Cuadrado
| Cuadrado | |
|---|---|
| Cuadrado con lado y diagonal | |
| costillas | cuatro |
| Símbolo Schläfli | {cuatro} |
| tipo de simetría | Grupo diedro (D 4 ) |
| Cuadrado | un 2 |
| Esquina interior | 90° |
| Propiedades | |
| Polígono convexo , Figura isogonal , Figura isotoxal | |
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Cuadrado (del lat. quadratus , cuadrangular [1] ) - cuadrilátero regular , es decir, un cuadrilátero plano , en el que todos los ángulos y todos los lados son iguales. Cada esquina del cuadrado es una línea recta [2] .
Variantes de definición
Un cuadrado se puede caracterizar de forma única de muchas maneras [3] [4] .
- Una figura geométrica que es a la vez un rectángulo y un rombo .
- Un rectángulo con dos lados adyacentes de igual longitud.
- Rectángulo cuyas diagonales se cortan en ángulo recto .
- Un rombo cuyas diagonales son iguales.
- Un rombo cuyos dos ángulos adyacentes son iguales.
- Un rombo, uno de cuyos ángulos es un ángulo recto (los demás ángulos, como es fácil de probar, son también ángulos rectos).
- Paralelogramo , en el que las longitudes de dos lados adyacentes son iguales y el ángulo entre ellos es recto.
- Un paralelogramo cuyas diagonales son iguales y el ángulo entre ellas es recto.
- Deltoides , cuyos ángulos son todos rectos.
Propiedades
Más adelante en esta sección , denota la longitud del lado del cuadrado , - la longitud de la diagonal , - el radio del círculo circunscrito , - el radio del círculo inscrito .
El perímetro de un cuadrado es:
.
Las diagonales del cuadrado son iguales, mutuamente perpendiculares, bisecan el punto de intersección y bisecan las esquinas del cuadrado (en otras palabras, son las bisectrices de las esquinas internas del cuadrado). La longitud de cada diagonal
Círculos inscritos y circunscritos
El centro de las circunferencias circunscrita e inscrita de un cuadrado coincide con el punto de intersección de sus diagonales.
El radio de la circunferencia inscrita de un cuadrado es la mitad del lado del cuadrado:
El radio de la circunferencia circunscrita a un cuadrado es igual a la mitad de la diagonal del cuadrado:
De estas fórmulas se deduce que el área de la circunferencia circunscrita es el doble del área de la inscrita.
Área
- área cuadrada
-
Conectando los puntos medios de los lados del cuadrado, obtenemos un cuadrado de la mitad del área
el area del cuadrado es
.
A partir de la fórmula que relaciona el lado de un cuadrado con su área, queda claro por qué elevar un número a la segunda potencia se denomina tradicionalmente " elevar al cuadrado ", y los resultados de tal elevación al cuadrado se denominan " números cuadrados " o simplemente cuadrados . De manera similar , la segunda raíz se llama raíz cuadrada .
El cuadrado tiene dos propiedades notables [5] .
- De todos los cuadriláteros con un perímetro dado, un cuadrado tiene el área más grande.
- De todos los cuadriláteros con un área dada, el cuadrado tiene el perímetro más pequeño .
La ecuación cuadrada
En un sistema de coordenadas rectangulares, la ecuación de un cuadrado con centro en un punto y diagonales paralelas a los ejes de coordenadas (ver figura) se puede escribir como [6] :
donde es el radio del círculo circunscrito , igual a la mitad de la longitud de la diagonal del cuadrado. El lado del cuadrado es entonces su diagonal es y el área del cuadrado es
La ecuación de un cuadrado con centro en el origen y lados paralelos a los ejes de coordenadas (ver figura) se puede representar en una de las siguientes formas:
- (se obtiene fácilmente aplicando una rotación de 45° a la ecuación anterior)
- (en coordenadas polares [7] )
Problemas matemáticos
Hay una serie de problemas asociados con los cuadrados, algunos de los cuales aún no tienen solución.
- La cuadratura de un círculo es un antiguo problema de construir un cuadrado con un compás y una regla que sea igual en área a un círculo dado . En 1882, Ferdinand Lindemann demostró que esto era imposible.
- El cuadrado al cuadrado es el problema de dividir un cuadrado en un número finito de cuadrados más pequeños, sin "agujeros", y las longitudes de los lados de los cuadrados deben diferir entre sí (idealmente, todos deben ser diferentes). Se han encontrado varias soluciones a este problema.
- Durante mucho tiempo, los matemáticos intentaron demostrar que una transformación continua de un segmento de línea en un cuadrado es imposible, hasta que Giuseppe Peano construyó su contraejemplo .
- Conjetura de Toeplitz : En cualquier curva de Jordan plana cerrada , se pueden encontrar cuatro puntos que forman los vértices de un cuadrado. Ni probado ni refutado.
- La partición de un cuadrado por una cuadrícula de cuadrados idénticos más pequeños también conduce a muchos problemas, utilizados en particular en la teoría de los cuadrados latinos y greco-latinos, cuadrados mágicos , en el juego de Sudoku .
Simetría
El cuadrado tiene la mayor simetría axial entre todos los cuadriláteros. Él tiene:
- un eje de simetría de cuarto orden : un eje perpendicular al plano del cuadrado y que pasa por su centro;
- cuatro ejes de simetría de segundo orden (es decir, con respecto a ellos, el cuadrado se refleja en sí mismo), de los cuales dos corren a lo largo de las diagonales del cuadrado, y los otros dos corren paralelos a los lados.
Aplicación
En matemáticas
El cuadrado de la unidad se utiliza como estándar para la unidad de área , así como para determinar el área de figuras planas arbitrarias . Las figuras para las que se puede determinar el área se llaman cuadratura .
El teorema de Pitágoras se formuló originalmente de forma geométrica: el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos .
Los cuadrados son las caras del cubo , uno de los cinco poliedros regulares .
En física matemática , un cuadrado puede significar el " operador d'Alembert " (dalamberiano), un operador diferencial de segundo orden :
Del teorema de Bolyai-Gervin se deduce que todo polígono está equiconstituido con un cuadrado, es decir, puede dividirse en un número finito de partes que forman un cuadrado (y viceversa) [8] .
Gráficas: Una gráfica completa K 4 a menudo se representa como un cuadrado con seis aristas.
3- símplex (3D) |
Adornos y parquets
- Mosaicos incluyendo cuadrados
Los mosaicos, adornos y parquets que contienen cuadrados están muy extendidos.
Otros usos
El tablero de ajedrez tiene forma de cuadrado y está dividido en 64 cuadrados de dos colores. El tablero cuadrado para damas internacionales se divide en 100 cuadrados de dos colores. La forma cuadrada tiene un ring de boxeo , un cuadrado para jugar al cuadrado .
La bandera cuadrada de Lima se divide en dos cuadrados negros y dos amarillos, cuando se iza en un barco en el puerto , significa que el barco está en cuarentena .
Gráficos
Una serie de símbolos tienen la forma de un cuadrado.
- Caracteres Unicode U+25A0 - U+25CF
- U+20DE ◌⃞ CUADRADO CIRCUNDANTE COMBINADO
- ロ ( carácter japonés "Ro" (katakana) )
- 口 ( carácter chino para "boca" )
- 囗 ( carácter chino para "valla" )
En Latex\Box , las construcciones o se utilizan para insertar un símbolo cuadrado \square.
En HTML , para encerrar texto arbitrario en un cuadrado o rectángulo, puede usar la construcción:
- <span style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">text</span>; resultado: texto .
Variaciones y generalizaciones
Espacio multidimensional
El cuadrado se puede considerar como un hipercubo bidimensional .
Geometría no euclidiana
En geometría no euclidiana, un cuadrado (en un sentido más amplio) es un polígono con cuatro lados iguales y ángulos iguales. Por la magnitud de estos ángulos, uno puede juzgar la curvatura del plano: en la geometría euclidiana y solo en ella los ángulos son rectos, en la geometría esférica los ángulos de un cuadrado esférico son mayores que un ángulo recto, en la geometría de Lobachevsky , menos.
Véase también
- Algoritmo "cuadrados en movimiento"
- Plaza de Polibio
- matriz cuadrada
- cuadratriz
- Área de un cuadrilátero arbitrario
- El primer teorema de Thebo
Notas
- ↑ Square // Diccionario enciclopédico soviético. - 2ª ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1982. - S. 561. - 1600 p.
- ↑ Square // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 3. - S. 776. - 1184 p.
- ↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales. - M. : AST, 2006. - 509 p. — ISBN 5-17-009554-6 .
- ↑ 1 2 Kaplun, 2014 , pág. 171-173.
- ↑ Ponarin Ya. P. Geometría elemental: En 2 volúmenes - Vol. 1: Planimetría, transformaciones de plano. - M. : MTSNMO, 2004. - S. 117, 119. - 312 p. — ISBN 5-94057-171-9 .
- ↑ Ecuación de un cuadrado en coordenadas cartesianas . Consultado el 9 de noviembre de 2021. Archivado desde el original el 9 de noviembre de 2021.
- ↑ ¿Cuál es la ecuación polar de un cuadrado, si la hay?
- ↑ El tercer problema de Boltyansky V. G. Hilbert . — M .: Nauka, 1977. — 208 p.
Literatura
- Kaplun A. I. Matemáticas, libro de referencia educativo y práctico. — Rostov n/d. : LLC "Phoenix", 2014. - 240 p. - ISBN 978-5-222-20926-3 .
Enlaces
- Cuadrado, figura geométrica // Diccionario Enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
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