Único sencillo

En teoría de números, un número primo único es cierto tipo de número primo . Se dice que un número primo p ≠ 2.5 es único si no hay otro primo q tal que la longitud del período de la expansión decimal recíproca , 1⁄ p , sea igual a la longitud del período 1⁄ q . Los primos únicos fueron descritos por primera vez por Samuel Yates en 1980.

Se puede demostrar que un primo p es único con período n si y solo si existe un número natural c tal que

,

donde  es el polinomio circular n-ésimo . Actualmente hay más de cincuenta números primos únicos o posibles números primos conocidos . Sin embargo, solo se conocen veintitrés primos únicos menores de 10100 . La siguiente tabla muestra los 23 primos únicos menores de 10,100 ( secuencia OEIS A040017 ) y sus períodos ( secuencia OEIS A051627 ):

Duración del período Simple
una 3
2 once
3 37
cuatro 101
diez 9.091
12 9.901
9 333.667
catorce 909.091
24 99,990,001
36 999,999,000,001
48 9,999,999,900,000,001
38 909,090,909,090,909,091
19 1,111,111,111,111,111,111
23 11,111,111,111,111,111,111,111
39 900,900,900,900,990,990,990,991
62 909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
120 100.009.999.999.899.989.999.000.000.010.001
150 10,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001
106 9,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
93 900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991
134 909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
294 142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143
196 999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,000,999,999,999,999,900,000,000,000

Un número primo con un período de 294 es como el recíproco de 7 (0.142857142857142857…)

El número primo número 24, que no figura en la tabla, tiene 128 caracteres y un período de 320 de longitud. Se puede escribir como (9 32 0 32 ) 2 + 1, donde el índice n significa n copias consecutivas del dígito o grupo de dígitos que preceden al índice.

Aunque los primos únicos son raros, existe una conjetura basada en el estudio de primos de un solo dígito y posiblemente primos de que hay un número infinito de primos únicos (cualquier repetición simple es única).

A partir de 2010, la repunidad es (10 270343 −1)/9, el número primo único más grande posible conocido. [una]

En 1996, el primo único más grande probado fue (10 1132 + 1)/10001 o, utilizando la notación utilizada anteriormente, (99990000) 141 + 1. Su período es 2264. Desde entonces, el registro se ha mejorado varias veces. Para 2010, el número primo único más grande probado tenía 10.081 dígitos. [2]

Enlaces

Notas

  1. ↑ Récords PRP: Probable Primes Top 10000 . Consultado el 5 de enero de 2013. Archivado desde el original el 25 de febrero de 2010.
  2. ↑ Los Veinte Mejores Únicos ; Chris Caldwell . Consultado el 5 de enero de 2013. Archivado desde el original el 20 de noviembre de 2020.