina los factoriales crecientes y decrecientes, que son iguales a y respectivamente. ${\ estilo de visualización [x] ^ {\ frac {k} {1}}}$ ${\ estilo de visualización [x] ^ {\ tfrac {k} {-1}}}$

Para cualquier función aritmética fija y parámetros simbólicos , los productos generalizados asociados de la forma $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ ${\ estilo de visualización x, t}$

(x)_{n,f,t}:=\prod_{k=1}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k)) }\Correcto)

se puede estudiar en términos de clases de números de Stirling generalizados del primer tipo , definidos usando los siguientes coeficientes en la expansión , y luego usando la siguiente relación de recurrencia: $X$ ${\ estilo de visualización (x) _ {n, f, t))$

{\begin{alineado}\left[{\begin{matriz}n\\k\end{matriz}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x )_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matriz}n-1\\k\end{matriz}}\right] _{f,t}+\left[{\begin{matriz}n-1\\k-1\end{matriz}}\right]_{f,t}+\delta_{n,0}\delta _{k,0}.\end{alineado}}

Estos coeficientes satisfacen numerosas propiedades similares a las de los números de Stirling de primera clase , así como relaciones de recurrencia e igualdades funcionales asociadas a los números armónicos f [14] . ${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum_{k\leq n}t^{k}/f(k)^{r))$

Véase también

k - Símbolo de Pochhammer
identidad vandermonde

Notas

↑ Koganov, 2007 .
↑ 1 2 Lando, 2008 .
↑ 1 2 Traub, 1985 , pág. 106.
↑ Steffensen, 1950 , pág. ocho.
↑ 1 2 Knuth, 1992 , pág. 403–422.
↑ Olver, 1999 , pág. 101.
↑ Así, por ejemplo, en el libro "Handbook of Mathematical Functions" de Abramovich y Stegun, página 256
↑ Slater, 1966 , pág. Apéndice I.
↑ Knuth, El arte de la programación informática, vol. 1, 3ª ed., pág. cincuenta.
↑ Durante mucho tiempo, la presencia de numerosas propiedades comunes en las sucesiones binomiales se percibió como algo misterioso e inexplicable, razón por la cual su estudio se denominó cálculo umbral, es decir, cálculo de sombras ( Lando 2008 ).
↑ Introducción a los factoriales y binomios . Sitio de funciones de Wolfram . (indefinido)
↑ Según Knuth El arte de la programación informática, vol. 1, 3ª ed., pág. cincuenta.
↑ Graham, Knuth, Patashnik, 1988 , pág. 47-48.
↑ Identidades combinatorias para números de Stirling generalizados que amplían las funciones factoriales f y los números armónicos f (2016).

Literatura

Koganov L. M. Dos tareas // Informática. - 2007. - Edición. 10 _

Lando S.K. Shadow Calculus // Escuela de Verano "Matemáticas Modernas". - 2008. - Edición. 2 lección . Archivado desde el original el 15 de diciembre de 2017.
Traub J. Métodos iterativos para resolver ecuaciones. - M. : "Mir", 1985.
Interpolación de Steffensen JF . — 2do. - Publicaciones de Dover, 1950. - Pág. 8. - ISBN 0-486-45009-0 .
Donald E. Knuth. Dos notas sobre notación // American Mathematical Monthly

volumen=99. - 1992. - Edición. 5 . — Pág. 403–422 . -doi : 10.2307/ 2325085 . -arXiv : matemáticas / 9205211 . — .. Hay una nota sobre los símbolos de Pochhammer en la página 414. Donald E. Knuth. El arte de la programación informática. - 3ª ed.. - 1997. - T. 1. - S. 50. - ISBN 0-201-89683-4 .

- Donald E. Knuth. 1.2.5 Permutaciones y factoriales // Arte de programar. - tercera edicion. - Williams, 2002. - V. 1 Algoritmos básicos. - ISBN 978-5-8459-1984-7 , 978-5-8459-0080-7.
Ronald L. Graham , Donald Knuth , Oren Patashnik . Matemáticas Concretas . - Addison-Wesley, Reading MA, 1988. - ISBN 0-201-14236-8 .
Peter J. Olver. Teoría de la invariante clásica. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 1999. - ISBN 0-521-55821-2 .
Lucy J. Slater. Funciones hipergeométricas generalizadas . — Prensa de la Universidad de Cambridge, 1966.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Pochhammer Símbolo (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Pruebas elementales