Espacio de fase

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El espacio de fase en matemáticas y física es un espacio , cada punto del cual corresponde a uno y sólo un estado del conjunto de todos los estados posibles del sistema . El punto en el espacio correspondiente al estado del sistema se llama " representante " o " representante " para él. Así, el cambio en los estados del sistema, es decir, su dinámica , puede compararse con el movimiento del punto que lo representa; la trayectoria de este punto se denomina trayectoria de fase (cabe señalar que no es idéntica a la trayectoria de movimiento real) y la velocidad de dicho punto de imagen se denomina velocidad de fase . [R:1] [1]

El concepto de espacio de fases fue desarrollado a fines del siglo XIX por Ludwig Boltzmann , Henri Poincaré y Willard Gibbs . [R:2]

Disposiciones generales

Por regla general, se eligen espacios con métrica euclidiana , utilizando sistemas de coordenadas cartesianas o polares .

Para sistemas con un grado de libertad, el espacio de fase degenera en un plano de fase .

Trayectorias de fase

Utilizando las ecuaciones de la trayectoria en el espacio de fase (plano de fase) , se construyen curvas integrales para el sistema en estudio , es decir, curvas en el espacio de fase tales que en cada punto la tangente tiene una pendiente dada por la ecuación de trayectoria. La construcción geométrica de curvas integrales se denomina " integración cualitativa de ecuaciones ". [2]

Deben distinguirse los conceptos de " curva integral " y " trayectoria de fase " en el caso general, " ya que puede ocurrir que una curva integral no consista en una, sino en varias trayectorias de fase a la vez ". [3]

El patrón de curvas en el espacio de fase (en el plano de fase) se puede describir mediante:

o una ecuación - en forma de coordenadas , es decir, usando ecuaciones que no contienen tiempo - y estudiar curvas integrales con ella,
o describir mediante un sistema de ecuaciones en forma paramétrica , donde la variable independiente , el tiempo, juega el papel de parámetro, y estudiar las trayectorias de fase. [cuatro] $t$

La necesidad de distinguir entre estas dos formas de representar la misma familia de curvas puede demostrarse con el ejemplo del sistema conservativo más simple descrito por la forma de ecuación [cuatro] ${\ddot {x}}=f(x)$

Toda la trayectoria de fase es la curva en el espacio de fase, que está descrita por el punto de representación durante todo el tiempo de su movimiento (de a ). [3] $t=-\infty$ $t=+\infty$

Retrato de fase

El retrato de fase del sistema bajo estudio es un conjunto de trayectorias de fase para todas las condiciones iniciales posibles . [3] Puede verse como una variedad integral . [R:3]

Dado que, al estudiar el comportamiento de un sistema, uno está principalmente interesado en los movimientos estacionarios en el sistema, [2] el retrato de fase también puede considerarse como una partición del espacio de fase en dominios de atracción de soluciones estacionarias. [R:1]

La clasificación de la naturaleza de los puntos singulares de un sistema de ecuaciones puede realizarse en base a las características del retrato de fase, ya que al menos para algunos sistemas cada punto singular de un sistema de ecuaciones diferenciales es también un punto singular en el sentido usado en geometría diferencial . [cuatro]

Fp por lo general, se deforma de alguna manera cuando cambian los parámetros del sistema . Un cambio cualitativo en el f.p. corresponde a la desaparición de las existentes y al nacimiento de nuevas soluciones estacionarias, y tal cambio en la f.p. se llama situación de bifurcación . [R:1]

Por conveniencia, el estudio del retrato de fase del sistema se divide [4] en el estudio de la naturaleza de los movimientos del sistema:

estados cercanos al equilibrio,
en todo el plano de fase.

Al estudiar el retrato de fase, la imagen topológica general de los movimientos en el plano de fase es principalmente de interés . [cuatro]

Velocidad de fase

La velocidad de fase es la velocidad a la que cambia el estado del sistema; corresponde a la velocidad de movimiento del punto de representación en el espacio de fase. [cuatro]

Para calcular la magnitud de la velocidad de fase, se introduce el concepto de " vector de radio de fase ", como se hace en mecánica clásica. [3]

Por ejemplo, para el sistema conservativo más simple descrito por la ecuación , la velocidad del punto de representación se calcula como: ${\ddot {x}}=f(x)$

\mathbf {v} =\mathbf {i} y+\mathbf {j} f(x)

y se definirá de manera única en todas partes, y se desvanecerá solo en un punto singular. [4] El módulo de velocidad de fase en este caso se calculará como:

v={\frac {ds}{dt}}={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy} {dt}}\right)^{2}}}={\sqrt {y^{2}+\left[f(x)\right]^{2}}}

dónde:

{\frac{dx}{dt}}=y

y .

{\frac {dy}{dt}}=f(x)

El cálculo de la velocidad de fase hace posible rastrear los cambios en el sistema con mayor precisión. Entonces, por ejemplo, en el caso de una bifurcación silla-nodo, uno puede encontrar una región de estados del sistema en la que ocurre una disminución significativa en el módulo de velocidad de fase. [R:1]

Características de los sistemas de varios tipos

Sistemas mecánicos

En la mecánica clásica , las variedades suaves sirven como espacios de fase . En el caso de los sistemas mecánicos, se trata de un espacio de dimensión par, cuyas coordenadas son las coordenadas espaciales habituales (o coordenadas generalizadas ) de las partículas del sistema y sus momentos (o momento generalizado ). Además, en mecánica, el movimiento del punto representativo está determinado por ecuaciones de Hamilton relativamente simples , cuyo análisis permite sacar conclusiones sobre el comportamiento de sistemas mecánicos complejos. [5]

Por ejemplo, el espacio de fase para un sistema que consta de un punto material libre tiene 6 dimensiones, tres de las cuales son tres coordenadas ordinarias y tres más son componentes de cantidad de movimiento. En consecuencia, el espacio fase de un sistema de dos puntos materiales libres contendrá 12 dimensiones, y así sucesivamente.

Termodinámica y mecánica estadística

En termodinámica y mecánica estadística, el término "espacio de fase" tiene dos significados: 1) se usa en el mismo sentido que en mecánica clásica; 2) también puede referirse al espacio, que está parametrizado por los estados macroscópicos del sistema, como presión, temperatura, etc.

Sistemas dinámicos

En la teoría de sistemas dinámicos y la teoría de ecuaciones diferenciales, el espacio de fase es un concepto más general. No es necesariamente bidimensional, y la dinámica en él no está necesariamente dada por las ecuaciones de Hamilton .

El caso de los sistemas múltiples

Si tomamos en consideración varios sistemas idénticos, debemos especificar varios puntos en el espacio de fase. La totalidad de tales sistemas se denomina conjunto estadístico . De acuerdo con el teorema de Liouville , una curva (o superficie) cerrada que consta de puntos en el espacio de fase de un sistema hamiltoniano evoluciona de tal manera que el área (o volumen) del espacio de fase contenido en ella se conserva en el tiempo.

Ejemplos

El concepto de espacio de fase es ampliamente utilizado en varios campos de la física. [B: 1] [B: 2] Resultó muy útil para estudiar los fenómenos de memoria de bifurcación . [R:1]

Interpretar el estado de un objeto en movimiento como un punto en el espacio de fase resuelve la paradoja de Zeno . (La paradoja es que si describimos el estado de un objeto por su posición en el espacio de configuración, entonces el objeto no puede moverse).

Oscilador armónico

El sistema oscilatorio autónomo más simple se denominó " oscilador armónico "; su dinámica se describe mediante una ecuación diferencial lineal de la forma:

{\ddot x}+\omega _{0}^{2}x=0.

Tal sistema realiza movimientos sinusoidales (armónicos) periódicos; el movimiento oscilatorio no ocurre solo en el caso y , es decir, cuando el oscilador está en un estado de equilibrio en el momento inicial ; en este caso, continúa permaneciendo en él por más tiempo. La ecuación de coordenadas de la trayectoria de fase de dicho sistema define curvas integrales en forma de una familia de elipses similares (con una relación de ejes constante) , y a través de cada punto del f.p. atraviesa una y sólo una elipse. El estado de equilibrio indicado es un punto singular de este sistema, a saber, el centro . [3] $x_{0}=0$ ${\dot {x}}_{0}=0$

Oscilador cuántico

El espacio de fase de estados de un oscilador cuántico permite describir el ruido cuántico de un amplificador en términos de las incertidumbres de las componentes hermítica y antihermítica del campo; en este caso, no se requiere la suposición de la linealidad de la transformación del espacio de fase realizada por el amplificador. [A:4] Las derivadas de la función de transferencia del amplificador definen un límite inferior en el nivel de ruido cuántico. En términos generales, cuanto más compleja es la transformación, mayor es el ruido cuántico.

El espacio de fase hace posible construir un formalismo unificado para la mecánica clásica y cuántica. [A:5] El operador de evolución se formula en términos del corchete de Poisson; en el caso cuántico, este soporte es un conmutador ordinario. En este caso, la mecánica clásica y la cuántica se basan en los mismos axiomas; están formulados en términos que tienen sentido tanto en la mecánica clásica como en la cuántica.

Teoría del caos

Los ejemplos clásicos de diagramas de fase de la teoría del caos son:

Atractor de Lorentz
Crecimiento de la población (es decir, mapeo logístico )
Plano paramétrico de polinomios cuadráticos complejos con conjunto de Mandelbrot .

Óptica

El espacio de fase se usa ampliamente en imágenes , [B: 3] es una rama de la óptica dedicada a la iluminación y los paneles solares. También es un concepto importante en óptica .

Véase también

Notas

↑ Andronov, 1981 , pág. 38-41.
↑ 1 2 Andronov, 1981 , Introducción, p. 15-34.
↑ 1 2 3 4 5 Andronov, 1981 , Capítulo I. Sistemas lineales, p. 35-102.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Andronov, 1981 , Capítulo II. Sistemas no lineales conservativos, pág. 103-167.
↑ V. I. Arnold , V. V. Kozlov , A. I. Neishtadt , Aspectos matemáticos de la mecánica clásica y celeste , Sistemas dinámicos - 3, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderno problema estera. Fundam. direcciones, 3, VINITI, M., 1985, 5-290.

Literatura

Libros

↑ Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Teoría de las oscilaciones. - 2ª ed., revisada. y corregido.- M .: Nauka , 1981. - 918 p.
↑ Lichtenberg A. Dinámica de partículas en el espacio de fases. — M .: Atomizdat , 1972. — 304 p.
↑ Julio Chávez. Introducción a la óptica sin imágenes . - Segunda edicion. - Prensa CRC , 2015. - 786 p. — ISBN 978-1482206739 . Archivado el 18 de febrero de 2016 en Wayback Machine .

Artículos

↑ 1 2 3 4 5 Feigin M.I. Manifestación de los efectos de la memoria de bifurcación en el comportamiento de un sistema dinámico // Soros Educational Journal : Journal. - 2001. - T. 7 , N º 3 . - S. 121-127 . Archivado desde el original el 30 de noviembre de 2007. (Ruso)
↑ Nolte, DD La historia enredada del espacio de fase // Physics Today: Journal. - 2010. - Vol. 63 , núm. 4 . — págs. 31–33 . -doi : 10.1063/ 1.3397041 .
↑ Neishtadt, Anatoly. Sobre el retraso de la pérdida de estabilidad para la bifurcación dinámica (inglés) // Sistemas dinámicos discretos y continuos - Serie S: Revista. - 2009. - Vol. 2 , núm. 4 . - Pág. 897-909 . — ISSN 1937-1632 . -doi : 10.3934 / dcdss.2009.2.897 .
↑ Kuznetsov D. , Roilich D. Ruido cuántico en el mapeo del espacio de fase // Óptica y espectroscopia : revista. - 1997. - T. 82 , N º 6 . - S. 990-995 . (Ruso)
↑ Shirokov Yu. M. Cuántica y mecánica clásica en la representación del espacio de fase // ECHAYA : revista. - 1979. - T. 10 , N º 1 . — Pág. 5–50 . (Ruso)

Enlaces

Para definiciones de este concepto, ver también los diccionarios:
- Gran enciclopedia soviética.
- Enciclopedia matemática. — M.: Enciclopedia soviética. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
- Enciclopedia física.
- Diccionario económico y matemático.
En el portal de Internet "Enciclopedia Física" ver artículos que aclaran el concepto de f.p. en física estadística y f.p. en la teoría de los sistemas dinámicos .
Espacio estatal en Scholarpedia.org