La formación de una forma de estrella es el proceso de expandir un polígono (en un espacio de dimensión 2), o un poliedro en espacios de dimensión 3 y superiores, con la formación de una nueva figura.
Partiendo de la figura inicial, el proceso expande algunos elementos como aristas y caras (2D), generalmente manteniendo la simetría, hasta que se encuentran y forman los límites cerrados de la nueva figura. La nueva forma se llama la forma de estrella de la forma original.
En 1619 , Kepler definió la formación estelar de polígonos y poliedros como el proceso de propagación de aristas o caras hasta que se cruzan para formar un nuevo polígono o poliedro.
Construyó las estelaciones del dodecaedro regular y obtuvo dos poliedros estrellados regulares, el dodecaedro estrellado pequeño y el dodecaedro estrellado grande .
También construyó las formas estrelladas del octaedro regular y obtuvo el octaedro estrellado , un compuesto regular de dos tetraedros (Kepler le dio el nombre en latín stella octangula ).
Al formar una forma de estrella de un polígono regular, se obtiene un polígono regular en estrella o un compuesto de polígonos regulares. Estos polígonos están definidos por un número m , que es el número de veces que el borde se envuelve alrededor del centro de la forma. Al igual que con todos los polígonos regulares, los vértices de las formas de estrella se encuentran en un círculo. El número m corresponde a la cantidad de vértices que se deben pasar a lo largo del círculo para pasar de un vértice de borde a otro (a partir de 1).
Un polígono estrellado regular está representado por el símbolo de Schläfli { n/m }, donde n es el número de vértices y m es el paso utilizado para conectar los vértices, m y n son coprimos (es decir, no tienen un divisor común ). Si tomamos m = 1, obtenemos un polígono convexo { n }.
Si n y m tienen un divisor común, obtenemos un compuesto de polígonos regulares. Por ejemplo, {6/2} es un compuesto de dos triángulos {3} o un hexagrama , y {10/4} es un compuesto de dos pentagramas {5/2}.
Algunos autores utilizan el símbolo de Schläfli para tales compuestos. Otros prefieren usar un símbolo que represente un solo camino que envuelve m veces alrededor de n/m vértices, de modo que un borde se superponga a otro y cada vértice se visite m veces. En este caso, se puede usar un símbolo modificado para conectar, por ejemplo, 2{3} para un hexagrama y 2{5/2} para conectar dos pentagramas regulares.
Un n -gon regular tiene ( n -4)/2 formas de estrella si n es par y ( n -3)/2 formas de estrella si n es impar.
El pentagrama , {5/2}, es el único pentágono en forma de estrella |
El hexagrama , {6/2}, es un hexágono en forma de estrella y un compuesto de dos triángulos. |
El pentágono {9} tiene 3 formas de eneagrama : {9/2}, {9/3}, {9/4}, donde {9/3} es un compuesto de 3 triángulos. |
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Al igual que el heptágono , el octágono también tiene dos formas de estrella de octagrama , una, {8/3}, es un polígono de estrella , y la otra, {8/2}, es un compuesto de dos cuadrados .
La forma de estrella de un poliedro se forma alargando las aristas y las caras hasta que se cruzan y forman un nuevo poliedro o conexión. El interior del nuevo poliedro está dividido por sus caras en un cierto número de celdas. Las caras planas del poliedro pueden dividir el espacio en una gran cantidad de celdas de este tipo, y continuar con el proceso de expansión puede capturar más celdas. Para los poliedros simétricos, estas celdas se dividen en grupos (conjuntos) de celdas congruentes. Decimos que las celdas en tales conjuntos congruentes son del mismo tipo. Un método común para encontrar formas de estrellas es seleccionar uno o más tipos de celdas.
Este enfoque puede dar lugar a una gran cantidad de formas posibles, por lo que se utilizan criterios adicionales para reducir la cantidad de estas formas de estrellas.
El conjunto de células que forman un plano cerrado alrededor del núcleo se denomina capa (capa). Para poliedros simétricos, el caparazón puede consistir en uno o más tipos de celdas.
Con base en esta idea, se pueden considerar algunas categorías limitantes.
Podemos definir algunas otras categorías:
Los sólidos de Arquímedes y sus duales también se pueden reducir a una forma de estrella. Usualmente, en este caso, se agrega una regla de que todos los planos originales de las caras deben participar en la construcción de la forma, es decir, no se permiten formas parcialmente estrelladas. Por ejemplo, el cubo no suele considerarse una estelación del cuboctaedro .
Generalizando las reglas de Miller, obtenemos:
Diecisiete poliedros uniformes no convexos son formas estrelladas de sólidos de Arquímedes.
En Los cincuenta y nueve icosaedros, Miller propuso un conjunto de reglas para determinar qué estelaciones deberían considerarse "suficientemente significativas y distintas".
Estas reglas se han adaptado para obtener formas de estrella para cualquier poliedro. Usando las reglas de Miller, encontramos:
Muchas "estelaciones de Miller" no se pueden obtener directamente utilizando el método de Kepler. Por ejemplo, muchos tienen centros vacíos, donde las caras y las aristas del poliedro original están completamente ausentes; no hay nada desde donde empezar. Por otro lado, el método de Kepler produce estelaciones completamente prohibidas por las reglas de Miller, ya que sus celdas están conectadas por vértices o aristas, incluso si sus caras son simples polígonos. Esta distinción no atrajo atención explícita hasta el artículo de Inchbald [1] .
Las reglas de Miller no implican ninguna forma "correcta" de numerar estelaciones. Las reglas se basan en combinar partes dentro de un diagrama de estrella de cierta manera y no tienen en cuenta la topología de las caras resultantes. Como resultado, existen estelaciones bien fundadas del icosaedro que no están incluidas en la lista de Coxeter. Un poliedro fue descubierto por James Bridge en 1974 [2] . Por otro lado, surge la pregunta de si algunas de las "estelaciones de Miller" son estelaciones en absoluto: una de las formas incluye algunas celdas completamente separadas que flotan simétricamente en el espacio.
Aún no se ha desarrollado completamente un conjunto alternativo de reglas que acepte todos estos puntos. El mayor avance se produjo cuando se observó que la formación estelar es el proceso inverso (dual) al facetado , en el que se eliminan partes del poliedro sin crear nuevos vértices. Para cualquier estelación de algún poliedro, existe una faceta dual del poliedro dual , y viceversa. Al estudiar las facetas del poliedro dual, obtenemos una comprensión de las formas de estrella del poliedro original. Bridge encontró su icosaedro estrellado estudiando los cortes de su dodecaedro dual.
Algunos matemáticos que estudian los poliedros tienen en cuenta que la formación de formas estelares es un proceso bidireccional, de modo que dos poliedros cualesquiera que tengan el mismo conjunto de planos frontales son formas estelares entre sí. Tal entendimiento es aceptable si uno está desarrollando un algoritmo general para un programa de computadora, pero es de poca utilidad en otros casos.
Se pueden encontrar muchos ejemplos de formas de estrellas en el artículo Lista de modelos de poliedros de Wenninger .
El proceso de estelación también se puede aplicar a poliedros en espacios de dimensiones superiores. El diagrama de estrella de un poliedro n-dimensional está ubicado en el hiperplano (n-1)-dimensional de una faceta dada (una cara que tiene una dimensión 1 menor que la dimensión del espacio).
Por ejemplo, en el espacio de 4 dimensiones, la gran gran celda estrellada de 120 es la etapa final en la formación de estelaciones de la celda 120 regular de cuatro dimensiones .
El primer intento de dar nombres sistemáticos a poliedros estrellados regulares fue realizado por Cayley (ahora conocido como sólidos de Kepler-Poinsot ). Este sistema ha sido ampliamente, pero no siempre consistentemente, adaptado a otros poliedros en 3D y más allá.
Conway desarrolló una terminología para polígonos de estrella, poliedros de 3 y 4 dimensiones [3] .
Wenninger notó que algunos poliedros, como el cubo, no tienen forma de estrella. Sin embargo, las celdas para la formación de formas estelares pueden construirse como prismas que van al infinito. Las figuras que incluyen tales prismas son semipoliedros. Según la mayoría de las definiciones de poliedros, estas estelaciones no son, estrictamente hablando, poliedros.
Junto con su contribución a las matemáticas, se escribe sobre Magnus Wenninger en el contexto de la conexión entre las matemáticas y el arte como una persona que hizo modelos "particularmente hermosos" de poliedros estrellados complejos [4]
El artista renacentista italiano Paolo Uccello creó un piso de mosaico que representaba un pequeño dodecaedro estrellado en la basílica de San Marcos en Venecia (alrededor de 1430). Esta imagen de Uccello se utilizó como símbolo de la Bienal de Venecia de 1986 (el tema es "Arte y ciencia" [5] ) . La misma forma de estrella es el centro de dos litografías de Escher - Contrast (Order and Chaos) , 1950 y Gravedad , 1952 [6] .