Ecuación de Helmholtz

La ecuación de Helmholtz es una ecuación diferencial parcial elíptica :

(\Delta +k^{2})U=f,

donde es el operador de Laplace , y la función desconocida se define en (en la práctica, se usa la ecuación de Helmholtz para ). $\Delta =\nabla ^{2}$ $tu$ $\mathbb{R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización n = 1,2,3}$

Derivación de la ecuación

Es fácil ver que la ecuación de Helmholtz no incluye operadores de diferenciación temporal, por lo tanto, reducir el problema original en derivadas parciales a la ecuación de Helmholtz puede simplificar su solución. Considere la ecuación de onda :

\triangle u({\bar {x)),t)-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\parcial ^{2}u({\bar {x} },t)}{\t parcial^{2))}=f({\bar {x)),t).

Sean las funciones y permitan la separación de variables: , y let . Nótese que en el espacio de las transformadas de Fourier, la diferenciación con respecto al tiempo corresponde a la multiplicación por el factor iω . Así, nuestra ecuación se reduce a la forma: $tu$ $F$ $u({\bar {x)),t)=U({\bar {x)))T(t),\ f({\bar {x)),t)=F({\bar {x} })T(t)$ $T(t)=e^{{i\omega t}}$

\triángulo U({\bar {x)))+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}U({\bar {x}})=F({\bar {x }}),

donde es el cuadrado del módulo del vector de onda. ${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k^{2}$

Solución de la ecuación de Helmholtz

El caso de una ecuación homogénea

La solución de la ecuación de Helmholtz depende del tipo de condiciones de contorno. En el caso bidimensional, la ecuación de Helmholtz se usa para resolver el problema de una membrana oscilante, luego se establecen naturalmente condiciones de contorno homogéneas , lo que corresponde físicamente a la fijación de la membrana en el contorno. En este caso, la solución dependerá de la forma de la membrana. Entonces, para una membrana redonda de radio en coordenadas polares ( ), la ecuación toma la forma: $a$ ${\ estilo de visualización r, \, \ varphi}$

U_{{rr))+{\frac {1}{r}}U_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}U_{{\varphi \varphi }}+k^{2 }U=0,\qquad U(a,\varphi )=0.

Usando el método de separación de variables, llegamos a un problema de valores propios para la parte de la solución que depende solo de : $\varphi$

U(r,\varphi )=R(r)\Phi (\varphi ),

{\frac {\Phi ''}{\Phi }}=-\lambda ^{2},

y una función que dependa solo del radio satisfará la ecuación:

\displaystyle r^{2}R''+rR'+R(r^{2}k^{2}-\lambda ^{2})=0.

Las soluciones fundamentales de estas ecuaciones son, respectivamente, las funciones y donde es la raíz enésima de la función de Bessel de orden enésima . $\scriptstyle \sin(\lambda \varphi ),\ \cos(\lambda \varphi )$ $\scriptstyle J_{\lambda }\left({\frac {\mu _{i}^{{(\lambda )}}}{a}}r\right),$ $\mu _{i}^{{(\lambda)}}$ $i$ $\lambda$

El caso de una ecuación no homogénea

Considere la ecuación de Helmholtz en el espacio de funciones generalizadas :

\triángulo U+k^{2}U=\delta (x).

Demostremos que en el caso tridimensional las soluciones fundamentales de esta ecuación son las funciones: $(x=(x_{1},x_{2},x_{3}))$

U_{1}^{{(3)}}(x)=-{\frac {e^{{ik|x|}}}{4\pi |x|}},\qquad U_{2}^{ {(3)}}=-{\frac {e^{{-ik|x|}}}{4\pi |x|}}.

De hecho, usamos las igualdades:

{\frac {\parcial }{\parcial x_{j))}{\frac {1}{|x|}}=-{\frac {x_{j}}{|x|^{3}}}

{\frac {\parcial }{\parcial x_{j}}}e^{{ik|x|}}={\frac {ikx_{j}}{|x|}}e^{{ik|x| }}

\triángulo e^{{ik|x|}}=\left({\frac {2ik}{|x|}}-k^{2}\right)e^{{ik|x|}}

y la fórmula probada en el curso de física matemática:

\triangle {\frac {1}{|x|}}=-{\frac {2\pi ^{{3/2}}}{\Gamma (3/2)))\delta (x).

Obtenemos:

(\triángulo +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{{ik|x|}}=e^{{ik|x|}}\triángulo {\frac {1 }{|x|}}+2\left(\operatorname {grado}\,\,e^{{ik|x|}},\operatorname {grado}{\frac {1}{|x|}}\ derecha)+{\frac {1}{|x|}}\triángulo e^{{ik|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{{ik| x|}}=

$=-4\pi e^{{ik|x|}}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{| x|^{2))}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{{ik |x|}}=-4\pi\delta (x).$

También se verifica por cálculos directos que en el caso bidimensional, las funciones de Hankel de primera y segunda especie serán la solución fundamental :

U_{1}^{{(2)}}=-{\frac {i}{4}}H_{0}^{{(1)}}(k|x|),\qquad U_{2}^ {{(2)}}={\frac{i}{4}}H_{0}^{{(2)}}(k|x|),

y en unidimensional :

U_{1}^{{(1)}}(x)={\frac {e^{{ik|x|}}}{2ik}},\qquad U_{2}^{{(1))) =-{\frac {e^{{-ik|x|}}}{2ik}}.

Literatura

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuaciones de física matemática. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5 .

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