Hoja cartesiana

Una hoja cartesiana es una curva algebraica plana de tercer orden que satisface una ecuación en un sistema rectangular . El parámetro se define como la diagonal de un cuadrado cuyo lado es igual a la cuerda más grande del bucle. ${\ estilo de visualización x^{3}+y^{3}=3axy}$ ${\ estilo de visualización 3a}$

Historia

Por primera vez, la ecuación de la curva fue estudiada por R. Descartes en 1638 , pero construyó solo un bucle en el primer ángulo coordenado, donde y toma valores positivos. Descartes creía que el bucle se repite simétricamente en los cuatro cuartos coordinados, en forma de cuatro pétalos de flores. En ese momento, esta curva se llamaba flor de jazmín (en inglés jasmine flower , en francés fleur de jasmin ). $X$ $y$

En su forma moderna, esta curva fue introducida por primera vez por H. Huygens en 1692 .

Ecuaciones

En un sistema rectangular , por definición:

{\ estilo de visualización \ estilo de texto x ^ {3} + y ^ {3} = 3axy.}

En el sistema polar :

\rho ={\frac {3a\cos \varphi \sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi +\sin ^{3}\varphi )).

Ecuación paramétrica en un sistema rectangular:

{\begin{casos}x={\dfrac {3at}{1+t^{3}}}\\y={\dfrac {3at^{2}}{1+t^{3}} }\end{casos}}

, donde .

t=\operatorname {tg} \varphi

A menudo se considera girado en una curva. Sus ecuaciones se ven así: $135^{\circ}$

En un sistema rectangular:

{\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x})))

, dónde

l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}.

Paramétrico:

x=l{\frac {t^{2}-1}{3t^{2}+1)),\ y=l{\frac {t(t^{2}-1)}{3t ^{2}+1}}.

En coordenadas polares:

\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\ varphi +3\sin ^{2}\varphi\right)}}.

Derivación de las ecuaciones de la curva rotada
El sistema de coordenadas XOY se convierte al sistema de coordenadas UOV, que se obtiene girando un ángulo los ejes OX y OY en el sentido de las agujas del reloj y reorientando el eje OX en la dirección opuesta: ${\ estilo de visualización \ alfa = {\ frac {\ pi }{4}}}$ ${\begin{vmatrix}x\\y\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-u\\v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cos \alpha &-\ sin \alfa \\\sin \alfa &\cos \alfa \end{vmatriz}}$ Expresar las antiguas coordenadas XY en términos de los nuevos UV se ve así: $\textstyle x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha$ $\textstyle y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha$ , o $\textstyle x=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}-{\frac {v}{\sqrt {2}}}$ $\textstyle y=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}+{\frac {v}{\sqrt {2}}}$ , Después de sustituir las expresiones de las antiguas coordenadas por la nueva ecuación, la hoja cartesiana se convierte a la siguiente forma: $v^{2}={\frac {u^{2}}{3}}{\frac {3a+u{\sqrt {2}}}{au{\sqrt {2}}}}$ . Ingresamos el parámetro , la última ecuación se reescribirá de la siguiente manera: ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))$ $v^{2}=u^{2}{\frac {l+u}{l-3u))$ o ${\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {l+u}{l-3u})))$ . Reemplazamos las variables u y v con las habituales x e y y obtenemos la ecuación de la hoja cartesiana en el nuevo sistema de coordenadas: ${\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x})))$ Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación , obtenemos la ecuación de hoja cartesiana en el sistema de coordenadas polares: $x=\rho \cos \varphi ,\ y=\rho \sin \varphi$ ${\ Displaystyle \ rho \ sin \ varphi = \ rho \ cos \ varphi {\ sqrt {\ frac {t + \ rho \ cos \ varphi} {t-3 \ rho \ cos \ varphi}}}}$ . Resolviendo esta expresión con respecto a , obtenemos: $\rho$ $\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\ varphi +3\sin ^{2}\varphi\right)}}$ .

Derivación de las ecuaciones de la curva rotada

El sistema de coordenadas XOY se convierte al sistema de coordenadas UOV, que se obtiene girando un ángulo los ejes OX y OY en el sentido de las agujas del reloj y reorientando el eje OX en la dirección opuesta:

{\ estilo de visualización \ alfa = {\ frac {\ pi }{4}}}

{\begin{vmatrix}x\\y\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-u\\v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cos \alpha &-\ sin \alfa \\\sin \alfa &\cos \alfa \end{vmatriz}}

Expresar las antiguas coordenadas XY en términos de los nuevos UV se ve así:

\textstyle x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha

\textstyle y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha

, o

\textstyle x=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}-{\frac {v}{\sqrt {2}}}

\textstyle y=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}+{\frac {v}{\sqrt {2}}}

Después de sustituir las expresiones de las antiguas coordenadas por la nueva ecuación, la hoja cartesiana se convierte a la siguiente forma:

v^{2}={\frac {u^{2}}{3}}{\frac {3a+u{\sqrt {2}}}{au{\sqrt {2}}}}

Ingresamos el parámetro , la última ecuación se reescribirá de la siguiente manera: ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))$

v^{2}=u^{2}{\frac {l+u}{l-3u))

{\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {l+u}{l-3u})))

Reemplazamos las variables u y v con las habituales x e y y obtenemos la ecuación de la hoja cartesiana en el nuevo sistema de coordenadas:

{\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x})))

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación , obtenemos la ecuación de hoja cartesiana en el sistema de coordenadas polares: $x=\rho \cos \varphi ,\ y=\rho \sin \varphi$

{\ Displaystyle \ rho \ sin \ varphi = \ rho \ cos \ varphi {\ sqrt {\ frac {t + \ rho \ cos \ varphi} {t-3 \ rho \ cos \ varphi}}}}

Resolviendo esta expresión con respecto a , obtenemos: $\rho$

\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\ varphi +3\sin ^{2}\varphi\right)}}

Propiedades

La recta es el eje de simetría , su ecuación es: . $OA$ ${\ estilo de visualización y = x}$
El punto A se llama vértice , sus coordenadas son . $\left({\frac {3a}{2)),{\frac {3a}{2}}\right)$

Para ambas ramas existe una asíntota , su ecuación es: . ${\ estilo de visualización UV}$ ${\ estilo de visualización x+y+a=0}$

Derivación de la ecuación asíntota
Para una hoja cartesiana girada: cuando tenemos $y=0$ $x=0$ o , $\textstyle {\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0$ Considere el segundo caso: , es decir, , es decir, significa . ${\ estilo de visualización l+x=0}$ ${\ estilo de visualización x = -l}$ ${\displaystyle \textstyle x=-{\frac {3a}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \textstyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2))))$ La ecuación de la asíntota UV se determina a partir de la expresión: ${\ estilo de visualización l-3x = 0}$ , por lo tanto, . $\textstyle x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}$ Después de encender los ejes obtenemos la ecuación final ${\displaystyle -135^{\circ ))$ ${\ estilo de visualización x+y+a=0}$

Derivación de la ecuación asíntota

Para una hoja cartesiana girada:

cuando tenemos $y=0$

x=0

o ,

\textstyle {\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0

Considere el segundo caso: , es decir, , es decir, significa . ${\ estilo de visualización l+x=0}$ ${\ estilo de visualización x = -l}$ ${\displaystyle \textstyle x=-{\frac {3a}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \textstyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2))))$

La ecuación de la asíntota UV se determina a partir de la expresión:

{\ estilo de visualización l-3x = 0}

, por lo tanto, .

\textstyle x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}

Después de encender los ejes obtenemos la ecuación final ${\displaystyle -135^{\circ ))$

{\ estilo de visualización x+y+a=0}

El área del área entre los arcos y $COA$ $ABO$ $\textstyle S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$

Encontrar el área $S_{1}$
El área encerrada entre los arcos ACO y ABO se calcula de la siguiente manera: ${\ Displaystyle S_ {1}}$ ${\frac {1}{2}}S_{1}=-\int \limits _{-l}^{0}x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}} }\,dx$ , donde . ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))$ Esta integral se calcula usando la sustitución: $u=l-3x,\ l+x={\frac {4}{3}}l-{\frac {1}{3}}u,\ dx=-{\frac {1}{3 }}du$ . Límites de integración: $x=-l\Flecha derecha \;u=4l,\qquad x=0\Flecha derecha \;u=l$ La integral se transforma a la forma: ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}\left( lu\right){\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\,du$ o ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}l{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}u{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du$ La primera integral de esta ecuación es: ${\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}l{\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\ ,du$ . Sustitución: $u=v^{2},\qquad du=2vdv$ . Límites de integración: $u=4l\Rightarrow \;v=2{\sqrt {l)),\qquad u=l\Rightarrow \;v={\sqrt {l))$ . La integral se transforma a la forma: ${\frac {2l}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2{\sqrt {l))}^{\sqrt {l)){\sqrt {\left( 2{\sqrt {l}}\right)^{2}-v^{2}}}\,dv=$ $={\frac {2l}{\sqrt {3}}}\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2{\sqrt {t}}\right)^ {2}-v^{2}}}+{\frac {\left(2{\sqrt {l}}\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v} {2{\sqrt {l}}}}\right)\right]{\Bigg \|}_{2{\sqrt {l}}}^{\sqrt {l}}={\frac {l^{2 }}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}-{\frac {4}{3}}\pi \right]$ . Segunda integral: $-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}{\sqrt {4tu^{2}-u^{2))} \, du$ Sustitución: $u=v+2l,\qquad du=dv$ . Límites de integración: $u=4l\Rightarrow \;v=2t,\qquad u=l\Rightarrow \;v=-l$ . La integral se transforma a la forma: $-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2l}^{-l}{\sqrt {\left(2l\right)^{2}- v^{2}}}\,dv=$ $=-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2l\right)^{2} -v^{2}}}+{\frac {\left(2l\right)^{2}}{2}}\arcsen \left({\frac {v}{2l}}\right)\right] {\Bigg \|}_{2l}^{-l}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}}{ 2))+{\frac{4}{3}}\pi\right]$ . Asi que: ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}- {\frac {4}{3}}\pi \right]+{\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}} {2}}+{\frac{4}{3}}\pi\right]$ . el área es $S_{1}$ $S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac{3}{2}}a^{2}$ .

Encontrar el área

S_{1}

El área encerrada entre los arcos ACO y ABO se calcula de la siguiente manera:

{\ Displaystyle S_ {1}}

{\frac {1}{2}}S_{1}=-\int \limits _{-l}^{0}x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}} }\,dx

, donde .

{\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))

Esta integral se calcula usando la sustitución:

u=l-3x,\ l+x={\frac {4}{3}}l-{\frac {1}{3}}u,\ dx=-{\frac {1}{3 }}du

Límites de integración:

x=-l\Flecha derecha \;u=4l,\qquad x=0\Flecha derecha \;u=l

La integral se transforma a la forma:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}\left( lu\right){\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\,du

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}l{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}u{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du

La primera integral de esta ecuación es:

{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}l{\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\ ,du

Sustitución:

u=v^{2},\qquad du=2vdv

Límites de integración:

u=4l\Rightarrow \;v=2{\sqrt {l)),\qquad u=l\Rightarrow \;v={\sqrt {l))

La integral se transforma a la forma:

{\frac {2l}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2{\sqrt {l))}^{\sqrt {l)){\sqrt {\left( 2{\sqrt {l}}\right)^{2}-v^{2}}}\,dv=

={\frac {2l}{\sqrt {3}}}\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2{\sqrt {t}}\right)^ {2}-v^{2}}}+{\frac {\left(2{\sqrt {l}}\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v} {2{\sqrt {l}}}}\right)\right]{\Bigg |}_{2{\sqrt {l}}}^{\sqrt {l}}={\frac {l^{2 }}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}-{\frac {4}{3}}\pi \right]

Segunda integral:

-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}{\sqrt {4tu^{2}-u^{2))} \, du

Sustitución:

u=v+2l,\qquad du=dv

Límites de integración:

u=4l\Rightarrow \;v=2t,\qquad u=l\Rightarrow \;v=-l

La integral se transforma a la forma:

-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2l}^{-l}{\sqrt {\left(2l\right)^{2}- v^{2}}}\,dv=

=-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2l\right)^{2} -v^{2}}}+{\frac {\left(2l\right)^{2}}{2}}\arcsen \left({\frac {v}{2l}}\right)\right] {\Bigg |}_{2l}^{-l}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}}{ 2))+{\frac{4}{3}}\pi\right]

Asi que:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}- {\frac {4}{3}}\pi \right]+{\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}} {2}}+{\frac{4}{3}}\pi\right]

el área es $S_{1}$

S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac{3}{2}}a^{2}

El área de la región entre la asíntota y la curva es igual al área del bucle . $\textstyle S_{2}=S_{1}={\frac{3}{2}}a^{2}$

Encontrar el área $S_{2}$
El área entre las ramas de la curva y la asíntota UV se calcula exactamente de la misma manera que el área ; la integral se toma en el rango de 0 a . ${\ Displaystyle S_ {2}}$ ${\ Displaystyle S_ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto {\ frac {l} {3}}}$ ${\frac {1}{2}}S_{2}=\int \limits _{0}^{\frac {l}{3}}x{\sqrt {\frac {l+x}{ l-3x}}}\,dx$ Esta integral se calcula de la misma forma que en el caso anterior. $S_{2}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac{3}{2}}a^{2}$ , es decir, las áreas y son iguales entre sí. ${\ Displaystyle S_ {1}}$ ${\ Displaystyle S_ {2}}$

Encontrar el área

S_{2}

El área entre las ramas de la curva y la asíntota UV se calcula exactamente de la misma manera que el área ; la integral se toma en el rango de 0 a .

{\ Displaystyle S_ {2}}

{\ Displaystyle S_ {1}}

{\ estilo de visualización \ estilo de texto {\ frac {l} {3}}}

{\frac {1}{2}}S_{2}=\int \limits _{0}^{\frac {l}{3}}x{\sqrt {\frac {l+x}{ l-3x}}}\,dx

Esta integral se calcula de la misma forma que en el caso anterior.

S_{2}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac{3}{2}}a^{2}

, es decir, las áreas y son iguales entre sí.

{\ Displaystyle S_ {1}}

{\ Displaystyle S_ {2}}

El volumen del cuerpo formado por la rotación del arco alrededor del eje x $COA$ $\textstyle V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$

Encontrar el volumen de rotación
El volumen ( ) del cuerpo formado por la rotación del arco alrededor del eje de abscisas se calcula de la siguiente manera: $V_{1}$ $COA$ $V_{1}=\pi \int \limits _{-l}^{0}x^{2}{\frac {l+x}{l-3x}}\,dx=$ $=-{\frac {\pi }{3}}\int \limits _{-l}^{0}x^{2}\,dx-{\frac {4\pi l}{9} }\int \limits _{-l}^{0}x\,dx-{\frac {4\pi l^{2}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}\ ,dx+{\frac {4\pi l^{3}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}{\frac {dx}{l-3x}}\,=$ $={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$ . Asi que: $V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$ . El volumen ( ) del cuerpo formado por la rotación de una rama alrededor del eje x tiende a infinito. Este volumen se calcula a partir de la integral anterior en el rango de a . Esta integral es igual a infinito, es decir $V_{2}$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización {\ frac {t} {3}}}$ $V_{2}=\infty$ .

Encontrar el volumen de rotación

El volumen ( ) del cuerpo formado por la rotación del arco alrededor del eje de abscisas se calcula de la siguiente manera:

V_{1}

COA

V_{1}=\pi \int \limits _{-l}^{0}x^{2}{\frac {l+x}{l-3x}}\,dx=

=-{\frac {\pi }{3}}\int \limits _{-l}^{0}x^{2}\,dx-{\frac {4\pi l}{9} }\int \limits _{-l}^{0}x\,dx-{\frac {4\pi l^{2}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}\ ,dx+{\frac {4\pi l^{3}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}{\frac {dx}{l-3x}}\,=

={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)

Asi que:

V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)

El volumen ( ) del cuerpo formado por la rotación de una rama alrededor del eje x tiende a infinito. Este volumen se calcula a partir de la integral anterior en el rango de a . Esta integral es igual a infinito, es decir $V_{2}$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización {\ frac {t} {3}}}$

V_{2}=\infty

Estudio de curvas

Cuando tenemos o , o , eso es . ${\ estilo de visualización y = 0}$ $x=0$ ${\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0$ ${\displaystyle l+x=0\Rightarrow x=-l\Rightarrow x=-{\frac {3a}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2))))$

La ecuación de la asíntota UV se determina a partir de la expresión:

l-3x=0\Rightarrow x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}

Derivado

Para encontrar el valor máximo de la función y la ecuación tangente, calculamos la derivada de la función:

y'=\left(x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x))}\right)'

{\displaystyle y'={\frac {2lx}{\left(l-3x\right)\left({\sqrt {l-3x}}{\sqrt {l+x}}\right)))+{ \sqrt {\frac {l+x}{l-3x))))

Iguale la derivada y' a cero y resuelva la ecuación resultante para x. Obtenemos: . Para este valor de x, la función (2) tiene un máximo en el punto del arco superior y un mínimo en el punto del arco inferior . El valor de la función en estos puntos es: ${\displaystyle x=-{\frac {l}{\sqrt {3))))$ $COA$ $C$ $ABO$ $B$

y\left(-{\frac {l}{\sqrt {3}}}\right)=\pm {\frac {l}{\sqrt {3}}}{\sqrt {\frac {3 } -{\raíz cuadrada {3}}}{{\raíz cuadrada {3}}+1}}}

El valor de la derivada y' en el punto es , es decir, las tangentes en el punto son mutuamente perpendiculares e inclinadas al eje x en un ángulo . $O$ $\pm 1$ $O$ ${\ estilo de visualización \ pm {\ frac {\ pi} {4}}}$

Véase también

Descartes ovalados

Enlaces

D. K. Bobylev . Hoja cartesiana // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio