Signo de d'Alembert

El signo de d'Alembert (o Signo de D'Alembert ) es un signo de convergencia de series numéricas , establecido por Jean d'Alembert en 1768 .

Si para una serie de números

\sum _{{n=0}}^{\infty}a_{n}

existe un número , , tal que, a partir de algún número, la desigualdad $q$ $0<q<1$

\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|\leqslant q,

entonces esta serie es absolutamente convergente ; si a partir de algún número

\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geqslant 1

entonces la serie diverge.

Si, a partir de algún número, , y no existe tal que para todo , a partir de algún número, entonces en este caso la serie puede converger y divergir. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ $q$ ${\ estilo de visualización 0<q<1}$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $norte$

Criterio de d'Alembert para la convergencia en forma límite

si hay un limite

\rho =\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|,

entonces la serie en consideración converge absolutamente si , y si , diverge. $\rho<1$ $\rho >1$

Observación 1. Si , entonces la prueba de d'Alembert no responde la pregunta sobre la convergencia de la serie. $\rho=1$

Observación 2. Si , y la secuencia tiende a su límite desde arriba, todavía podemos decir acerca de la serie que diverge. $\rho=1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ $\rho$

Prueba

Sea partiendo de algún número , la desigualdad es verdadera , donde . Luego puede escribir , , …, , y así sucesivamente. Multiplicando las primeras n desigualdades, obtenemos , de donde . Esto significa que la serie es menor que una suma infinita de una progresión geométrica decreciente y, por lo tanto, en comparación, converge. La serie completa de módulos también converge, ya que los primeros términos (sucesiones ) no juegan ningún papel (hay un número finito de ellos). Dado que la serie de módulos converge, la serie misma converge sobre la base de la convergencia absoluta. Él está absolutamente de acuerdo. $norte$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\times \left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1} }}\right|\times ...\times \left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|=\left|{\frac {a_{ N+n}}{a_{N}}}\right|\leq {q^{n}}$ $\left|{a_{N+n}}\right|\leq |{a_{N}}|{q^{n}}$ $\left|{a_{N+1}}\right|+\left|{a_{N+2}}\right|+\left|{a_{N+3}}\right|+.. .$ $N-1$ ${\ estilo de visualización \ {a \}}$
Sea (a partir de alguna N): entonces podemos escribir . Esto significa que el módulo de los miembros de la secuencia no tiende a cero en el infinito y, por lo tanto, la secuencia misma no tiende a cero. Entonces no se cumple la condición necesaria para la convergencia de cualquier serie y, por lo tanto, la serie diverge. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$ $\left|{a_{n+1}}\right|\geq \left|{a_{n}}\right|$ ${\ estilo de visualización \ {a \}}$ ${\ estilo de visualización \ {a \}}$
Vamos , a partir de algunos . Además , no hay tal que para todos , a partir de algún número . En este caso, la serie puede converger o divergir. Por ejemplo, ambas series y satisfacen esta condición, y la primera serie (armónica) diverge y la segunda converge. De hecho, la serie es cierta para cualquier persona natural . Al mismo tiempo, ya que , esto significa que para cualquier , es posible elegir un número tal que , y al mismo tiempo, a partir de algún número, todos los miembros de la sucesión , donde , estará en el intervalo , es decir , . Y esto quiere decir que no hay tal , que para todos . Este razonamiento puede repetirse para la segunda fila. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ ${\ estilo de visualización n = N}$ $q$ ${\ estilo de visualización 0<q<1}$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $norte$ $norte$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac {1}{n}}$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|={\frac {n}{n+1}}=1-{\frac {1}{ n+1}}<1$ $norte$ $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$ $q$ ${\ estilo de visualización 0<q<1}$ $\varepsilon$ $1-\varepsilon >q$ ${\ estilo de visualización \ {b \}}$ ${b_{n}}=\izquierda|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\derecha|$ ${\ estilo de visualización (1-\ varepsilon; 1)}$ ${b_{n}}>q$ $q$ ${\ estilo de visualización 0<q<1}$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n>N$

Ejemplos

La serie converge absolutamente para todo complejo , ya que $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!)}}$ $z$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {{z^{{n+1}}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{ n!}}}\right|=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {|z|}{n+1}}=0.$

La serie diverge para todos , porque $\sum _{{n=0}}^{\infty}n!\;z^{n}$ $z\neq 0$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {(n+1)!\;z^{{n+1}}}{n!\;z^{n}}}\ derecha|=\lim _{{n\a \infty}}|(n+1)z|=\infty.$

Si , entonces la serie puede converger y divergir: ambas series y satisfacen esta condición, y la primera serie ( armónica ) diverge y la segunda converge. Otro ejemplo que necesita una función Raabe : $\rho=1$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{n=1}^{\infty}\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$

Enlaces

d'Alembert, J. (1768), Opúscules , vol. V, pág. 171–183 , < http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62424s.image.f192 > .
Apostol, Tom M. (1974), Análisis matemático (2.ª ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1
Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series , Nueva York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60153-3 : § 3.3, 5.4.
Rudin, Walter (1976), Principios de análisis matemático (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), criterio de Bertrand , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), criterio de Gauss , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), criterio de Kummer , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Watson, GN & Whittaker, ET (1963), Un curso de análisis moderno (4.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2

diccionarios y enciclopedias	Gran catalán Britannica (en línea)

Signos de convergencia de series.
Para todas las filas	Condición necesaria criterio de Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}$
Para series de signo positivo	Criterio principal Signo de comparación signo de kummer signo de Gauss signo radical de Cauchy característica integral Signo de D'Alembert signo de poder signo logarítmico Signo de Raabe Signo de Bertrand Signo de Jamet Signo de Schlömilch Signo de Ermakov Signo de Lobachevsky señal telescópica Signo de Sapogov
Para series alternas	signo de leibniz
Para filas de la forma $\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$	signo de abel Signo de Dedekind Signo de Dubois-Reymond signo de dirichlet
Para series funcionales	Signo de Weierstrass
Para la serie de Fourier	signo dini Signo de de la Vallée Poussin Signo de Jordania signo de jung signo de salem signo de lebesgue Signo de Lebesgue-Gergen Signo de Martsinkevich