C*-álgebra

Un álgebra C* es un álgebra de Banach con una involución que satisface las propiedades del operador adjunto .

Un caso especial de un álgebra C* es un álgebra compleja sobre un campo A de operadores lineales continuos en un espacio de Hilbert complejo con dos propiedades adicionales:

A es un conjunto topológicamente cerrado en la topología de la norma del operador .
A se cierra bajo la operación de tomar conjugaciones de operadores .

Otra clase importante de álgebras C* que no son de Hilbert son las álgebras de funciones continuas en el espacio . ${\ estilo de visualización C_ {0} (X)}$ $X$

Las C*-álgebras se consideraron por primera vez principalmente con el objetivo de utilizarlas en la mecánica cuántica para modelar álgebras de objetos físicamente observables . Esta línea de investigación se inició con la mecánica cuántica matricial de Werner Heisenberg y, de forma más matemática, con los trabajos de Pascual Jordan hacia 1933. Posteriormente, John von Neumann trató de establecer la estructura general de estas álgebras creando una serie de artículos sobre anillos de operadores. Estos artículos trataban de una clase especial de C*-álgebras, que ahora se conocen como álgebras de von Neumann .

Alrededor de 1943, Israel Gelfand y Mark Naimark , utilizando la noción de anillos completamente regulares, dieron una caracterización teórica de C*-álgebras [1] .

Las C*-álgebras son actualmente una herramienta importante en la teoría de representaciones unitarias de grupos localmente compactos, y también se utilizan en formulaciones algebraicas de la mecánica cuántica . Otra área activa de investigación es la clasificación o determinación del grado de clasificación posible para C*-álgebras nucleares simples separables.

Formal definición

Un álgebra C* [2] es un álgebra A de Banach sobre el campo de los números complejos , para todos los elementos de los cuales se define un mapeo con las siguientes propiedades: ${\ estilo de texto x \ en A}$ ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$

Esta aplicación es una involución para cada x en A :

{\ estilo de visualización x^{**}=(x^{*})^{*}=x}

Para todo x , y en A :

{\ estilo de visualización (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}

{\ estilo de visualización (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}

Para cada número complejo en y cada x en A : $\lambda$ $\matemáticas {C}$

(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}

Para todo x en A :

\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|

Nota. Las primeras tres identidades dicen que A es un *-álgebra . La última identidad se llama identidad C* y es equivalente a la fórmula

${\ estilo de visualización \|xx^{*}\|=\|x\|^{2))$

La identidad C* es un requisito muy estricto. Por ejemplo, junto con la fórmula del radio espectral , se deduce que la norma C* está determinada únicamente por la estructura algebraica:

\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1\ {\text{ no reversible}}\}.

Un operador acotado : A B entre C*-álgebras A y B se denomina *-homomorfismo si $\Pi$ $\a$

para todo x e y de A ,

{\ estilo de visualización \ pi (xy) = \ pi (x) \ pi (y)}

para todo x de A ,

{\ estilo de visualización \ pi (x ^ {*}) = \ pi (x) ^ {*}}

En el caso de C*-álgebras, cualquier *-homomorfismo entre C*-álgebras es contractivo, es decir, acotado por la norma . Además, un *-homomorfismo inyectivo entre C*-álgebras es isométrico . Estas propiedades son consecuencias de la identidad C*. $\Pi$ ${\ estilo de visualización \ leq 1}$

Un homomorfismo * biyectivo se denomina isomorfismo C* , en cuyo caso se dice que A y B son isomorfos . $\Pi$

Notas

↑ I. Gelfand , M. Neumark . Sobre la incrustación de anillos normados en el anillo de operadores en el espacio de Hilbert , Mat. Sb., 12(54):2 (1943), 197-217.
↑ Esta definición se dio por primera vez en el artículo de I. Gelfand , M. Neumark . Sobre la incrustación de anillos normados en el anillo de operadores en el espacio de Hilbert , Mat. Sb., 12(54):2 (1943), 197-217.

Enlaces

J.Murphy. C *-Álgebras y Teoría de Operadores = C *-Álgebras y Teoría de Operadores. - M .: Factorial, 1997. - ISBN 5-88688-016-X .
Arveson W. Una invitación a C*-Algebra (inglés). -Nueva York:Springer-Verlag, 1976. - Vol. 13 Textos de posgrado en matemáticas. — 106p. —ISBN 0-387-90176-0.
Connes, Alain , Geometría no conmutativa , ISBN 0-12-185860-X , < https://archive.org/details/noncommutativege0000conn >
Dixmier, Jacques (1969), Les C*-algebres et leurs representaciones , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1 , < https://archive.org/details/calgebras0000dixm >
Doran, Robert S. & Belfi, Victor A. (1986), Caracterizaciones de C * -álgebras: los teoremas de Gelfand-Naimark , CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8
Emch, G. (1972), Métodos algebraicos en mecánica estadística y teoría cuántica de campos , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3
AI Shtern (2001), álgebra C * , en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Sakai, S. (1971), C * -álgebras y W * -álgebras , Springer, ISBN 3-540-63633-1
Segal, Irving (1947), Representaciones irreducibles de álgebras de operadores , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense, volumen 53 (2): 73–88 , DOI 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5