Un álgebra C* es un álgebra de Banach con una involución que satisface las propiedades del operador adjunto .
Un caso especial de un álgebra C* es un álgebra compleja sobre un campo A de operadores lineales continuos en un espacio de Hilbert complejo con dos propiedades adicionales:
Otra clase importante de álgebras C* que no son de Hilbert son las álgebras de funciones continuas en el espacio .
Las C*-álgebras se consideraron por primera vez principalmente con el objetivo de utilizarlas en la mecánica cuántica para modelar álgebras de objetos físicamente observables . Esta línea de investigación se inició con la mecánica cuántica matricial de Werner Heisenberg y, de forma más matemática, con los trabajos de Pascual Jordan hacia 1933. Posteriormente, John von Neumann trató de establecer la estructura general de estas álgebras creando una serie de artículos sobre anillos de operadores. Estos artículos trataban de una clase especial de C*-álgebras, que ahora se conocen como álgebras de von Neumann .
Alrededor de 1943, Israel Gelfand y Mark Naimark , utilizando la noción de anillos completamente regulares, dieron una caracterización teórica de C*-álgebras [1] .
Las C*-álgebras son actualmente una herramienta importante en la teoría de representaciones unitarias de grupos localmente compactos, y también se utilizan en formulaciones algebraicas de la mecánica cuántica . Otra área activa de investigación es la clasificación o determinación del grado de clasificación posible para C*-álgebras nucleares simples separables.
Un álgebra C* [2] es un álgebra A de Banach sobre el campo de los números complejos , para todos los elementos de los cuales se define un mapeo con las siguientes propiedades:
Nota. Las primeras tres identidades dicen que A es un *-álgebra . La última identidad se llama identidad C* y es equivalente a la fórmula
La identidad C* es un requisito muy estricto. Por ejemplo, junto con la fórmula del radio espectral , se deduce que la norma C* está determinada únicamente por la estructura algebraica:
Un operador acotado : A B entre C*-álgebras A y B se denomina *-homomorfismo si
En el caso de C*-álgebras, cualquier *-homomorfismo entre C*-álgebras es contractivo, es decir, acotado por la norma . Además, un *-homomorfismo inyectivo entre C*-álgebras es isométrico . Estas propiedades son consecuencias de la identidad C*.
Un homomorfismo * biyectivo se denomina isomorfismo C* , en cuyo caso se dice que A y B son isomorfos .