En matemáticas , en el campo de la teoría de grupos , un grupo localmente finito es un grupo en cierto modo (como un límite inductivo ) construido a partir de grupos finitos . En cuanto a grupos finitos, para grupos localmente finitos se estudian subgrupos de Sylow , subgrupos de Carter, etc.
Las siguientes definiciones son las más utilizadas:
Un grupo localmente finito es un grupo del cual cada subgrupo generado finitamente es finito.
Un grupo localmente finito es un grupo para el cual cada subconjunto finito está contenido en un subgrupo finito .
Estas definiciones son equivalentes.
Ejemplos:
Teorema de Schmidt : la clase de grupos localmente finitos se cierra tomando subgrupos, grupos de factores y extensiones [4] .
Cada grupo tiene un único subgrupo localmente finito máximo [5] .
Cada grupo infinito localmente finito contiene un subgrupo abeliano infinito [6] .
Si un grupo localmente finito contiene un p-subgrupo máximo finito , entonces todos sus p-subgrupos máximos son conjugados, y si su número es finito, entonces es congruente con 1 módulo p (ver también Teoremas de Sylow ).
Si cada subgrupo contable de un grupo localmente finito contiene como máximo un número contable de p-subgrupos máximos , entonces todos sus p-subgrupos máximos son conjugados [4] .