Cubo (álgebra)

El cubo de un número es el resultado de elevar un número a una potencia de 3, es decir, el producto de tres factores, cada uno de los cuales es igual.Esta operación aritmética se llama "al cubo", su resultado se denota : $X$ $X.$ $x^{3}$

x^{3}=x\cdot x\cdot x

Para elevar al cuadrado, la operación inversa es sacar la raíz cúbica . El nombre geométrico del tercer grado " cubo " se debe al hecho de que los antiguos matemáticos consideraban los valores de los cubos como números cúbicos , un tipo especial de números rizados (ver más abajo), ya que el cubo del número es igual al volumen de un cubo con una longitud de arista igual a . $X$ $X$

Secuencia de cubos

La secuencia de cubos de números no negativos comienza con los números [1] :

0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 4287 5, 472, 59656, 596565, 596565, 596565, 596565, 596565, 596565, 596565, 596565, 5256565, 52565, 52, 54565, 5TES, 52565, 5, 596565, 52, 5, 596565, 5TES, 52, 54565, 5TES, 5TAS. , 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736. 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328 ...

La suma de los cubos de los primeros números naturales positivos se calcula mediante la fórmula: $norte$

\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}=\left ({\frac{n(n+1)}{2}}\derecha)^{2}

Derivación de la fórmula

La fórmula para la suma de cubos se puede derivar usando la tabla de multiplicar y la fórmula para la suma de una progresión aritmética [2] . Considerando dos tablas de multiplicar de 5 × 5 como ilustración del método, razonamos para tablas de tamaño n × n.

Tabla de multiplicar y cubos de números

×	una	2	3	cuatro	5
una	una	2	3	cuatro	5
2	2	cuatro	6	ocho	diez
3	3	6	9	12	quince
cuatro	cuatro	ocho	12	dieciséis	veinte
5	5	diez	quince	veinte	25

Tabla de multiplicar y progresión aritmética

×	una	2	3	cuatro	5
una	una	2	3	cuatro	5
2	2	cuatro	6	ocho	diez
3	3	6	9	12	quince
cuatro	cuatro	ocho	12	dieciséis	veinte
5	5	diez	quince	veinte	25

La suma de números en la k-ésima (k=1,2,…) área seleccionada de la primera tabla:

k^2+2 k\sum_{l=1}^{k-1} l=k^2+2k\frac{k(k-1)}{2}=k^3

Y la suma de números en la k-ésima (k=1,2,…) área seleccionada de la segunda tabla, que es una progresión aritmética:

k\sum_{l=1}^{n} l=k\frac{n(n+1)}{2}

Sumando todas las áreas seleccionadas de la primera tabla, obtenemos el mismo número que sumando todas las áreas seleccionadas de la segunda tabla:

\sum_{k=1}^nk^3=\sum_{k=1}^nk\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\sum_ {k=1}^nk=\izquierda(\frac{n(n+1)}{2}\derecha)^2

Algunas propiedades

En notación decimal, un cubo puede terminar en cualquier número (a diferencia de un cuadrado )
En notación decimal, los dos últimos dígitos de un cubo pueden ser 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31 , 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. La dependencia del penúltimo dígito del cubo en el last se puede representar como la siguiente tabla:

último dígito	penúltimo dígito
0	0
5	2, 7
4, 8	incluso
2, 6	extraño
1, 3, 7, 9	ningún

Cubos como números rizados

El " número cúbico " ha sido visto históricamente como una especie de números figurativos espaciales . Se puede representar como la diferencia de los cuadrados de números triangulares consecutivos [3] : $Q_{n}=n^{3}$ $Tennesse}$

Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2},n\geqslant 2

Corolario: la suma de los primeros números cúbicos es igual al cuadrado del enésimo número triangular: $norte$ $norte$

{\displaystyle Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\dots +Q_{n}=(T_{n})^{2))

La diferencia entre dos números cúbicos vecinos es un número hexagonal centrado .

Corolario: la suma de los primeros números hexagonales centrados es un número cúbico [3] . $norte$ $Q_{n}$

La expresión del número cúbico en términos de tetraédrico [3] : ${\ estilo de visualización \ Pi _{n} ^ {(3)))$

Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3) }

, dónde

n > 2.

Una de las " conjeturas de Pollock " (1850): todo número natural puede representarse como la suma de nueve números cúbicos como máximo. Por primera vez esta conjetura (" el problema de Waring ") fue enunciada por Eduard Waring en 1770, demostrada por Hilbert en 1909. Por lo general, siete cubos son suficientes para representar un número dado, pero 15 números requieren ocho (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, secuencia OEIS A018889 ), y dos números necesitan los nueve: 23 y 239 [4] [5] .

Si, además de la suma, se permite la resta (o, lo que es lo mismo, se permiten cubos de números negativos ), entonces cinco cubos son suficientes. Por ejemplo, para el número anterior 23, cuatro [5] [4] .:

23=2^{3}+2^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{ 3}+1^{3}=8^{3}+8^{3}-10^{3}-1^{3}

Se planteó la hipótesis de que cualquier número entero se puede representar como una suma de no más de cuatro cubos (con signos), pero esto aún no se ha probado, aunque se ha probado en una computadora para números hasta 10 millones.En 1966 , V. Demyanenko demostró que cualquier número entero, excepto los números de la forma 9n ± 4, puede representarse como la suma de cuatro cubos. El número más grande que no se puede representar como la suma de cuatro cubos es 7373170279850 , y hay razones para pensar que este es el número más grande [6] [4] .

La función generadora de números cúbicos tiene la forma [3] :

f(x)={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4}}};\quad |x|<1

Notas

↑ Secuencia OEIS A000578 = Los cubos: a (n) = n^3
↑ Rowe S. Ejercicios geométricos con una hoja de papel . - 2ª ed. - Odessa: Matezis, 1923. - S. 68-70.
↑ 1 2 3 4 Deza E., Deza M., 2016 , pág. 78-81.
↑ 1 2 3 Estuardo, Ian . Los increíbles números del profesor Stewart = los increíbles números del profesor Stewart. - M. : Alpina no ficción, 2016. - S. 79-81. — 422 págs. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , pág. 231-232.
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernardo; I. Gusti Putu Purnaba, Apéndice por. 7373170279850 (inglés) // Matemáticas de computación : revista. - 2000. - vol. 69 , núm. 229 . - Pág. 421-439 . -doi : 10.1090/ S0025-5718-99-01116-3 .

Literatura

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Detrás de las páginas de un libro de texto de matemáticas: Aritmética. Álgebra. geometría _ - M. : Educación, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela . - M. : Educación, 1964. - 376 p.
Deza E., Deza M. Números rizados. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Enlaces

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plano

Poligonal clásico	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal dodecagonal
Centrado	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal Nueve ángulos Decagonal

Piramidal	tetraédrico piramidal cuadrada
multifacético	cúbico Octaédrico dodecaédrico icosaédrico octaédrico estrellado

multifacético	pentatópico Bicuadrado