Álgebras KKS y KAS

Las álgebras KKS (basadas en relaciones de conmutación canónicas ) y las álgebras KAS (basadas en relaciones de anticonmutación canónicas) se utilizan en el aparato matemático de la mecánica cuántica , la mecánica estadística cuántica y la teoría cuántica de campos para describir las estadísticas y las propiedades observables de todas las partículas elementales: [1 ] bosones y fermiones , respectivamente. [2] .

KKS-álgebras y KAS-álgebras como *-álgebras

Sea un espacio vectorial real equipado con una forma bilineal antisimétrica real no degenerada (es decir, un espacio vectorial simpléctico ). un *-álgebra unitaria generada por los elementos en los que se cumplen las relaciones $V$ $(\cdot,\cdot)$ $V$

fg-gf=i(f,g)

{\ estilo de visualización f ^ {*} = f}

para cualquier en se llama el álgebra de las relaciones canónicas de conmutación (KKS-álgebra) . ${\ estilo de visualización f, g}$ $V$

Si, por el contrario, el *-álgebra unitaria generada por los elementos está dotada de una forma bilineal simétrica real no degenerada , en la que las relaciones $V$ $(\cdot,\cdot)$ $V$

{\ estilo de visualización fg+gf=(f,g)}

{\ estilo de visualización f ^ {*} = f}

porque todo en se llama el álgebra de relaciones canónicas de anticonmutación (CAS-álgebra) . $f, g$ $V$

CKS C*-álgebra

Existe un tipo de KKS-álgebra separado, pero estrechamente relacionado, llamado KKS C*-álgebra. Sea un espacio vectorial simpléctico real con forma simpléctica no singular . En la teoría de álgebras de operadores , el álgebra KKS sobre es un C*-álgebra unitaria generada por elementos con las propiedades $H$ $(\cdot,\cdot)$ ${\ estilo de visualización H}$ ${\ estilo de visualización \ {W (f): f \ en H \))$

W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g)

W(f)^{*}=W(-f)

Se llaman la forma de Weyl de las relaciones canónicas de conmutación y, en particular, implican que cada elemento es unitario y . Es bien sabido que un álgebra KKS es un álgebra simple no separable y es única hasta el isomorfismo. [3] ${\ estilo de visualización W (f)}$ ${\ estilo de visualización W (0) = 1}$

Cuando es un espacio de Hilbert y está dado por la parte imaginaria del producto interno, el álgebra KKS se representa de manera confiable en el espacio de Fock simétrico sobre , usando la relación: $H$ $(\cdot, \cdot)$ $H$

W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}}, \ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}||f||^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}}),\ldots \right)

para cualquier Los operadores de campo se definen para cada uno como los generadores del grupo unitario de un parámetro en el espacio de Fock simétrico. Son operadores autoadjuntos ilimitados , sin embargo satisfacen formalmente la relación ${\ estilo de visualización f, g \ en H}$ ${\ estilo de visualización B (f)}$ $f \ en H$ $(W(tf))_{t\en \mathbb {R} }$

B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\mathrm {Im} \langle f,g\rangle

Dado que la relación es real-lineal, los operadores definen un álgebra KKS en el sentido de la Sección 1 . $f\mapsto B(f)$ ${\ estilo de visualización B (f)}$ $(H,2\mathrm {Im} \langle \cdot,\cdot \rangle)$

CAS C*-álgebra

Sea un espacio de Hilbert. En la teoría de álgebras de operadores, un álgebra CAS es una terminación C* única de un álgebra * unitaria compleja generada por elementos , teniendo en cuenta las relaciones $H$ ${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):f\en H\))$

b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,

{\ estilo de visualización b (f) b (g) + b (g) b (f) = 0, \,}

\lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,

b(f)^{*}=b^{*}(f),\,

para todos , . Cuando es separable, un álgebra CAS es un álgebra C* de dimensión aproximadamente finita y, en el caso particular de , a menudo se escribe como . [cuatro] ${\ estilo de visualización f, g \ en H}$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ en \ mathbb {C}}$ $H$ $H$ ${\displaystyle {M_{2^{\infty}}(\mathbb {C} )))$

Sea un espacio de Fock antisimétrico y sea una proyección ortogonal sobre vectores antisimétricos: ${\ Displaystyle F_ {a} (H)}$ $H$ $Pensilvania$

P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,

El CAS-álgebra se representa exactamente en , usando la relación ${\ Displaystyle F_ {a} (H)}$

b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1} \otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,

para todos y . El hecho de que formen un C*-álgebra se explica por el hecho de que los operadores de creación y aniquilación en el espacio de Fock antisimétrico son operadores acotados . Además, los operadores de campo satisfacen la relación $f,g_{1},\ldots,g_{n}\in H$ $n\en \mathbb {N}$ $B(f):=b^{*}(f)+b(f)$

B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,

dando enlace al capítulo 1 .

Véase también

Notas

↑ Segal I. Problemas matemáticos de física relativista. - M., Mir, 1968. - pág. 51-52
↑ Bratteli, Ola. Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica: v.2 / Ola Bratteli, Derek W. Robinson. - Springer, 2ª ed., 1997. - ISBN 978-3-540-61443-2 .
↑ Petz, Denes. Una invitación al álgebra de las relaciones canónicas de conmutación . - Prensa de la Universidad de Lovaina, 1990. - ISBN 978-90-6186-360-1 . Archivado el 15 de agosto de 2019 en Wayback Machine .
↑ Evans, David E. Simetrías cuánticas en álgebras de operadores / David E. Evans, Yasuyuki Kawahigashi . - Oxford University Press, 1998. - ISBN 978-0-19-851175-5 .