Función cuadrática de una variable

Una función cuadrática es una función racional entera de segundo grado de la forma , donde y . La ecuación de la función cuadrática contiene un trinomio cuadrado . La gráfica de una función cuadrática es una parábola . Muchas propiedades de la gráfica de una función cuadrática están relacionadas de alguna manera con la parte superior de la parábola, que determina en gran medida la posición y apariencia de la gráfica. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $un \ neq 0$ $a,b,c\en \mathbb {R}$

Una visión general de las características principales

Muchas propiedades de una función cuadrática dependen del valor del coeficiente . La siguiente tabla proporciona una descripción general de las principales propiedades de una función cuadrática [1] . Su prueba se considera en el artículo en las secciones correspondientes. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a$

Propiedad	$a>0$	$un<0$
Alcance de la función	$D(f)=\mathbb {R}$
Conjunto de valores de función	$E(f)=\left[-{\frac {b^{2}-4ac}{4a));+\infty \right)$	$E(f)=\left(-\infty ;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$
Paridad de funciones	Una función par para ; ni par ni impar $b=0$ $b\neq 0$
Función Periodicidad	Función no periódica
Continuidad de funciones	Función continua en todas partes, sin puntos de discontinuidad.
Ceros de función	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ , si no hay ceros reales, si $D=b^{2}-4ac\geq 0$ $D=b^{2}-4ac<0$
Límite de función en $x\to \pm \infty$	$f(x)\to +\infty$ a $x\to \pm \infty$	$f(x)\to -\infty$ a $x\to \pm \infty$
Diferenciabilidad de funciones	En todas partes se multiplican diferenciables: $f'(x)=2ax+b,f''(x)=2a,f'''(x)=0$
Puntos extremos (extremo absoluto)	$x_{min}={\frac{-b}{2a))$ (mínimo)	$x_{max}={\frac{-b}{2a))$ (máximo)
Intervalos de monotonicidad estricta	disminuye en aumenta en $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a))\right]$ $\left[-{\frac {b}{2a));+\infty \right)$	aumenta en disminuye en $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a))\right]$ $\left[-{\frac {b}{2a));+\infty \right)$
Convexidad de una función	Función convexa hacia abajo en todas partes	Una función convexa en todas partes
Puntos de inflexión	Sin puntos de inflexión
Limitación de funciones	Limitado desde abajo	Limitado desde arriba
El mayor valor de la función.	Ninguno (ilimitado desde arriba)	$y_{máx}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a))$
El valor más pequeño de la función.	$y_{min}=-{\frac{b^{2}-4ac}{4a))$	Ninguno (ilimitado desde abajo)
Valores de función positivos	$(-\infty;x_{1})\cup (x_{2};+\infty)$	${\ estilo de visualización (x_{1};x_{2})}$
Valores de funciones negativas	${\ estilo de visualización (x_{1};x_{2})}$	$(-\infty;x_{1})\cup (x_{2};+\infty)$

Influencia de los coeficientes en la transformación de gráficos

Notación estándar para la ecuación de una función cuadrática

Los números reales , y en la notación general de una función cuadrática, se denominan sus coeficientes. En este caso, el coeficiente generalmente se denomina mayor y el coeficiente es gratuito. Cambiar cada uno de los coeficientes conduce a ciertas transformaciones de la parábola. $a$ $b$ $C$ $a$ $C$

Por el valor del coeficiente , se puede juzgar en qué dirección se dirigen sus ramas (hacia arriba o hacia abajo) y evaluar el grado de su expansión o compresión en relación con el eje y : $a$

Si , entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, es decir, su vértice se encuentra debajo. $a>0$
Si , entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo, es decir, su vértice se encuentra en la parte superior. $un<0$
Si , entonces la parábola está comprimida a lo largo del eje y, es decir, parece más ancha y plana. ${\ estilo de visualización | un | <1}$
Si , entonces la parábola se estira a lo largo del eje y, es decir, parece más angosta y empinada. ${\ estilo de visualización | un |> 1}$

La influencia del valor del coeficiente se puede ilustrar de la forma más sencilla mediante una función cuadrática de la forma , es decir, en el caso de y . En el caso, la función cuadrática se convierte en lineal . $a$ ${\displaystyle f(x)=ax^{2))$ $b=0$ $c=0$ $un=0$

Un cambio en el coeficiente implicará un desplazamiento de la parábola tanto en relación con el eje de abscisas como en relación con el eje de ordenadas . Cuando el valor aumenta en 1, la parábola se desplazará hacia la izquierda y simultáneamente hacia abajo. Disminuir en 1 desplazará la parábola hacia la derecha y simultáneamente hacia arriba. Tales transformaciones se explican por el hecho de que el coeficiente caracteriza la pendiente de la tangente a la parábola en el punto de intersección con el eje de ordenadas (es decir, en ). $b$ $b$ ${\ estilo de visualización 1/2a}$ ${\ estilo de visualización (2b+1)/4a}$ $b$ ${\ estilo de visualización 1/2a}$ ${\ estilo de visualización (2b-1)/4a}$ $b$ $x=0$

El coeficiente caracteriza la traslación paralela de la parábola en relación con el eje y (es decir, hacia arriba o hacia abajo). Al aumentar el valor de este coeficiente en 1, la parábola se moverá 1 hacia arriba. En consecuencia, si el coeficiente se reduce en 1, entonces la parábola también se desplazará hacia abajo en 1. Dado que el coeficiente también afecta la posición del vértice de la parábola, es imposible juzgar solo por el valor del coeficiente si el vértice está ubicado arriba o debajo del eje x. $C$ $C$ $b$ $C$

Escribir una función cuadrática en función de las coordenadas del vértice de la parábola

Cualquier función cuadrática se puede obtener estirando/comprimiendo y traduciendo paralelamente la función cuadrática más simple . Entonces, la gráfica de una función de la forma se obtiene comprimiendo (en ) o estirando (en ) la gráfica de la función en tiempos, seguido de su transferencia paralela en unidades hacia la derecha y unidades hacia arriba (si estos valores son números negativos, luego, respectivamente, hacia la izquierda y hacia abajo). Obviamente, con la transformación hecha, la parte superior de la parábola de la función se moverá de un punto a otro . Este hecho brinda otra forma de calcular las coordenadas del vértice de la parábola de una función cuadrática arbitraria al llevar su ecuación a la forma , lo que le permite ver inmediatamente las coordenadas del vértice de la parábola - . $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f(x)=x^{2}$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $un<0$ $a>0$ $f(x)=x^{2}$ $a$ $x_{0}$ $y_0$ $f(x)=x^{2}$ $(0;0)$ $(x_{0};y_{0})$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $(x_{0};y_{0})$

Convertir una función cuadrática arbitraria de la forma a la forma permite el método de seleccionar un cuadrado completo, utilizando las fórmulas de multiplicación binomial abreviada : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$

f(x)=ax^{2}+bx+c

=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x\right)+c

=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\ fracción {b^{2}}{4a^{2}}}\right)+c

=a\cdot \left(x^{2}+2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}} }\derecha)-{\frac{b^{2}}{4a}}+c

=a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac {4a}}

=a\cdot \left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}

=a\cdot \left(x-x_{0}\right)^{2}+y_{0}

, donde y

x_{0}={\frac{-b}{2a))

y_{0}={\frac{-b^{2}+4ac}{4a))

Comparando los valores para y calculados por el método diferencial (ver la sección correspondiente del artículo), también se puede asegurar que son las coordenadas del vértice de la parábola. En casos específicos, no es necesario memorizar las fórmulas engorrosas dadas, es más conveniente realizar la transformación del polinomio directamente a la forma deseada cada vez. En un ejemplo específico, este método se ve así: $x_{0}$ $y_0$

f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x^{2}+4\cdot x\right)+5

=2\cdot \left(x^{2}+4\cdot x+4-4\right)+5

=2\cdot \left(\left(x+2\right)^{2}-4\right)+5

=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-8+5

=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3\Rightarrow S(-2;-3)

La desventaja de este método es su engorroso, especialmente en el caso de que, debido a los paréntesis, tenga que trabajar con fracciones . También requiere cierta habilidad en el manejo de fórmulas de multiplicación abreviadas .

Sin embargo, la prueba general considerada anteriormente conduce a una forma más sencilla de calcular las coordenadas del vértice de la parábola usando las fórmulas y . Por ejemplo, para la misma función tenemos: $x_{0}={\frac{-b}{2a))$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f(x)=2x^{2}+8x+5$

x_{0}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-8}{2\cdot 2}}=-2

y_{0}=f(-2)=2\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+5=-3\Rightarrow S(-2;-3)

Así, . $f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3$

Ceros de la función

Número de ceros de una función cuadrática

Una función cuadrática es una función racional entera de segundo grado, por lo que puede tener como máximo dos ceros en el área real. En el caso de una extensión al dominio complejo , se puede decir que la función cuadrática en cualquier caso tiene exactamente dos ceros complejos, que pueden ser estrictamente números reales o contener una unidad imaginaria .

Puedes determinar el número de ceros de una función cuadrática sin resolver la ecuación cuadrática correspondiente calculando el discriminante . Al mismo tiempo, existen diversas variaciones de su cálculo: ordinaria (siempre aplicable), reducida (conveniente en el caso de un coeficiente par ) y reducida (aplicable solo para el polinomio reducido ). En este caso, los valores numéricos en cada caso serán diferentes, sin embargo, el signo del discriminante coincidirá independientemente de la variación. $b$

discriminante completo	discriminante reducido	discriminante reducido
$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=x^{2}+px+q$
$D=b^{2}-4ac$	$D=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac$	$D=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q$

Independientemente del cálculo del discriminante, las siguientes afirmaciones serán verdaderas:

Si , entonces la función tiene un cero de multiplicidad 2, que coincide con la abscisa del vértice de la parábola; $D=0$
Si , entonces la función tiene dos ceros reales y la parábola corta el eje x en dos puntos; $D>0$
Si , entonces la función no tiene ceros reales (sus dos ceros serán números complejos) y su gráfico se ubica completamente sobre el eje de abscisas (si ) o se encuentra completamente debajo de él (si ). $D<0$ $a>0$ $un<0$

Por ejemplo, para una función que usa la fórmula estándar para el discriminante, obtenemos: $f(x)=2x^{2}+8x+5$

D=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 2\cdot 5=64-40=24>0

Esto significa que esta función tiene dos ceros reales, es decir, su parábola corta el eje x en dos puntos.

Métodos para calcular los ceros de una función cuadrática

Encontrar los ceros de una función cuadrática se reduce a resolver una ecuación cuadrática , donde . El método particular más adecuado para una función cuadrática particular depende en gran medida de sus coeficientes. En todos los casos especiales, además de fórmulas y métodos especiales, siempre es aplicable la fórmula universal. En todas las fórmulas enumeradas que contienen raíz cuadrada , debe tenerse en cuenta que si la expresión raíz es un número negativo , entonces la función cuadrática no tiene ceros en el área real, pero tiene dos ceros complejos . $hacha^{2}+bx+c=0$ $un \ neq 0$

En el caso más general, se aplica la fórmula universal:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

En el caso de la ecuación dada de la forma , en la que el coeficiente principal es igual a uno, se utiliza una fórmula simplificada: $x^{2}+px+q=0$ $a$

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q} }

Puedes obtener la forma reducida de la general dividiendo la ecuación original por . Al mismo tiempo, obviamente, y .

hacha^{2}+bx+c=0

a

{\ estilo de visualización p = b / a}

{\ estilo de visualización q = c / a}

En el caso de una ecuación cuadrática incompleta para , la ecuación toma una forma de potencia . Por lo tanto, utilizando los métodos de resolución de ecuaciones de potencia , obtenemos: $b=0$ $hacha^{2}+c=0$

{\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {\frac {-c}{a))))

En el caso de una ecuación cuadrática incompleta para , la ecuación toma la forma , y es conveniente usar el método de factorización para resolverla . Sacándolo de los corchetes, obtenemos . Así, tenemos: $c=0$ $hacha^{2}+bx=0$ $hacha$ $hacha(x+b/a)=0$

{\ estilo de visualización x_ {1} = 0}

x_{2}={\frac{-b}{a))

Paridad y simetría de una función cuadrática

Simetría alrededor del eje y

Una función cuadrática es una función racional completa de segundo grado, por lo que todas las propiedades correspondientes de una función racional completa son verdaderas para ella. En particular, es par solo si su polinomio contiene solo exponentes pares , e impar si contiene solo exponentes impares. De aquí se sigue que ninguna función cuadrática puede ser impar por el hecho de que inicialmente se le impone la condición , y por lo tanto siempre contendrá un exponente par 2. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$

Además, es obvio que la función cuadrática es par solo si no hay exponente 1, lo que significa . Este hecho es fácil de probar directamente. Entonces, es obvio que la función es par, ya que es cierto: $b=0$ $f(x)=ax^{2}+c$

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+c=ax^{2}+c=f(x)

, eso es .

{\ estilo de visualización f (-x) = f (x)}

Por lo tanto, una función cuadrática es simétrica con respecto al eje y solo cuando . Los valores específicos de los coeficientes no afectan en absoluto a este hecho. En particular, también puede ser igual a cero, es decir, estar ausente en la entrada de la fórmula. En este caso, el vértice de la parábola coincidirá con el origen del sistema de coordenadas. $b=0$ $a$ $C$ $C$

En todos los demás casos, la función cuadrática no será ni par ni impar, es decir, es una función de forma general. Esto también se puede mostrar fácilmente usando la definición de la paridad de una función :

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c\neq f(x)

, eso es .

{\ estilo de visualización f (-x) \ neq f (x)}

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c=-(-ax^{2}+ bx-c)\neq -f(x)

, eso es .

{\ estilo de visualización f (-x) \ neq -f (x)}

Simetría axial en general

Al mismo tiempo, la gráfica de cualquier función cuadrática tiene simetría axial. Como sabes, si la igualdad es verdadera para alguna función para algún número , entonces la gráfica de esta función tiene simetría axial con respecto a la línea recta . En relación con una función cuadrática, tal número es la abscisa del vértice de su parábola. Así, la gráfica de cualquier función cuadrática es simétrica con respecto a un eje paralelo al eje y que pasa por la parte superior de la parábola, y el eje de simetría de la función es una línea recta . $f(x)$ $x_{0}\en \mathbb {R}$ $f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)$ $f(x)$ $x = x_0$ $x_{0}$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\ estilo de visualización x = -b/2a}$

La prueba de este hecho tampoco es difícil:

f(x_{0}+x)=f(x+x_{0})=f\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)=a\left(x-{ \frac {b}{2a}}\derecha)^{2}+b\izquierda(x-{\frac {b}{2a}}\derecha)+c

=a\left(x^{2}-2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ derecha)+b\izquierda(x-{\frac {b}{2a}}\derecha)+c

=ax^{2}-bx+{\frac {b^{2}}{4a}}+bx-{\frac {b^{2}}{2a}}+c=ax^{2} -{\frac{b^{2}}{4a}}+c=ax^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

La transformación conduce a un resultado similar:

f(x_{0}-x)=f(-x+x_{0})=f\left(-x-{\frac {b}{2a))\right)=\dotsb =ax^ {2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Así , por tanto, la gráfica de la función es simétrica con respecto a la recta . $f\left({\frac {-b}{2a}}+x\right)=f\left({\frac {-b}{2a}}-x\right)$ $x={\frac{-b}{2a}}$

Cálculo del vértice de una parábola usando los ceros de una función

Como el eje de simetría de una parábola siempre pasa por su vértice, es obvio que los ceros de una función cuadrática también son siempre simétricos con respecto a la abscisa del vértice de la parábola. Este hecho facilita el cálculo de las coordenadas del vértice de la parábola utilizando los ceros conocidos de la función. En el campo de los números reales, este método funciona solo cuando la parábola cruza el eje de abscisas o lo toca, es decir, tiene ceros del área real.

En el caso de que la función cuadrática tenga solo un cero ( de multiplicidad 2), entonces obviamente es el vértice de la parábola misma. Si la parábola tiene ceros y , entonces la abscisa de su vértice se puede calcular fácilmente como la media aritmética de los ceros de la función. La ordenada de un vértice se calcula sustituyendo su abscisa en la ecuación original de la función: $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{0}$

x_{0}={\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}

y_{0}=f(x_{0})

Este método será especialmente conveniente cuando la función cuadrática se da en su forma factorizada. Así, por ejemplo, la parábola de una función tendrá un vértice con las siguientes coordenadas: ${\ estilo de visualización f (x) = 2 (x-1) (x + 3)}$

x_{0}={\frac {1+(-3)}{2}}=-1

y_{0}=f(-1)=2(-1-1)(-1+3)=-8

En este caso, ni siquiera es necesario transformar la ecuación de la función a una forma general.

Investigación por métodos de análisis diferencial e integral

Derivada y antiderivada

Como cualquier función racional completa, una función cuadrática es derivable en todo su dominio de definición . Su derivada se encuentra fácilmente usando las reglas elementales de diferenciación: . Por lo tanto, vemos que la derivada de una función cuadrática es una función lineal que aumenta estrictamente monótonamente (si ) o disminuye estrictamente monótonamente (si ) en todo el dominio de definición. También es fácil ver que , lo que significa que el coeficiente en la ecuación de la función original es igual a la pendiente de la parábola en el origen. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f'(x)=2ax+b$ $a>0$ $un<0$ ${\ estilo de visualización f' (0) = b}$ ${\ estilo de visualización f' (0) = b}$

Una función cuadrática, como cualquier función racional completa, también es integrable en todo su dominio de definición . Su antiderivada es obviamente una función cúbica :

F(x)=\int (ax^{2}+bx+c)dx={\frac {a}{3}}x^{3}+{\frac {b}{2}}x ^{2}+cx+d

, donde .

d\in \mathbb {R}

Monotonicidad y puntos extremos

Obviamente, la parte superior de la parábola es su punto más alto o más bajo, es decir, el extremo absoluto de la función cuadrática (mínimo en y máximo en ). Por lo tanto, la abscisa del vértice de la parábola divide el dominio de definición de la función en dos intervalos monótonos , en uno de los cuales la función crece y en el otro decrece. Usando los métodos de cálculo diferencial , usando este hecho, uno puede derivar fácilmente una fórmula simple para calcular las coordenadas del vértice de una parábola dada por la ecuación general a través de sus coeficientes. $a>0$ $un<0$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Según la condición necesaria y suficiente para la existencia de un extremum, obtenemos: . Al mismo tiempo , si . La función es una función constante , con y con . Así, el criterio necesario y suficiente para la existencia de un extremum se satisface en el punto . Por lo tanto, tenemos las coordenadas del vértice: $f'(x)=2ax+b$ $f'(x)=0$ ${\ estilo de visualización x = -b/2a}$ $f''(x)=2a$ ${\ estilo de visualización f''>0}$ $a>0$ ${\ estilo de visualización f''<0}$ $un<0$ $x_{0}=-b/2a$

x_{0}={\frac{-b}{2a))

y_{0}=f(x_{0})=a\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+b\left({\frac {-b} {2a}}\right)+c={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

La parte superior de la parábola divide el dominio de la función cuadrática en dos intervalos monótonos: y . Pues , la función en el primero de ellos es estrictamente monótonamente decreciente, y en el segundo estrictamente monótonamente creciente. En el caso , es exactamente lo contrario. $\left(-\infty;{\frac {-b}{2a}}\right)$ $\left({\frac {-b}{2a));+\infty \right)$ $a>0$ $un<0$

En este caso, no puede recordar estas fórmulas en absoluto, sino simplemente usar cada vez los criterios para la existencia de un extremo para cada función cuadrática específica. O se recomienda memorizar solo la fórmula para calcular la abscisa del vértice de la parábola. Su ordenada se calcula fácilmente sustituyendo la abscisa calculada en una ecuación de función específica. $x_{0}=-b/2a$

Por ejemplo, para una función obtenemos: $f(x)=2x^{2}+8x+5$

x_{0}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-8}{2\cdot 2}}=-2

y_{0}=f(-2)=2\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+5=-3\Rightarrow S(-2;-3)

Así, el vértice de la parábola de esta función tiene coordenadas . En este caso, la función es estrictamente monótonamente decreciente en el intervalo y estrictamente monótonamente creciente en el intervalo ${\ estilo de visualización (-2; -3)}$ $(-\infty;-2)$ ${\ estilo de visualización (-2; + \ infinito)}$

Convexidad y puntos de inflexión

Dado que la segunda derivada de una función cuadrática es una función lineal constante , no tiene puntos de inflexión , ya que su valor es constante, y, en consecuencia, no se cumplirá un criterio suficiente para ninguno de sus puntos. Además, es obvio que para , la función cuadrática original será convexa hacia abajo en todas partes (debido al hecho de que su segunda derivada es positiva en todas partes), y para , será convexa hacia arriba en todas partes (su segunda derivada será negativa en todas partes). $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f''(x)=2a$ $a>0$ $un<0$

Invertibilidad de una función cuadrática

Dado que la función cuadrática no es estrictamente monótona, es irreversible . Sin embargo, dado que cualquier función continua puede invertirse en sus intervalos de monotonicidad estricta, entonces para cualquier función cuadrática hay dos funciones inversas correspondientes a sus dos intervalos de monotonicidad. Las inversas de una función cuadrática en cada uno de sus intervalos de monotonicidad son las funciones de raíz cuadrada aritmética [2] .

Entonces, la función raíz cuadrada aritmética es la inversa de la función cuadrada en el intervalo . En consecuencia, la función es inversa a la función en el intervalo . Las gráficas de funciones y serán simétricas entre sí con respecto a una línea recta . $f^{-1}(x)={\sqrt {x}}$ $f(x)=x^{2}$ $[0, +\infty)$ $f^{-1}(x)=-{\sqrt {x))$ $f(x)=x^{2}$ $(-\infty;0]$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización f ^ {-1} (x)}$ $y=x$

Para encontrar funciones inversas para una función cuadrática arbitraria, es más conveniente representarla en la forma , donde es el vértice de su parábola. A continuación, usamos el conocido método para encontrar funciones inversas: intercambiamos las variables y expresamos nuevamente a través de : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $(x_{0};y_{0})$ $X$ $y$ $y$ $X$

{\displaystyle y=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))

{\displaystyle x=a(y-x_{0})^{2}+y_{0))

{\displaystyle x-y_{0}=a(y-x_{0})^{2))

{\frac {x-y_{0}}{a}}=(y-x_{0})^{2}

\pm {\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}=y-x_{0}

\pm {\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}=y

Por tanto, la inversa de en el intervalo es la función . $f(x)$ $[x_{0};+\infty)$ $f^{-1}(x)={\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}$

En el intervalo inverso a está la función . $(-\infty;x_{0}]$ $f(x)$ $f^{-1}(x)=-{\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}$

Por ejemplo, para una función con un vértice , obtenemos: $f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3$ ${\ estilo de visualización (-2; -3)}$

f^{-1}(x)={\sqrt {\frac {x+3}{2))}-2

en el intervalo .

{\ estilo de visualización [-2; + \ infinito)}

f^{-1}(x)=-{\sqrt {\frac {x+3}{2))}-2

en el intervalo .

(-\infty;-2]

Ejemplos de apariencia en la práctica

La dependencia de la altura de un cuerpo en caída libre con el tiempo.
La dependencia del área de un círculo de sus dimensiones lineales (por ejemplo, el radio ).
Dependencia de la distancia en el tiempo para un movimiento uniformemente acelerado.
La dependencia de la presión sobre el flujo (característica de presión de una bomba centrífuga).

Generalización

La generalización al caso de muchas variables sirven como superficies de segundo orden , en general, tal ecuación se puede escribir como:

f({\vec {x)))={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {x}}+c

Aquí: es una matriz de forma cuadrática , es un vector constante , es una constante. Las propiedades de la función, como en el caso unidimensional, están determinadas por el coeficiente principal: la matriz . $A$ ${\ vec {b}}$ $C$ $A$

Véase también

Función cuadrática afín

Notas

↑ Función cuadrática // Gran enciclopedia escolar. - M. : "Asociación enciclopédica rusa", 2004. - S. 118-119.
↑ Rolf Bauman. Quadratwutzelfunktion // Álgebra: Potenzfunktionen, Exponential- und Logarithmusgleichungen, Stochastik: [ Alemán. ] . - München: Mentor, 1999. - T. 9. - S. 17-19. — 167 pág. — ISBN 3-580-63631-6 .

Literatura

Scanavi MI Gráfica de un trinomio cuadrado // Matemáticas elementales. - 2ª ed., revisada. y adicional - M. , 1974. - S. 130-133. — 592 pág.
Kaplan IA Trigésima tercera lección práctica (extremo de una función cuadrática) // Lecciones prácticas de matemáticas superiores. - 3ra ed. - Jarkov, 1974. - S. 449-451.