Cuarto grado (álgebra)
La cuarta potencia de un número ( ) es un número igual al producto de cuatro números idénticos [1] .
El cuarto grado de un número a menudo se llama su bicuadrado [2] , de otro griego. δίς , ( bis ), "dos veces", ya que es el producto de dos cuadrados y también el cuadrado de un cuadrado:
Propiedades
La cuarta potencia de un número real , como el cuadrado de un número, siempre toma valores no negativos [3] .
La operación inversa a la elevación a la cuarta potencia es la extracción de la raíz de cuarto grado [4] .
Una ecuación de cuarto grado , a diferencia de una ecuación de quinto grado , siempre se puede resolver escribiendo la respuesta en radicales ( teorema de Abel [5] , método de Ferrari [5] ).
Números bicuadrados
Definición
La cuarta potencia de los números naturales a menudo se denomina números bicuadráticos o hipercúbicos (este último término también se puede aplicar a potencias superiores a la cuarta). Los números bicuadrados son una clase de números figurativos que representan cubos de cuatro dimensiones ( teseractos ). Los números bicuadrados son una generalización en cuatro dimensiones de los números cuadrados planos y cúbicos espaciales [6] .
Comienzo de una secuencia de números bicuadrados:
1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000,... (secuencia A000583 en OEIS ).La fórmula general para el n-ésimo número bicuadrado es:
De la fórmula binomial de Newton :
es fácil derivar la fórmula recursiva [6] :
Propiedades de los números bicuadráticos
El último dígito de un número bicuadrado solo puede ser 0 (en realidad 0000), 1, 5 (en realidad 0625) o 6.
Cualquier número bicuadrático es igual a la suma de los primeros " números rombo-dodecaédricos " [7] de la forma [8] .
Cada número natural se puede representar como una suma de no más de 19 números bicuadrados [9] . Se alcanza el máximo indicado (19) para el número 79:
Cada número entero mayor que 13792 se puede representar como la suma de 16 números bicuadrados como máximo (ver el problema de Waring ).
Según el último teorema de Fermat , la suma de dos números bicuadrados no puede ser un número bicuadrado [10] . La conjetura de Euler establecía que la suma de tres números bicuadrados tampoco puede ser un número bicuadrado; en 1986, Noam Elkis encontró el primer contraejemplo que refuta esta afirmación [11] :
Notas
- ↑ Licenciatura // Enciclopedia Matemática (en 5 tomos). - M .: Enciclopedia soviética , 1985. - T. 5. - S. 221.
- ↑ Chernyshev V.I. Diccionario de la lengua literaria rusa moderna: A-B. M .: Instituto de la Lengua Rusa de la Academia de Ciencias de la URSS, 1950, página 451.
- ↑ Stephen Wolfram, Wolfram Alpha LLC. Wolfram|Alfa (inglés) . www.wolframalpha.com . Fecha de acceso: 4 de abril de 2021.
- ↑ Root // Enciclopedia Matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 3.
- ↑ 1 2 Rybnikov K. A. Historia de las matemáticas . - Editorial de la Universidad de Moscú, 1963. - 346 p.
- ↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , pág. 131-132.
- ↑ Weisstein, Eric W. Rhombic Dodecahedral Number en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- ↑ Deza E., Deza M., 2016 , pág. 132.
- ↑ Weisstein, Eric W. Waring's Problem en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- ↑ Teorema de Fermat // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1985. - T. 5.
- ↑ Noam Elkies . En A 4 + B 4 + C 4 = D 4 // Matemáticas de computación [ . - 1988. - vol. 51 , núm. 184 . - P. 825-835 . -doi : 10.1090/ S0025-5718-1988-0930224-9 . — .
Literatura
- Deza E., Deza M. Números rizados. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Enlaces
- Weisstein, Eric W. Número bicuadrático (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
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