Superficie mínima de Schwartz

Las superficies mínimas de Schwartz  son superficies mínimas periódicas , originalmente descritas por Karl Schwartz .

En la década de 1880, Schwartz y su alumno E. R. Neovius describieron superficies mínimas periódicas [1] [2] . Más tarde fueron nombrados por Alan Schoen en su informe fundamental, donde describió la giroide y otras superficies mínimas tres veces periódicas [3] .

Las superficies se generaron usando simetrías: dada una solución al problema de Plateau para un polígono, los reflejos de la superficie sobre las líneas de contorno también dan superficies mínimas regulares que se pueden conectar de forma continua a la solución original. Si la superficie mínima se encuentra con el plano en ángulo recto, entonces también se puede unir a la superficie un reflejo de espejo sobre el plano. Por lo tanto, dado un polígono inicial adecuado inscrito en una celda unitaria, se puede construir una superficie periódica [4] .

Las superficies de Schwarz tienen el género topológico 3, el género mínimo de las superficies mínimas tres veces periódicas [5] .

Se consideraron como modelos para nanoestructuras periódicas en copolímeros de bloques , superficies equipotenciales electrostáticas en cristales [6] e hipotéticas fases de grafito curvadas negativamente [7] .

Schwarz superficie P ("Primitivo" = "Primitivo")

Schön llamó a estas superficies "primitivas" porque tienen dos laberintos congruentes entrelazados, cada uno con forma de versión tubular inflada de una red cúbica simple. Mientras que la superficie estándar P tiene simetría cúbica, las celdas pueden ser cualquier rectángulo, dando una familia de superficies mínimas con la misma topología [8] .

Una superficie puede ser aproximada por una superficie explícita

La superficie P ha sido considerada para el desarrollo de prototipos de andamios de tela con una alta relación superficie/volumen y alta porosidad [10] .

Schwarz superficie D ("Diamante" = "Diamante")

Schön llamó a esta superficie "diamante" porque tiene dos laberintos congruentes entrelazados, cada uno con la forma de una versión hueca e hinchada de la estructura de unión del diamante . En la literatura, esta superficie a veces se denomina superficie F.

Una superficie puede ser aproximada por una superficie explícita

La expresión exacta existe en términos de integrales elípticas basadas en la parametrización de Weierstrass-Enneper [11] .

Schwarz superficie H ("Hexagonal" = "Hexagonal")

La superficie de Schwartz H es similar a una catenoide con un límite triangular, lo que permite llenar todo el espacio.

Superficie Schwarz CLP ("Capas cruzadas de paralelos")

Ilustraciones

• http://www.susqu.edu/brakke/evolver/examples/periodic/periodic.html
• Superficies triplemente periódicas del género 3
• Fases cúbicas bicontinuas basadas en superficies mínimas triplemente periódicas
• Superficie de Schwartz
• http://virtualmathmuseum.org/Surface/gallery_m.html

Notas

1. ↑ Schwarz, 1933 .
2. ↑ Neovio, 1883 .
3. ↑ Schön, 1970 .
4. ↑ Karcher y Polthier 1996 , pág. 2077–2104.
5. ↑ Geometría de Alan Schoen . Consultado el 30 de julio de 2020. Archivado desde el original el 26 de mayo de 2020. (indefinido)
6. ↑ Mackay, 1985 , pág. 604–606.
7. ↑ Terrones, Mackay, 1994 , p. 183–195.
8. ↑ Meeks, 1990 , pág. 77-936.
9. ↑ Superficies de nivel periódico triple . Consultado el 10 de febrero de 2019. Archivado desde el original el 12 de febrero de 2019. (indefinido)
10. ↑ Shin, Kim, Jeong y otros, 2012 .
11. ↑ Gandy, Cvijović, Mackay, Klinowski, 1999 , p. 543–551.

Literatura

• H. A. Schwarz. Gesammelte Mathematische Abhandlungen. — Berlín: Springer, 1933.
• ER Neovio. Akád. Abhandlungen. — Helsingfors, 1883.
• Alan H. Schoen. Superficies mínimas periódicas infinitas sin autointersecciones // Nota técnica de la NASA TN D-5541 . — 1970.
• Hermann Karcher, Konrad Polthier. Construcción de superficies mínimas triplemente periódicas // Phil. Trans. R. Soc. largo A.- 1996.- septiembre ( vol. 354 , núm. 1715 ).
• Alan L. Mackay. Superficies mínimas periódicas // Naturaleza. - 1985. - Abril ( vol. 314 , nro. 6012 ). -doi : 10.1038/ 314604a0 .
• Terrones H., Mackay AL Grafito curvado negativamente y superficies mínimas triplemente periódicas. - 1994. - Diciembre ( número 15 , No. 1 ). -doi : 10.1007/ BF01277558 .
• W. H. Meeks. La teoría de las superficies mínimas triplemente periódicas // Matemáticas de la Universidad de Indiana. Diario. - 1990. - T. 39 , núm. 3 .
• Jaemin Shin, Sungki Kim, Darae Jeong, Hyun Geun Lee, Dongsun Lee, Joong Yeon Lim, Junseok Kim. Análisis de elementos finitos de geometrías de poros de superficie Schwarz P para andamios de ingeniería de tejidos // Problemas matemáticos en ingeniería. - 2012. - doi : 10.1155/2012/694194 .
• Paul JF Gandy, Djurdje Cvijović, Alan L. Mackay, Jacek Klinowski. Cálculo exacto de la superficie mínima triple periódica D ('diamante') // Letras de física química. - 1999. - Diciembre ( vol. 314 , número 5–6, 10 ).