Superficie mínima triple periódica

Una superficie mínima triplemente periódica (TPMS, ing.  triplemente periódica superficie mínima , TPMS) es una superficie mínima en , que es una traducción invariante en una red de rango 3.

Estas superficies tienen simetrías de grupo cristalográficas . Se conocen numerosos ejemplos con simetrías cúbicas, tetragonales , hexagonales y rómbicas . Ciertamente existen ejemplos monoclínicos y triclínicos , pero se ha demostrado que son difíciles de parametrizar [1] .

Los TPMP tienen demanda en las ciencias naturales. Los TSMT se han descubierto como membranas biológicas [2] , como copolímeros en bloque [3] , superficies equipotenciales en cristales [4] , etc. También son de interés en arquitectura, decoración y arte.

Propiedades

Casi todos los TSMT estudiados no tenían autointersecciones (es decir, estaban incrustados en ); desde un punto de vista matemático, son los más interesantes (ya que las superficies de autointersección son obviamente abundantes) [5] .

Todos los TSMT conectados tienen género [6] y en cualquier retícula hay TSMT anidados orientados de cualquier tipo [7] .

Los TSMP anidados son orientables y dividen el espacio en dos subvolúmenes que no se cruzan (laberintos). Si estos dos laberintos son congruentes, se dice que la superficie es una superficie equilibrada [8] .

Historia

Los primeros ejemplos de STMT fueron las superficies descritas por Schwartz en 1865, seguidas por la superficie descrita por su alumno E. R. Neovius en 1883 [9] [10] .

En 1970, Alan Schön ideó 12 nuevas SST basadas en redes esqueléticas [11] [12] [13] . Aunque las superficies de Schön ganaron popularidad en las ciencias naturales, las construcciones no recibieron una prueba matemática de existencia y permanecieron en su mayoría desconocidas para los matemáticos hasta que G. Karcher demostró su existencia en 1989 [14] .

Con la ayuda de superficies conjugadas , se han encontrado muchas otras superficies. Aunque las representaciones de Weierstrass son conocidas por ejemplos simples, no son conocidas por la mayoría de las superficies. En su lugar, a menudo se utilizan métodos de geometría diferencial discreta [5] .

Familias

La clasificación de TSMT es un problema abierto.

Los TSMT a menudo forman familias y pueden deformarse continuamente de uno a otro. Meeks encontró una familia de 5 parámetros para SST de género 3 que contiene todos los ejemplos conocidos de superficies de género 3 excepto el giroide [6] . Los miembros de esta familia se pueden deformar continuamente unos en otros, y la superficie permanece anidada durante el proceso de deformación (aunque la red puede cambiar). El giroides y el lidinoide pertenecen a una familia separada de 1 parámetro [15] .

Otro enfoque para clasificar los STMT es considerar sus grupos espaciales. Para las superficies que contienen líneas, se pueden volver a numerar los posibles polígonos de contorno, proporcionando así una clasificación [8] [16] .

Generalizaciones

Las superficies mínimas periódicas se pueden construir en S 3 [17] y H 3 [18] .

Se puede generalizar la partición del espacio en laberintos para encontrar superficies mínimas tres veces periódicas (posiblemente ramificadas) que dividen el espacio en más de dos partes [19] .

Las superficies mínimas cuasi-periódicas se construyeron en [20] . Se ha sugerido, nunca probado, que existen superficies mínimas con un orden cuasi -cristalino en [21] .

Galería de imágenes externas

Notas

  1. ↑ Matemáticas del Proyecto EPINET . Consultado el 4 de agosto de 2020. Archivado desde el original el 7 de marzo de 2020.
  2. ↑ Deng, Mieczkowski, 1998 , pág. 16–25.
  3. ↑ Jiang, Göpfert, Abetz, 2003 , pág. 6171–6177.
  4. ↑ Mackay, 1985 , pág. 300–305.
  5. ↑ 1 2 Karcher y Polthier 1996 , p. 2077–2104.
  6. ↑ 12 Meeks , 1975 .
  7. ↑ Traizet, 2008 , pág. 243–275.
  8. ↑ 1 2 sin autointersecciones
  9. ↑ Schwarz, 1933 .
  10. ↑ Neovio, 1883 .
  11. ↑ Alan H. Schoen, Superficies mínimas periódicas infinitas sin autointersecciones, Nota técnica de la NASA TN D-5541 (1970)
  12. ↑ [1 .pdf Superficies mínimas periódicas infinitas sin autointersecciones por Alan H. Schoen] . Consultado el 12 de abril de 2019. [ 1.pdf archivado] 13 de abril de 2018.
  13. ↑ Superficies mínimas triplemente periódicas por Alan H. Schoen . Consultado el 12 de abril de 2019. Archivado desde el original el 22 de octubre de 2018.
  14. ↑ Karcher, 1989 , pág. 291–357.
  15. ↑ Weyhaupt, 2006 .
  16. ↑ Fischer y Koch 1996 , pág. 2105–2142.
  17. ↑ Karcher, Pinkall, Sterling, 1988 , pág. 169–185.
  18. ↑ Polthier, 1991 , pág. 201–210.
  19. ↑ Góźdź, Holyst, 1996 , p. 5012–5027.
  20. ↑ Mazet, Traizet, 2006 , pág. 573–601.
  21. ↑ Sheng, Elser, 1994 , pág. 9977–9980.

Literatura