Grados de libertad (física)

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Grados de libertad - características del movimiento de un sistema mecánico . El número de grados de libertad determina el número mínimo de variables independientes (coordenadas generalizadas) requeridas para describir completamente el estado de un sistema mecánico. Definición teórica y mecánica estricta: el número de grados de libertad de un sistema mecánico es la dimensión del espacio de sus estados , teniendo en cuenta las restricciones impuestas.

Además, el número de grados de libertad es igual al número total de ecuaciones independientes de segundo orden (como las ecuaciones de Lagrange ) o la mitad del número de ecuaciones de primer orden (como las ecuaciones canónicas de Hamilton ) que describen completamente [1] la dinámica del sistema.

El estado del sistema físico

La gran mayoría de los sistemas físicos pueden estar no en uno, sino en muchos estados, descritos tanto por variables continuas (por ejemplo, coordenadas del cuerpo ) como discretas (por ejemplo, números cuánticos de un electrón en un átomo ). Las "direcciones" independientes, variables que caracterizan los estados del sistema, se denominan grados de libertad .

El número de grados de libertad es igual al número mínimo de tales variables necesarias para una descripción completa del estado del sistema. Por ejemplo, la posición de un péndulo matemático se puede caracterizar tanto por el ángulo de su rotación alrededor del eje como por dos coordenadas de la posición de un punto material en relación con el eje. Sin embargo, tal péndulo tiene solo un grado de libertad, y no dos (como podría parecer en el segundo caso), ya que el ángulo de rotación por sí solo es suficiente para describir la posición de este sistema en cualquier momento.

Ejemplos

El sistema mecánico más simple , un punto material en el espacio tridimensional , tiene tres grados de libertad, ya que su estado está completamente descrito por tres coordenadas espaciales.
Un cuerpo absolutamente rígido tiene seis grados de libertad , ya que para describir completamente la posición de tal cuerpo, basta con establecer tres coordenadas del centro de masa y tres ángulos que describen la orientación del cuerpo (estas cantidades se conocen en la vida cotidiana). la vida como "inclinación, elevación, giro", en aviación se les llama " balanceo , cabeceo , guiñada "). También se denominan ángulos de Euler (precesión, nutación y rotación propia).
Los cuerpos reales tienen una gran cantidad de grados de libertad (del orden del número de partículas que componen el cuerpo). Sin embargo, en la mayoría de las situaciones, resulta que solo unos pocos grados de libertad "colectivos" son los más importantes, que caracterizan el movimiento del centro de masa del cuerpo, la rotación del cuerpo, su deformación , sus oscilaciones macroscópicas. El resto, grados de libertad microscópicos, son imperceptibles por separado, pero se perciben todos juntos a la vez, como, por ejemplo, la temperatura y la presión .

Coordenadas generalizadas

El concepto de grado de libertad está asociado con un concepto como dimensión. En matemáticas, la dimensión es el número de variables independientes necesarias para describir el estado de un objeto o, en otras palabras, para determinar su posición en algún espacio abstracto.

En la descripción matemática del estado de un sistema físico, N grados de libertad corresponden a N variables independientes, llamadas coordenadas generalizadas .

En el caso de grados de libertad continuos, las coordenadas generalizadas correspondientes toman una serie continua de valores. Sin embargo, también se pueden considerar grados de libertad discretos.

Ejemplos

Para describir la posición de la circunferencia en el plano bastan tres parámetros: dos coordenadas del centro y del radio, es decir, el espacio de las circunferencias en el plano es tridimensional. El círculo se puede mover a cualquier punto del plano y se puede cambiar su radio, por lo que tiene tres grados de libertad.
Para determinar las coordenadas de un objeto en un mapa geográfico, debe especificar la latitud y la longitud . Por lo tanto, el espacio correspondiente se llama bidimensional. Un objeto puede ubicarse en cualquier lugar, por lo que cada objeto en el mapa tiene dos grados de libertad.
Para establecer la posición de la aeronave , debe especificar tres coordenadas: además de la latitud y la longitud, debe saber la altura a la que se encuentra. Por lo tanto, el espacio en el que se encuentra la aeronave es tridimensional. A estas tres coordenadas, se puede agregar una cuarta (tiempo) para describir no solo la posición actual de la aeronave, sino también el momento en el tiempo. Si agrega la orientación ( alabeo , cabeceo , guiñada ) de la aeronave al modelo, se agregarán tres coordenadas más y el espacio abstracto correspondiente del modelo se convertirá en siete dimensiones.

Grados de libertad en física estadística y termodinámica

En física estadística y termodinámica , cuando se habla de grados de libertad, a veces significan un concepto que está muy relacionado con el descrito anteriormente, pero algo modificado.

La cuestión es que en este caso, en primer lugar, interesa la energía total por grado de libertad. Y cada grado vibratorio de libertad tiene energía cinética y potencial.

El teorema clásico sobre la distribución de la energía en grados de libertad [2] dice: en el equilibrio termodinámico, la energía cinética se distribuye uniformemente en promedio en todos los grados de libertad, kT /2 para cada grado de libertad. En este caso, para cada grado de libertad, que además tiene una energía potencial (dependiendo de una coordenada dada), a la energía total del sistema se suma también la energía potencial, y para los grados de libertad vibratorios, la cinética media y la energía media. las energías potenciales son iguales (esta declaración es exacta para los osciladores armónicos, pero es una buena aproximación y con cierta anarmonicidad).

Así, resulta que al calcular la energía interna del sistema, cada grado de libertad vibratorio se tiene en cuenta dos veces. Por lo tanto, a veces, para facilitar el cálculo, se utiliza la fórmula

kTN_{f}/2,

donde por se entiende el número de grados de libertad no en el sentido habitual, sino en el sentido de la distribución de la energía total, es decir, cada grado de libertad vibratorio se tiene en cuenta dos veces (como "cinética vibratoria" más como " potencial vibratorio"), es decir, en este sentido, podemos decir que cada grado de libertad vibracional corresponde a dos grados de libertad en el sentido termodinámico. Los grados de libertad restantes (traslacional y rotacional) se tienen en cuenta simplemente, sin duplicar (ya que estos tipos de movimiento corresponden a energía potencial cero, más precisamente, despreciable). $n_{f}$

Por lo tanto, en física estadística, los grados de libertad a menudo se entienden como coordenadas no en el espacio de configuración , sino en el espacio de fase , es decir considere las coordenadas generalizadas y los momentos generalizados como diferentes grados de libertad. En este caso, en la aproximación clásica (es decir, con algunas reservas - sólo a temperaturas suficientemente altas) se hacen contribuciones a la energía total - para cada - sólo aquellas que entran en la expresión de energía cuadráticamente. $kT/2$

Grados de libertad de congelación

La consideración de la mecánica cuántica muestra que diferentes grados de libertad pueden ser activos o inactivos en el siguiente sentido: si algún movimiento tiene un espectro discreto (y el espectro discreto corresponde a cualquier estado ligado), entonces puede ser excitado (el sistema va a un estado más alto). nivel de energía) solo cuando la energía absorbida es mayor que la diferencia de energía entre el primer estado excitado y el estado fundamental (energía de excitación). Por tanto, si el sistema (molécula, átomo) se encuentra inicialmente en el estado fundamental y se produce una interacción con una partícula que sólo puede desprender energía inferior a la energía de excitación (por ejemplo, con un fotón de menor energía o con una molécula cuyo energía de movimiento es menor que este umbral), este grado de libertad no se manifiesta de ninguna manera (el movimiento asociado con él no puede surgir; más precisamente, no puede cambiar, este grado de libertad permanece en el estado fundamental). Esto se denomina congelación de grados de libertad (por supuesto, incluso en el mismo sistema, diferentes grados de libertad pueden tener las mismas o diferentes energías de excitación y, por lo tanto, congelarse o no congelarse para interactuar con partículas de diferentes energías).

Esto se aplica plenamente a la manifestación de diferentes grados de libertad a diferentes temperaturas.

De hecho, a cierta temperatura, la energía del movimiento de las partículas tiene un valor promedio del orden de k T , por lo tanto, todos los grados de libertad, cuya energía de excitación es mucho más alta, se congelarán (pueden ignorarse en estadística ). En este sentido, para cada grado de libertad específico de cada sistema (átomo, molécula, cristal, etc.), se introduce el concepto de temperatura de congelación (igual a la energía de excitación dividida por la constante de Boltzmann ) . A temperaturas mucho más bajas que la temperatura de congelación, el grado de libertad no se manifiesta (está en el estado fundamental y, por lo general, puede ignorarse de cualquier manera), a temperaturas mucho más altas, el grado de libertad está completamente "encendido" y el movimiento a lo largo del mismo se puede considerar como clásico, a temperaturas del orden de la temperatura de congelación, inclusión gradual [3] del grado de libertad cuando la temperatura aumenta o apagado gradual cuando disminuye.

Lo descrito explica el cambio en la capacidad calorífica de varias sustancias con la temperatura. La física estadística clásica habla de una distribución uniforme de energía sobre grados de libertad (aquí el término grado de libertad se entiende en el sentido termodinámico, ver arriba ). Sin embargo, es obvio que de hecho (teniendo en cuenta la corrección mecánica cuántica) esta afirmación debe aplicarse solo a los grados de libertad "encendidos", es decir, excluyendo los congelados. Por lo tanto, la capacidad calorífica molar será

c={\frac{1}{2}}kN_{f},

donde k es la constante de Boltzmann, N f es el número de grados de libertad de un tipo dado en el sistema bajo consideración (en particular, si estamos hablando de un conjunto de moléculas, donde N es el número de moléculas, i es el número de grados de libertad de una molécula). $N_{f}=Ni,$

Grados de libertad de una molécula

La fórmula para la energía interna de un gas ideal [4] :

U={\frac {i}{2}}\cdot {\frac {m}{\mu }}RT

y la fórmula directamente relacionada para la energía promedio de una molécula de gas ideal

U_{1}={\frac{i}{2}}kT

dónde

i

es el número de grados de libertad de una molécula de gas,

\nu ={\frac{m}{\mu ))

- cantidad de gas ( - masa , - masa molar de gas),

metro

\mu

R

es la constante universal de los gases ,

k

es la constante de Boltzmann ,

T

es la temperatura absoluta del gas.

Los grados de libertad de la molécula se congelan como se describe en el párrafo anterior, lo que significa que la i efectiva en la fórmula depende de la temperatura y, en general, no se puede calcular simplemente de forma mecánica clásica.

Todos los grados de libertad de rotación para moléculas monoatómicas y el grado de libertad de rotación correspondiente a la rotación alrededor del eje longitudinal para moléculas lineales (en el sentido geométrico real) se congelan (es decir, no deben tenerse en cuenta en i ) siempre, ya que sus temperaturas de congelación son tan altas que la disociación de las moléculas ocurre mucho antes de que se alcancen estas temperaturas.

Véase también

Notas

↑ Implicando dinámica clásica, aquí se refieren a las ecuaciones de movimiento . Sin embargo, al menos en principio, para la descripción cuántica se pueden utilizar ecuaciones de operadores que prácticamente coinciden en forma.
↑ Es verdadero en su forma pura solo en la aproximación clásica (es decir, no cuántica), y cuando intenta aplicarlo de manera bastante consistente, conduce a inconsistencias con la experiencia e incluso a paradojas, como la catástrofe ultravioleta ; sin embargo, también sigue siendo importante para el caso cuántico, aunque entonces su formulación debería cambiarse fuertemente. Véase también más adelante en este artículo (de lo que se deduce que con un margen adecuado para las correcciones cuánticas, incluso se puede utilizar un teorema puramente clásico.
↑ Gradual debido a la suavidad de la distribución térmica.
↑ Nikerov. V. A. Física: libro de texto y taller para estudiantes académicos de pregrado. - Yurayt, 2015. - S. 127-129.- 415 p. - ISBN 978-5-9916-4820-2 .

diccionarios y enciclopedias	gran noruego Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	J9U : 987007545601105171 LCCN : sh85036480