Teoría de Koopman-von Neumann

La teoría de Koopman-von Neumann (teoría KvN) en física matemática es la reformulación original de la mecánica estadística clásica , creada por los matemáticos estadounidenses John von Neumann y Bernard Koopman . El formalismo de la mecánica de Koopman-von Neumann es lo más cercano posible al formalismo de la mecánica cuántica no relativista : el estado de un sistema dinámico en él se describe utilizando la función de onda clásica, que es un análogo de la función de onda de la mecánica cuántica , la ecuación clásica de Liouville adquiere la estructura matemática de la ecuación de Schrödinger , etc.

Ideológicamente, la teoría KvN es diametralmente opuesta a la representación de Wigner , en la que se logra una idea similar de unificar el aparato matemático de la estadística clásica y la física cuántica, por el contrario, al convertir la función de onda que aparece en la ecuación de Schrödinger en una función de Wigner definida en el espacio de fase clásico . Es significativo que ambas teorías se crearon casi simultáneamente , en 1931-1932 .

Historial de creación

Los orígenes de la teoría KvN están estrechamente entrelazados con la historia del surgimiento de la teoría ergódica como rama independiente de las matemáticas. A principios de 1931, la falta de una justificación matemática aceptable para la hipótesis ergódica , formulada por L. Boltzmann allá por 1887, seguía siendo un problema grave en la física teórica . Esto, en particular, dificultó derivar consistentemente las leyes de la termodinámica de los gases, tomando como punto de partida la imagen microscópica del movimiento de un gran conjunto de moléculas, que ocurre de acuerdo con las leyes de la mecánica newtoniana [1] .

El trabajo de 1930 del matemático estadounidense Marshall Stone sobre la teoría espectral de grupos de operadores unitarios de un parámetro [2] puede considerarse un requisito previo directo para resolver el problema . Ya al año siguiente se publicó el trabajo clave de Koopman [3] , quien notó que el espacio de fase de un sistema clásico que evoluciona de acuerdo con las leyes estándar de la mecánica clásica puede transformarse en un espacio de Hilbert postulando una regla natural de la integración sobre puntos de espacio de fase como la definición de un escalar funciona [4] . Llama la atención que la evolución de las variables físicas en este caso comienza a ser descrita por operadores unitarios, que forman un grupo de un parámetro, para los cuales los resultados de Stone son válidos.

Tal representación del operador de la mecánica clásica era una idea completamente nueva en ese momento; impulsó a von Neumann, uno de los fundadores de la mecánica cuántica y destacado experto en teoría de operadores, a tratar de aplicar el enfoque de la teoría de operadores para resolver el problema ergódico. Basado en los resultados de Koopman y A. Weil , completó la creación del formalismo del operador de la mecánica clásica, ahora conocido como la teoría de Koopman-von Neumann, y ya en 1932 publicó una serie de artículos que se convirtieron en fundamentales para la teoría ergódica moderna. (en estos trabajos había, en particular, se demostró el famoso teorema ergódico estadístico ) [5] . Curiosamente, en el mismo año, von Neumann también publicó Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica, que contenía la primera exposición completa, rigurosa y sistemática de la mecánica cuántica en el lenguaje moderno de los espacios de Hilbert.

Disposiciones básicas y propiedades

El punto de partida de la teoría KvN es la introducción del espacio de Hilbert de funciones de coordenadas y momentos de valores complejos e integrables al cuadrado , equipado con el siguiente producto interno: ${\ estilo de visualización \ Psi (t, p, q)}$ $q$ $pags$

\langle \Psi _{1}(t)|\Psi _{2}(t)\rangle =\int \limits _{p}\int \limits _{q}\Psi _{1}^ {*}(t,p,q)\Psi _{2}(t,p,q)\,dq\,dp,

(una)

donde el asterisco significa conjugación compleja (para lograr la analogía más visual con la mecánica cuántica, en adelante se utilizará el formalismo algebraico de Dirac para designar los elementos del espacio de Hilbert ) [6] . Se postula que el cuadrado del módulo de tales funciones es igual a la densidad de probabilidad clásica de encontrar una partícula en un punto dado en el espacio de fase en el momento : ${\ estilo de visualización \ rho (p, q, t)}$ $(p, q)$ $t$

{\ estilo de visualización \ rho (t, p, q) = | \ Psi (t, p, q) | ^ {2}.}

(2)

De este postulado y definición ( 1 ), además de la condición de normalización , se sigue que el valor promedio de una cantidad física arbitraria , dado por una función real , se puede encontrar mediante la fórmula $\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =1$ ${\ estilo de visualización \ ángulo X \ ángulo}$ $X$ ${\ estilo de visualización X (p, q)}$

\langle X\rangle (t)=\langle \Psi (t)|{\hat {X))\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t){\hat {X}}| \Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {X}}|\Psi (t)\rangle ,

(3)

lo que formalmente coincide con la expresión análoga de la mecánica cuántica de Schrödinger (el significado del cap anterior se explicará más adelante). Esto hace que sea legítimo dar a la función el nombre de función de onda clásica . $X$ ${\ estilo de visualización \ Psi (t, p, q)}$

El enunciado central de la teoría es el postulado de que la ley de evolución de la función de onda clásica debe coincidir exactamente en forma con la ecuación de Liouville para la distribución clásica de la densidad de probabilidad en el espacio de fase: $i{\frac {\parcial }{\parcial t))\rho ={\hat {L))\rho$ ${\ estilo de visualización \ rho (t, p, q)}$

i{\frac {\parcial }{\parcial t))|\Psi \rangle ={\hat {L))|\Psi \rangle ,

(cuatro)

dónde

{\hat {L}}=-iH_{p}(x,p){\frac {\parcial }{\parcial x}}+iH_{x}(x,p){\frac {\parcial }{\p parcial))

(5)

es el operador clásico de Liouville . A partir de este postulado, teniendo en cuenta las propiedades ( 2 ) y ( 3 ) de la función de onda clásica, podemos obtener la expresión más general de la misma:

\Psi (t,p,q)={\sqrt {\rho (t,p,q)))e^{i\phi (t,p,q)},

(6)

en el que la fase es una función real arbitraria de sus argumentos. ${\ estilo de visualización \ phi (t, p, q)}$

Una característica importante de la teoría de Koopman-von Neumann es que las expresiones ( 5 ) y ( 6 ) son solo una de muchas posibles representaciones equivalentes de ecuaciones dinámicas. La forma moderna más general del generador de movimiento ( 5 ) es la siguiente:

{\sombrero {L}}=-H_{p}({\sombrero {x}},{\sombrero {p}}){\sombrero {\lambda }}_{x}+H_{x} ({\sombrero {x)),{\sombrero {p))){\sombrero {\lambda }}_{p},

(7)

donde están los operadores autoadjuntos que satisfacen las siguientes relaciones de conmutación: ${\sombrero {x)),{\sombrero {p)),{\sombrero {\lambda }}_{x},{\sombrero {\lambda }}_{p}$

[{\hat {x}},{\hat {\lambda }}_{x}]=i;\quad [{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{p }]=i;\quad [{\sombrero {p)),{\sombrero {x}}]=[{\sombrero {\lambda }}_{p},{\sombrero {\lambda }}_{x }]=[{\sombrero {p)),{\sombrero {\lambda }}_{x}]=[{\sombrero {\lambda }}_{p},{\sombrero {x}}]=0 ,

(ocho)

en el que el operador conmutador se denota entre paréntesis . Las relaciones ( 8 ) son un análogo clásico de las relaciones canónicas de conmutación de la mecánica cuántica. Es fácil comprobar que la expresión ( 5 ) se obtiene de ( 8 ) al elegir , , , . Sin embargo, como en la mecánica cuántica, la elección de una forma algebraica específica para estos operadores no es esencial y está determinada únicamente por consideraciones de conveniencia. ${\ estilo de visualización [\ cdot, \ cdot]}$ ${\ sombrero x} = x$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {p}} = p}$ ${\hat {\lambda ))_{x}=-i{\frac {\parcial }{\parcial x))$ ${\hat {\lambda ))_{p}=-i{\frac {\parcial }{\parcial p))$

De manera similar, cualquier cantidad física está asociada con el operador hermitiano del observable clásico , obtenido al sustituir los operadores por los argumentos correspondientes. Es instructivo que, en contraste con la mecánica cuántica, tal sustitución es única debido al hecho de que los operadores clásicos y conmutan. Por la misma razón, los operadores KvN de todas las cantidades físicas se conmutan entre sí. ${\ estilo de visualización X (p, q)}$ ${\sombrero {X}}=X({\sombrero {p}},{\sombrero {q}}))$ $\que x$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {p}}}$

El generador de movimiento ( 7 ) también es un operador hermitiano y, por lo tanto, la dinámica temporal descrita por la ecuación ( 4 ) se describe mediante alguna transformación unitaria de la función de onda clásica: y el mapeo es un grupo de un parámetro . En este sentido, la ecuación ( 4 ) es estructuralmente completamente equivalente a la ecuación de Schrödinger. Fue esta observación hecha por Koopman la que estimuló el desarrollo de la teoría KvN. $Utah}$ $|\Psi (t)\rangle =U_{t}|\Psi (0)\rangle$ ${\displaystyle t\mapsto U_{t))$

Hoy en día, la posibilidad de la forma de operador abstracto anterior de escribir las ecuaciones de la dinámica clásica puede parecer bastante obvia, pero a principios de la década de 1930 esta idea era completamente nueva y revolucionaria. Abrió perspectivas inesperadas para la conexión directa del aparato matemático de la mecánica cuántica, en particular, la teoría de la representación, con el análisis de los sistemas clásicos, que von Neumann no dejó de utilizar para demostrar su teorema ergódico. [1] Como ejemplos de préstamos más modernos, se pueden señalar los métodos de la teoría de la perturbación y la integración funcional [7] , la técnica del diagrama de Feynman [8] .

Correlación con la mecánica cuántica

A pesar de muchas similitudes formales con la mecánica cuántica de Schrödinger , la teoría KvN tiene diferencias significativas con ella. La verificación directa [6] muestra que la evolución de la función de onda clásica ( 6 ) según la ley ( 4 ) se descompone en dos ecuaciones independientes para la fase y el factor preexponencial. Por lo tanto, el factor de fase en la teoría KvN actúa como un parámetro libre arbitrario que no afecta de ninguna manera la dinámica de los observables clásicos. Esto distingue cualitativamente la función de onda clásica de la cuántica, donde un factor de fase similar lleva información importante sobre la coherencia cuántica , que es la fuente de todos los efectos específicamente cuánticos. Por la misma razón, una medida no selectiva no cambia la función de onda clásica [6] . ${\ estilo de visualización \ phi (t, p, q)}$ ${\ estilo de visualización \ phi (t, p, q)}$


Detalles Los archivos de video ilustran, respectivamente, la dinámica clásica y cuántica de la distribución de partículas de masa unitaria en el potencial de Morse : para condiciones iniciales idénticas: . Los puntos negros representan el movimiento de partículas clásicas de acuerdo con las leyes de la dinámica newtoniana . Las líneas negras son los niveles de la misma energía total (cinética + potencial) de las partículas. $U(x)=20(1-e^{-0{,}16x})^{2}$ ${\ estilo de visualización P (0, p, q) = \ Psi (0, p, q)}$

Otra diferencia fundamental de la mecánica KvN es el lugar aislado del generador de movimiento ( 7 ), el clásico de Liouville. El operador ( 7 ) es el único operador de la teoría que no corresponde a ninguna cantidad física y no conmuta con los operadores de cantidades físicas (que, recordemos, todos conmutan debido a las relaciones ( 8 )). Por esta razón, en la teoría KvN, para introducir un generador de movimiento, es necesario extender el álgebra de operadores de cantidades físicas introduciendo operadores "diferenciales" auxiliares especiales y . El caso de la mecánica cuántica es mucho más simple. El hamiltoniano cuántico, que representa el generador de movimiento en la ecuación de Schrödinger , es al mismo tiempo el operador mecánico cuántico de la energía del sistema y, si es necesario, puede expresarse en términos de operadores de otros observables, es decir, no necesita ser introducido artificialmente en el álgebra de operadores cuánticos desde el exterior. ¿Quién sabe si esta diferencia no es la razón filosófica fundamental que llevó a la Naturaleza a "preferir" la mecánica cuántica? [9] ${\ estilo de visualización \ lambda _ {x}}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {p}}$

Una pregunta interesante y no del todo comprendida es si el modelo de Koopman-von Neumann es el límite clásico de cualquier representación cuántica. La respuesta, y bastante inesperada, está disponible solo para el caso en que la "contraparte" cuántica de la función de onda clásica es un estado cuántico puro . [10] Se puede demostrar que el generador de movimiento KvN correcto en la forma ( 7 ) se obtiene como el límite clásico en el generador de movimiento correspondiente para la función de Wigner . Lo picante de la situación radica en el hecho de que la función de Wigner y el generador de movimiento correspondiente no están definidos en Hilbert, sino en el espacio de fase clásico, que incorpora la idea de traducir la descripción de los procesos mecánicos cuánticos al lenguaje. de la mecánica clásica, que es esencialmente diametralmente opuesta al concepto de la teoría KvN. La domesticación de la lucha de los opuestos se puede lograr introduciendo el producto escalar en la forma ( 1 ) en el espacio de fase clásico y postulando en lugar de la fórmula estándar para calcular promedios ${\ estilo de visualización \ hbar \ a 0}$ ${\ Displaystyle PAG (p, q)}$

\langle X\rangle =\int \limits _{p}\int \limits _{q}X(p,q)P(p,q)\,dq\,dp

(9)

regla ( 3 ) (con sustitución de funciones en lugar de ). Se demuestra que tal representación de Wigner modificada es físicamente correcta para estados cuánticos puros (es decir, los resultados de los cálculos mediante las fórmulas ( 3 ) y ( 9 ) coinciden) y pasa a las ecuaciones de la mecánica de Koopman-von Neumann en el límite clásico . Es de destacar que en este caso se elimina radicalmente el problema de la negatividad de la “función de distribución de cuasi-probabilidad de Wigner” , ya que en la nueva interpretación la distribución de probabilidad no coincide con la función , sino que se calcula mediante la fórmula ( 2 ) y es siempre positivo. Sin embargo, una debilidad significativa del esquema anterior es la imposibilidad de su extensión al caso de estados cuánticos mixtos . ${\ Displaystyle PAG (p, q)}$ ${\ estilo de visualización \ Psi (p, q)}$ ${\ estilo de visualización \ hbar \ a 0}$ ${\ Displaystyle PAG (p, q)}$

Significado

A lo largo de los años de su existencia, la teoría de Koopman-von Neumann, en contraste con la representación de Wigner bastante utilizada, no ha podido encontrar una aplicación práctica directa, por lo que su mención en la literatura científica se puede encontrar principalmente en las páginas de publicaciones destinadas a un círculo reducido de especialistas en física matemática. Debido a la popularidad relativamente baja de la teoría, su importancia histórica y potencial metodológico siguen siendo poco explorados.

En trabajos modernos, la teoría KvN a veces se usa como una herramienta constructiva, por ejemplo, para el desarrollo de la técnica del diagrama de Feynman en la teoría de perturbaciones clásica. [8] Sin embargo, su principal nicho en la ciencia moderna es la reinterpretación de los resultados obtenidos por otros métodos con el fin de aclarar su significado físico, generalización y sistematización. Esto se aplica principalmente a casos semiclásicos, para los cuales la teoría es una herramienta adicional conveniente para estudiar la correspondencia entre los límites clásicos y cuánticos.

Notas

↑ 1 2 The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50), editado por James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer . - Gráficos Amata, 2006. - ISBN 0-8218-4219-6
↑ Los detalles sobre el resultado de Stone se pueden encontrar en el artículo Teorema de Stone sobre grupos de operadores unitarios en un espacio de Hilbert .
↑ Koopman, B. O. "Hamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Space" // Actas de la Academia Nacional de Ciencias 17 (5), 315 (1931).
↑ Ideas similares fueron desarrolladas simultánea e independientemente por Weil .
↑ von Neumann, J. "Zur Operatorenmethod In Der Klassischen Mechanik" // Annals of Mathematics 33 (3), 587–642 (1932). von Neumann, J. "Zusatze Zur Arbeit "Zur Operatorenmethode..." // Annals of Mathematics 33 (4), 789–791 (1932). Obras completas de John von Neumann , Taub, AH, ed., Pergamon Press, 1963. ISBN 0-08-009566-6
↑ 1 2 3 Mauro, D. (2002). "Temas en la teoría de Koopman-von Neumann". arXiv: quant-ph/0301172 [quant-ph] Archivado el 6 de octubre de 2016 en Wayback Machine . (Hay una traducción selectiva al ruso de M.Kh. Shulman: [1] Copia de archivo fechada el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine ).
↑ Liboff, RL Teoría cinética : descripciones clásicas, cuánticas y relativistas . - Springer, 2003. - ISBN 9780387955513 .
↑ 1 2 Blasone M., Jizba P., Kleinert H. "Enfoque de ruta integral a la derivación de 't Hooft de la física cuántica a partir de la física clásica" // Physical Review A 71 (5), 052507 (2005).
↑ Grishanin B. A. “Mecánica clásica en forma cuántica: por qué la naturaleza “prefirió” la mecánica cuántica”, en el libro: B. A. Grishanin. Obras seleccionadas y memorias de familiares, amigos y colegas (editadas por V. N. Zadkov y Yu. M. Romanovsky) - MSU Publishing House, 2011.
↑ Bondar D.; Cabrera R.; Zhdánov D.; Rabitz H. (2012). "Desmitificación de la negatividad de la función Wigner" // arXiv: 1202.3628 [quant-ph] Archivado el 10 de diciembre de 2020 en Wayback Machine .

Literatura

Mauro, D. (2002). "Temas en la teoría de Koopman-von Neumann". arXiv: quant-ph/0301172 [quant-ph] . (Hay una traducción selectiva al ruso de M. Kh. Shulman: [2] ).
John von Neumann , Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , Princeton University Press, 1955. Reimpreso en edición de bolsillo.
HR Jauslin, D. Sugny, Dinámica de sistemas mixtos cuánticos clásicos, cuantización geométrica y estados coherentes (enlace no disponible) , Serie de notas de conferencias, IMS, NUS, Review Vol., 13 de agosto de 2009
The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50), editado por James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer . - Gráficos Amata, 2006. - ISBN 0821842196