Categoría isomorfismo

El isomorfismo de categorías es una relación biunívoca entre categorías que conserva la estructura de los objetos y los morfismos: las categorías y son isomorfas si existen funtores y que son inversas entre sí, es decir, (identity funtor on ) y [1] . Las dos categorías isomorfas comparten todas las propiedades que se definen únicamente en términos de la teoría de categorías; a todos los efectos prácticos, son idénticos y solo difieren en las designaciones de objetos y morfismos. $C$ $D$ $F\dos puntos C\a D$ $G\dos puntos D\to C$ $FG=1_{D}$ $D$ $GF=1_{C}$

El isomorfismo de categoría es una condición muy fuerte que rara vez se cumple; en este sentido, se utiliza con mayor frecuencia el concepto de equivalencia de categoría , para lo cual no se requiere que sea igual a , sino solo naturalmente isomorfa , y de igual manera ser naturalmente isomorfa . ${\ estilo de visualización FG}$ ${\ estilo de visualización 1_ {D}}$ ${\ estilo de visualización 1_ {D}}$ ${\ estilo de visualización GF}$ $1_{C}$

Un funtor crea un isomorfismo de categorías si y solo si es biyectivo sobre objetos y sobre el conjunto de morfismos [1] ; gracias a este criterio, es posible probar el isomorfismo de categorías sin construir un funtor inverso . $F\dos puntos C\a D$ $GRAMO$

Ejemplos

Para un grupo finito , un campo y un álgebra de grupos , la categoría de representaciones lineales del grupo es isomorfa a la categoría de los módulos restantes . Un isomorfismo se puede describir de la siguiente manera: si se da una representación de un grupo , donde está un espacio vectorial sobre , es el grupo de sus -automorfismos lineales , y es un homomorfismo de grupos , se traduce a la izquierda -módulo de la siguiente manera: $GRAMO$ $k$ ${\ estilo de visualización kg}$ $k$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización kg}$ $\rho \colon G\to \mathbf {GL} (V)$ $V$ $k$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {GL} (V)}$ $k$ $\rho$ $V$ ${\ estilo de visualización kg}$

\left(\sum_{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum_{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)

para cualquiera de y cualquier elemento de . Por el contrario, si se da un módulo izquierdo , entonces es un espacio vectorial, y la multiplicación por un elemento de grupo conduce a un automorfismo lineal del módulo (ya que somos invertibles ), que describe un homomorfismo de grupo . $v$ $V$ $\sum a_{g},g\in kG$ ${\ estilo de visualización kg}$ $METRO$ $METRO$ $k$ $gramo$ $GRAMO$ $k$ $METRO$ $gramo$ ${\ estilo de visualización kg}$ $G\to \mathbf {GL} (M)$

Cualquier anillo se puede considerar como una categoría pre-aditiva con un solo objeto. La categoría de funtores de todos los funtores aditivos de esta categoría en la categoría de grupos abelianos es isomorfa a la categoría de módulos izquierdos sobre un anillo.

El automorfismo de categorías surge en la teoría de las álgebras booleanas : la categoría de las álgebras booleanas es isomorfa a la categoría de los anillos booleanos . El álgebra booleana dada se traduce a un anillo booleano usando la diferencia simétrica como suma y la operación de multiplicación lógica como multiplicación. Por el contrario, si se da un anillo booleano , podemos definir la operación de unión como y la operación de intersección como multiplicación. Ambas definiciones se pueden extender a los morfismos para obtener funtores, y estos funtores son mutuamente inversos entre sí. $B$ $\tierra$ $R$ $a\lor b=a+b+ab$

Si es una categoría con objeto inicial , entonces la categoría de objetos "arriba" ( ) es isomorfa a . Dualmente , si es un objeto terminal en , la categoría del funtor ( ) es isomorfa . $C$ $s$ $s{\downarrow}C$ $C$ $t$ $C$ $C{\downarrow}t$ $C$

Notas

↑ 1 2 McLane, 2004 , pág. 25

Literatura

McLane S. Capítulo 1. Categorías, funtores y transformaciones naturales // Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .