Bicuaternión

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Los bicuaterniones son una complejización (extensión) de los cuaterniones ordinarios (reales) .

Definición

Los bicuaterniones se pueden describir como conjuntos de números de la forma " ", donde w, x, y, z son uno u otro " números complejos especiales ". Un método alternativo de introducción es el procedimiento de Cayley-Dixon : estos son números hipercomplejos de la forma " ", donde a, b son cuaterniones e I es la " unidad de extensión imaginaria ". Se conocen tres tipos diferentes de bicuaterniones, según en qué tipo de números “complejos” se base esta representación (es decir, cuáles son las propiedades de la operación de multiplicación expandible para el número “ I ”): ${\ estilo de visualización w + xi + yj + zk}$ ${\ estilo de visualización a + Ib}$

elíptica (ordinaria) (si ); $Yo^{2}=-1$
parabólico (dual) (si ); $yo^{2}=0$
hiperbólico (doble) (si ) $Yo^{2}=+1.$

Historia y aplicaciones

Hamilton escribió sobre bicuaterniones ordinarios en 1844 (ver Proceedings of the Royal Irish Academy 1844 and 1850 p. 388). Los defensores más destacados de estos bicuaterniones deberían incluir a Alexander Macfarlane , Arthur W. Conway , Ludwik Silberstein y Cornelius Lanczos . La unidad de cuasisfera bicuaternión proporciona una representación del grupo de Lorentz , en el que se basa la relatividad especial .

Los cuaterniones dobles fueron estudiados por William Clifford . Los cuaterniones duales proporcionan instrumentalmente un análisis no estándar de los cuaterniones ordinarios. Además, si no se especifica, estamos hablando de bicuaterniones ordinarios.

Propiedades

El “álgebra de bicuaterniones” es el producto tensorial de álgebras ⊗ (tomadas de los números reales ), donde es una u otra álgebra de números complejos, y es el álgebra de cuaterniones ordinarios (reales) . Como álgebra, los bicuaterniones son isomorfos al álgebra de matrices complejas 2x2 M 2 ( ). $\matemáticas {C}$ $\matemáticas {H}$ $\matemáticas {C}$ $\matemáticas {H}$ $\matemáticas {C}$ $\matemáticas {C}$

Representación matricial

Hay tres matrices complejas con una unidad imaginaria , para las cuales: = Además, el cuadrado de cada una de estas matrices es “menos la matriz identidad ”, y si el producto de estas matrices se compara con el producto de números . Obtenemos que el subgrupo del grupo de matrices generado por estas matrices es isomorfo al grupo de cuaterniones . Por lo tanto, si asignamos un bicuaternión a una matriz , entonces para una matriz compleja dada de 2×2, siempre existen cantidades complejas en esta forma. En otras palabras, el anillo de matrices complejas es isomorfo [1] al anillo de bicuaterniones (ordinarios). $h$ ${\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}.$ $ij=k;ji=-k$ ${\begin{pmatrix}u+iv&w+ix\\-w+ix&u-iv\end{pmatrix}}$ ${\ estilo de visualización q = u + iv + jw + kx}$ $tu, v, w, x$

Representación escalar-vectorial

Un bicuaternión arbitrario es la suma (paquete) de un número de valor complejo ("escalar") y un vector tridimensional [2] : $A$ ${\ estilo de visualización \ alfa = Sc (A)}$ $\mathbf {a} =Vc(A)$

A=\alpha +\mathbf {a} =(\alpha ,\mathbf {a} )

Son posibles dos tipos de representación escalar-vectorial, según el tipo de producto de dos bicuaterniones. Ambas representaciones son equivalentes. En el caso de la representación estándar , el producto y tiene la forma [3] : $A=(\alpha ,\mathbf {a} )$ $B=(\beta,\mathbf {b})$

AB=(\alpha \beta -(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +[\mathbf {a} \mathbf {b } ])

donde y son los productos escalares y vectoriales , respectivamente. ${\ estilo de visualización (\ mathbf {a} \ mathbf {b})}$ $[\mathbf {a} \mathbf {b} ]$

En el caso de una representación compleja [4] :

AB=(\alpha \beta +(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +i[\mathbf {a} \mathbf { b} ])

El producto definido de esta manera para dos bicuaterniones reales generalmente da un bicuaternión de valor complejo.

El bicuaternión conjugado al dado es: $A=(\alpha ,\mathbf {a} )$

{\overline {A}}=(\alpha,-\mathbf {a})

El cuadrado del módulo de un bicuaternión es un número complejo: $A=(\alpha ,\mathbf {a} )$

|A|^{2}=A{\overline {A}}={\overline {A}}A=\alpha ^{2}-\mathbf {a} ^{2}

Este último tiene la propiedad multiplicativa:

|AB|^{2}=|A|^{2}|B|^{2}

Las operaciones de conjugación y conjugación compleja aplicadas al producto de bicuaterniones cambian el orden de los factores:

{\overline {AB}}={\overline {B}}{\overline {A}}

{\ estilo de visualización (AB) ^ {*} = B ^ {*} A ^ {*}}

Todos los bicuaterniones se subdividen en cuaterniones nulos , con un módulo cuadrático cero, y el resto, bicuaterniones distintos de cero . Cada una de estas clases se cierra bajo la operación de multiplicación.

Subálgebras

Al considerar los bicuaterniones (ordinarios) como un álgebra sobre el campo de los números reales, el conjunto forma una base , esta álgebra tiene una dimensión de espacio real de ocho. Además, los cuadrados de todos los elementos son iguales . Esto significa que la subálgebra real , formada por , es isomorfa al anillo , que está formado por números dobles (con una estructura algebraica similar a la construida sobre la hipérbola unitaria ). Los elementos definen las mismas subálgebras. $\matemáticas {R}$ ${\displaystyle \{1,I,i,Ii,j,Ij,k,Ik\))$ ${\ estilo de visualización Ii, Ij, Ik}$ $+1$ $\lbrace x+y(Ii):x,y\in R\rbrace$ ${\ estilo de visualización Ij, Ik}$

Los elementos forman una subálgebra isomorfa a los números bicomplejos . $\lbrace x+yj:x,y\in C\rbrace$

El tercer tipo de subálgebra, el llamado. Se genera “ cocuaterniones ”, ya que el subespacio lineal real con una base se cierra en la multiplicación (después de todo , . La base indicada forma el grupo diédrico del cuadrado, y los cocuaterniones son isomorfos al álgebra de matrices reales 2x2. ${\ estilo de visualización Ij, Ik}$ ${\displaystyle \{1,i,Ij,Ik\))$ $Ij\cdot Ik=-i$

La mecánica cuántica y el álgebra de spinor tratan los bicuaterniones (o su negación) considerándolos en representación como matrices de Pauli . ${\ estilo de visualización Ii, Ij, Ik}$ ${\ estilo de visualización M (2, C)}$

Notas

↑ Leonard Dickson (1914) Álgebras lineales , § 13 "Equivalencia del cuaternión complejo y álgebras matriciales", p.13
↑ L. Silberstein, Forma cuaterniónica de la relatividad , Philos. revista S., 6, vol. 23, núm. 137, págs. 790-809, 1912.
↑ A. A. Alekseeva, Álgebra diferencial de bicuaterniones. Transformaciones de Lorentz de ecuaciones de dos ondas , Mathematical Journal, Almaty, vol. 10, N° 35, 2010, p.33-41
↑ S. Ya. Kotkovsky, Álgebra vectorial nula , Números hipercomplejos en geometría y física, 12:2(23), 2015, p.59-172

Enlaces

Bicuaterniones (ordinarios) - exposición popular
Vladislav V Kravchenko Análisis cuaterniónico aplicado . Heldermann 2003, - 134p. ISBN 3-88538-228-8 ( ver )
Bicuaterniones : conceptos básicos y propiedades de los bicuaterniones, con un ejemplo de su aplicación en el lenguaje de programación JavaScript.

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