Convolución (análisis matemático)

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Convolución , convolución es una operación en análisis funcional , que, cuando se aplica a dos funciones y devuelve una tercera función correspondiente a la función de correlación cruzada y . La operación de convolución se puede interpretar como la "similitud" de una función con una copia reflejada y desplazada de otra. El concepto de convolución se generaliza para funciones definidas en espacios medibles arbitrarios , y puede considerarse como un tipo especial de transformación integral . En el caso discreto , la convolución corresponde a la suma de valores con coeficientes correspondientes a los valores desplazados , es decir $F$ $gramo$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización g (-x)}$ $F$ $gramo$ ${\ estilo de visualización (f * g) (x) = f (1) g (x-1) + f (2) g (x-2) + f (3) g (x-3) + \ puntos}$

Definición

Sean dos funciones integrables con respecto a la medida de Lebesgue en el espacio . Entonces su convolución es la función definida por la fórmula $f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $f*g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

{\ estilo de visualización (f * g) (x) \ }

{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\,g(xy)\,dy=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(xy)\,g(y)\,dy.

En particular, para , la fórmula toma la forma $n=1$

{\ estilo de visualización (f * g) (x) \ }

\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(y)\, g(xy)\, dy = \int \limits_{-\infty} ^{\infty} f(xy)\, g(y)\, dy.

La convolución está definida para casi todos y es integrable. ${\ estilo de visualización (f * g) (x)}$ $x\in {\mathbb {R} ^{n))$

En el caso de que las funciones y estén definidas en el intervalo , la convolución se puede escribir como $x\in \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización f (x), ~ g (x)}$ ${\ estilo de visualización [0, + \ infinito)}$

{\ estilo de visualización (f * g) (x) \ }

{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{0}^{x}f(y)\,g(xy)\,dy=\int \limits_{ 0}^{x}f(xy)\,g(y)\,dy.

Por primera vez, las integrales, que son una convolución de dos funciones, se encuentran en los trabajos de Leonhard Euler (década de 1760); más tarde, la convolución aparece en Laplace , Lacroix , Fourier , Cauchy , Poisson y otros matemáticos. La designación de la convolución de funciones mediante un asterisco fue propuesta por primera vez por Vito Volterra en 1912 en sus conferencias en la Sorbona (publicadas un año después) [1] .

Propiedades

Conmutatividad :

{\ estilo de visualización f*g=g*f}

Asociatividad :

{\ estilo de visualización f*(g*h)=(f*g)*h}

Linealidad ( distributividad con respecto a la suma y asociatividad con la multiplicación por un escalar ):

{\ estilo de visualización (f_{1}+f_{2})*g=f_{1}*g+f_{2}*g}

{\displaystyle f*(g_{1}+g_{2})=f*g_{1}+f*g_{2))

(af)*g=a(f*g)=f*(ag),\quad \forall a\in \mathbb {R}

Regla de diferenciación:

\mathrm {D} (f*g)=\mathrm {D} f*g=f*\mathrm {D} g

donde denota la derivada de una función con respecto a cualquier variable. $\mathrm{D}f$ $F$

Transformada de Laplace :

{\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{ g(x)\}

Propiedad de la transformada de Fourier :

{\mathfrak {F}}[f*g]={\mathfrak {F}}[f]\cdot {\mathfrak {F}}[g]

donde denota la transformada de Fourier de la función. ${\mathfrak{F}}[]$

Si es una matriz transformada de Fourier discreta , entonces: ${\mathcal {W}}$

{\mathcal {W}}(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y)=({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\ mathcal {W}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2) }y

donde es el símbolo del producto final de matrices [2] [3] [4] [5] [6] , denota el producto de Kronecker , es el símbolo del producto de Hadamard (la identidad es una consecuencia de las propiedades de la referencia boceto [7] ). ${\ estilo de visualización \ bala}$ ${\ estilo de visualización \ a veces}$ ${\ estilo de visualización \ círculo}$

Ejemplo

Deje que la tarea sea calcular cómo cambiará la cantidad de nieve en cualquier pedazo de tierra dependiendo del tiempo. La solución a este problema se puede dividir en dos etapas:

construir un modelo de nevadas y un modelo de deshielo.
de alguna manera combinar estos dos modelos en uno.

Las tareas de la primera etapa se resuelven mediante observaciones y experimentos, y las tareas de la segunda etapa se resuelven mediante convolución de los modelos obtenidos en la primera etapa.

Deje que, como resultado de resolver el problema en la primera etapa, se construyeron dos dependencias (modelos matemáticos):

dependencia de la cantidad de nieve en la hora actual , ${\displaystyle {\color {Rojo}g(t)))$
dependencia de la proporción de nieve sin derretir del tiempo transcurrido desde su caída . ${\displaystyle {\color {Azul}f(\tau )))$

Si la nieve no comenzara a derretirse, la cantidad de toda la precipitación podría calcularse sumando en el caso discreto: $GRAMO$

G=\sum_{t=0}^{T}g(t)

o por integración en el caso de continuos:

G=\int \limits _{0}^{T}g(t)\,dt

Pero en este caso, la nieve se derrite y, además, depende no solo de la cantidad total actual de nieve, sino también de en qué momento cayó esta cantidad particular de nieve. Entonces, la nieve que cayó hace dos semanas puede que ya se haya evaporado, mientras que la nieve que cayó hace media hora todavía estará y ni siquiera comenzará a descongelarse.

Resulta que para la nieve que cayó en diferentes momentos, necesitas construir tu propio modelo de derretimiento y de alguna manera sumar todos estos modelos.

Para estos fines, se puede utilizar el concepto de convolución matemática. Supongamos que en el momento del tiempo se considera la nieve que cayó en el momento del tiempo , entonces $t$ $\tau$

$\tau$ - la época de nevadas. Por ejemplo, 13:00;
${\ Displaystyle {\ color {Rojo} g (\ tau)))$ - la cantidad de nieve que ha caído en este momento. Por ejemplo, 7 kg; ${\ Displaystyle {\ tau}}$
$t$ es el punto en el tiempo para el que necesitamos saber el estado de las nevadas. Por ejemplo, 15:00; $\tau$
$t-\tau$ - la cantidad de tiempo transcurrido desde el momento de la precipitación hasta el cálculo de la proporción restante de nieve. Es decir, 15:00 − 13:00 ;
${\displaystyle {\color {Azul}f(t-\tau )))$ - la proporción de nieve que no se ha derretido después de permanecer durante horas. $t-\tau$

Es necesario por cada cantidad de nieve que ha caído en el tiempo t para sumar el conjunto de modelos en una sola función. Si hacemos esto, obtenemos la suma en el caso discreto: ${\ Displaystyle {\ color {Rojo} g (\ tau)))$ $\tau$ ${\ Displaystyle f (t-\ tau)}$

w(t)=\sum \limits_{\tau =0}^{t}g(\tau)f(t-\tau),

o integral en continuo:

w(t)=\int \limits _{\tau =0}^{t}g(\tau )f(t-\tau )d\tau .

Gráficamente, la función se muestra a continuación, donde las contribuciones de cada montón de nieve del gráfico se representan en diferentes colores . $w(t)$ ${\displaystyle {\color {Rojo}g(x)))$

La función simula completamente el comportamiento de la nieve que cae según el modelo . Entonces, en el gráfico anterior, puede ver que la cantidad total de nieve aumenta en tres saltos, pero la nieve comienza a derretirse de inmediato, sin esperar a que caigan otras precipitaciones. $w(t)$ ${\displaystyle {\color {Rojo}g(x)))$

Convolución en grupos

Sea un conjunto dotado de medida , y sean dos funciones definidas sobre . Entonces su convolución es la función $GRAMO$ $metro$ $f,g:G \a \mathbb{R}$ $GRAMO$

(f*g)(x)=\int \limits _{G}f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x\en G.

Medidas acumuladas

Sea un espacio de Borel y dos medidas . Entonces su convolución es la medida $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ $\mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \a \mathbb{R}$

\mu *\nu (A)=\mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x+y\in A\}\ derecha),\quad \forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),

donde denota el producto de medidas y . $\mu \otimes \nu$ $\mu$ $\nu$

Propiedades

Sea absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue . Denotamos sus derivados Radon-Nikodim : $\mu,\nu$ $metro$

f_{\mu }={\frac {d\mu }{dm)),\quad f_{\nu }={\frac {d\nu }{dm)).

Entonces también es absolutamente continua con respecto a , y su derivada Radon-Nikodim tiene la forma $\mu * \nu$ $metro$ $f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm}$

f_{\mu *\nu }=f_{\mu }*f_{\nu }.

Si son medidas de probabilidad , entonces también es una medida de probabilidad. $\mu,\nu$ $\mu * \nu$

Convolución de distribuciones

Si son distribuciones de dos variables aleatorias independientes y , entonces $\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y$ $X$ $Y$

\mathbb {P} ^{X+Y}=\mathbb {P} ^{X}*\mathbb {P} ^{Y},

donde es la distribución de la suma . En particular, si son absolutamente continuas y tienen densidades , entonces la variable aleatoria también es absolutamente continua y su densidad tiene la forma: $\mathbb{P}^{X+Y}$ $X+Y$ $X,Y$ $f_X,f_Y$ $X+Y$

f_{X+Y}=f_{X}*f_{Y}.

Véase también

Notas

↑ Domínguez A. Una historia de la operación de convolución // IEEE Pulse. - 2015. - Vol. 6, núm. 1.- Pág. 38-49. Archivado desde el original el 3 de febrero de 2016.
↑ Slyusar, VI (27 de diciembre de 1996). “Productos finales en matrices en aplicaciones de radar” (PDF) . Sistemas de Radioelectrónica y Comunicaciones.– 1998, vol. 41; Número 3 : 50-53. Archivado (PDF) desde el original el 27 de julio de 2020 . Consultado el 01-08-2020 . Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )
↑ Slyusar, VI (20 de mayo de 1997). "Modelo analítico del conjunto de antenas digitales sobre la base de productos de matriz de división de caras" (PDF) . proc. ICATT-97, Kiev : 108-109. Archivado (PDF) desde el original el 25 de enero de 2020 . Consultado el 01-08-2020 . Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )
↑ Slyusar, VI (15 de septiembre de 1997). “Nuevas operaciones de producto de matrices para aplicaciones de radares” (PDF) . proc. Problemas directos e inversos de la teoría de ondas electromagnéticas y acústicas (DIPED-97), Lviv. : 73-74. Archivado (PDF) desde el original el 25 de enero de 2020 . Consultado el 01-08-2020 . Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )
↑ Slyusar, VI (13 de marzo de 1998). “Una Familia de Productos de Rostro de Matrices y sus Propiedades” (PDF) . Cibernética y Análisis de Sistemas C/C de Cybernetika I Sistemnyi Analiz.- 1999 . 35 (3): 379-384. DOI : 10.1007/BF02733426 . Archivado (PDF) desde el original el 25 de enero de 2020 . Consultado el 01-08-2020 . Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )
↑ Slyusar, VI (2003). "Productos faciales generalizados de matrices en modelos de conjuntos de antenas digitales con canales no idénticos" (PDF) . Sistemas de Radioelectrónica y Comunicaciones . 46 (10): 9-17. Archivado (PDF) desde el original el 20 de septiembre de 2020 . Consultado el 01-08-2020 . Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )
↑ Ninh, Pham; Rasmus, Pagh (2013). Núcleos polinómicos rápidos y escalables a través de mapas de características explícitos . Conferencia internacional SIGKDD sobre descubrimiento de conocimiento y minería de datos. Asociación para Maquinaria de Computación. DOI : 10.1145/2487575.2487591 .

Literatura

Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, - M .: Nauka, 2004 (7ª ed.).
Shiryaev A. N. Probabilidad, - M . : Nauka. 1989.
Ecuaciones de Napalkov VV Convolución en espacios multidimensionales. - M., Nauka, 1982. - Circulación 3500 ejemplares. — 240 s.

Enlaces

Applet de Java
Applet de Java
Convolución lineal y cíclica . Recuperado: 15 de noviembre de 2010. (Ruso)

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