Brecha (matemáticas)

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 20 de diciembre de 2021; las comprobaciones requieren 4 ediciones .

El intervalo [1] , o, más precisamente, el intervalo de la recta numérica , es el conjunto de los números reales , tal que si dos números pertenecen a este conjunto, cualquier número que se encuentre entre ellos también pertenece a este conjunto [2] . Usando símbolos lógicos, esta definición se puede escribir de la siguiente manera:

un conjunto es un intervalo sólo si

X\subseteq \mathbb {R}

\forall x\forall y\forall z{\big (}(x\in X)\wedge (z\in X)\wedge (x<y<z)\Rightarrow y\in X{\big ) },

donde es el cuantificador universal . Los siguientes conjuntos son ejemplos de lagunas: $\para todos$

{\begin{alineado}X_{1}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x\leqslant 1\},&X_{2}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x<1\},&X_{3}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x\leqslant 1\},\\X_{4}&=\ {x\en \mathbb {R} \dos puntos 0<x<1\},&X_{5}&=\{x\en \mathbb {R} \dos puntos x>0\},&X_{6}&=\ {x\in \mathbb {R} \colon x<1\},\\X_{7}&=\mathbb {R} ,&X_{8}&=\varnada .\end{alineado}}

Tipos de huecos

Tramo final

El intervalo finito consiste en un conjunto de números encerrados entre dos números y - los extremos del intervalo , que a su vez pueden estar incluidos en su composición, o no [1] . Si a ≤ b , entonces la longitud de dicho intervalo se denomina número . $a$ $b$ $|ab|=|ba|=ba$

Intervalo finito cerrado (Cerrado)

Si , entonces el intervalo se llama segmento [3] o segmento numérico y se denota por : $a \leqslant b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\))$ $[a,b]$

[a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}.

En caso de que el segmento degenere en un conjunto de un punto (en un singleton ). $a=b$

Brecha final abierta

Si , entonces el intervalo se llama intervalo y se denota por : $a < b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ $\{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}$ $(a,b)$

(a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}.

Para designar un espacio abierto, a menudo usan la designación por sugerencia de N. Bourbaki . $(a,b)$ ${\ estilo de visualización] a, b [}$

Espacio finito semicerrado (semiabierto)

brechas

[a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\},\quad (a, b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}

se denominan semisegmentos (sin relleno a un segmento) o semiintervalos .

Brecha infinita

brechas infinitas

\{x\in \mathbb {R} \colon x\geqslant a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},\quad \{x\in \ mathbb {R} \colon x\leqslant b\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x<b\}\quad

\quad \mathbb {R}

en el lado positivo o negativo no se limitan a ningún número real. En este caso, es conveniente suponer que estos intervalos tienen números impropios y como uno de los extremos o ambos extremos , suponiendo que la relación es cierta para cualquier número real . Las designaciones y nombres de los intervalos infinitos son similares a los nombres que tienen para los intervalos finitos. Por ejemplo, los conjuntos anteriores se pueden reescribir en consecuencia como $-\infty$ $+\infty$ $x \en \mathbb{R}$ $-\infty <x<+\infty$

[a,+\infty ),\quad (a,+\infty ),\quad (-\infty ,b],\quad (-\infty ,b),\quad (-\infty ,+\ infinito),

Además, debido al hecho de que y , por definición, no están incluidos en estos conjuntos, no están incluidos en estos conjuntos. $-\infty$ $+\infty$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R},}$

Espacio vacío

El conjunto vacío también es un intervalo, cayendo trivialmente bajo su definición: $\varnada$

[b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnada,

donde a < b .

Intervalos de la recta numérica afínmente extendida

El conjunto de números reales , complementado por los elementos y , se llama línea real extendida (más precisamente, extendida afínmente , para distinguirla de la línea recta extendida proyectivamente ) y se denota , es decir $\matemáticas {R}$ $+\infty$ $-\infty$ $\overline{\mathbb{R}}$

{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty,+\infty \}=[-\infty,+\infty]

Además, para cualquier número real , por definición, las desigualdades $x \en \mathbb{R}$

-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty

Para la recta numérica extendida, también se introducen los conceptos de intervalos: segmentos, intervalos, semiintervalos [1] . A diferencia de los intervalos correspondientes de la recta numérica, pueden contener elementos . Por ejemplo, . $\pm \infty$ $(a, +\infty] = (a, +\infty) \cup {\{+\infty\))$

Terminología

En ruso, las palabras intervalo e intervalo corresponden a una palabra en inglés intervalo . En la literatura inglesa [4] y en las traducciones de libros extranjeros, así como en algunos otros libros en ruso, se utiliza la siguiente terminología :

{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\))

- intervalo cerrado ( intervalo cerrado en inglés ),

{\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\))

- intervalo abierto ( intervalo abierto en inglés ),

[a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\}

- intervalo semiabierto (o semicerrado) ( intervalo inglés semiabierto / intervalo semicerrado ),

{\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\))

- intervalo semiabierto (o semicerrado) ( inglés half-open interval / half-closed interval ).

Es decir, en tal terminología, todos se llaman intervalos , pero solo de un tipo diferente.

En la literatura más antigua en idioma ruso [5], en lugar de "intervalo", se usa la palabra intervalo : intervalo cerrado , intervalo abierto, intervalo medio abierto ( o semicerrado ) .

Sin embargo, especialmente en la literatura educativa, donde la mayor cantidad de teoremas para funciones en conjuntos compactos, es preferible usar un nombre separado para un intervalo cerrado en una palabra: segmento [3] (el término "segmento" tiene más de un geométrico connotación, como "un intervalo de una recta numérica"). En este caso, el término "intervalo" se asigna solo al espacio abierto.

Véase también conjuntos abiertos y cerrados .

Hechos

El teorema del valor intermedio

El conocido teorema de Bolzano-Cauchy sobre los valores intermedios de una función continua dice: la imagen de cualquier intervalo bajo una aplicación continua también es un intervalo. Este teorema tiene una generalización al caso de espacios topológicos arbitrarios : la imagen de un conjunto conexo bajo un mapeo continuo es conexa. Intervalos numéricos, y, además, solo ellos son solo subconjuntos conexos . $\matemáticas {R}$

Operaciones de intervalo

En la práctica, el intervalo suele caracterizar el rango de valores posibles ( aproximadamente ) del valor medido. Las operaciones aritméticas se pueden definir en el conjunto de tales intervalos. Luego, el resultado de los cálculos sobre cantidades se puede asociar con los cálculos correspondientes sobre sus intervalos, que finalmente determinan el intervalo de valores posibles para el resultado.

Medida

Los intervalos de la recta numérica, así como los rectángulos en el plano, los paralelepípedos rectangulares en el espacio, etc., son uno de los principales objetos en los que se basa la teoría de la medida , ya que son los conjuntos más simples cuya medida ( longitud , área , volumen , etc.) ) es fácil de determinar.

Generalizaciones

Conjuntos conectados

Una generalización del tramo de la línea real es la noción de un espacio topológico conectado . En la recta real, todo conjunto conexo es un hueco y viceversa, todo hueco es un conjunto conexo.

Además, el lapso de la recta numérica subyace a otra noción más especial de conexión lineal . En el conjunto de los números reales , así como en el espacio euclidiano de dimensión arbitraria , coinciden los conceptos de conexión y conexión lineal. $\matemáticas {R}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $norte$

Conjuntos convexos

Otra generalización de la noción de intervalo de una recta numérica es la noción de conjunto convexo .

Espacios en conjuntos parcialmente ordenados

En el caso más general, el concepto de intervalo se puede introducir en cualquier conjunto en el que se introduzca la relación de orden . $<$

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 Kudryavtsev, L. D. Curso de análisis matemático. - 5ª ed. - M. : "Avutarda empresarial", 2003. - T. 1. - S. 64-65. - 704 pág. - ISBN 5-7107-4119-1 .
↑ En varias fuentes se describe como un intervalo ; por ejemplo, consulte Intervalo // Kazajstán. Enciclopedia Nacional . - Almaty: Enciclopedias kazajas , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Ruso) (CC POR SA 3.0)
↑ 1 2 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Capítulo 2. Números Reales // Análisis Matemático / Ed. A. N. Tijonova . - 3ra ed. , revisado y adicional - M. : Prospekt, 2006. - T. I. - S. 53. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 . Archivado el 23 de junio de 2015 en Wayback Machine .
↑ Gelbaum, B., Olmsted, J. Contraejemplos en análisis = Contraejemplos en análisis. - M. : LKI, 2007. - S. 17-18. — 258 págs. — ISBN 978-5-382-00046-6 .
↑ Fikhtengolts, G. M. Fundamentos del análisis matemático. - 7ª ed. - M. : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - S. 35. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .

diccionarios y enciclopedias	gran noruego gran ruso