Ecuación diferencial

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Una ecuación diferencial es una ecuación que, además de una función , contiene sus derivadas . El orden de las derivadas incluidas en la ecuación puede ser diferente (formalmente, no está limitado por nada). Las derivadas, funciones, variables independientes y parámetros pueden estar incluidos en la ecuación en varias combinaciones o ausentes por completo, excepto por al menos una derivada. Ninguna ecuación que contenga derivadas de una función desconocida es diferencial. Por ejemplo, no es una ecuación diferencial [1] . $f'\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$

A diferencia de las ecuaciones algebraicas , en virtud de las cuales se busca un número (varios números), al resolver ecuaciones diferenciales se busca una función (familia de funciones).

Una ecuación diferencial de orden superior a la primera puede transformarse en un sistema de ecuaciones de primer orden en el que el número de ecuaciones es igual al orden de la ecuación diferencial original.

Las computadoras modernas de alta velocidad brindan efectivamente una solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias sin requerir su solución en forma analítica. Esto permite a algunos investigadores afirmar que la solución del problema se obtenía si era posible reducirlo a la solución de una ecuación diferencial ordinaria .

Una generalización del concepto de ecuación diferencial al caso de un conjunto infinito de variables es una ecuación en derivadas funcionales .

Terminología y clasificación

El orden de una ecuación diferencial es el orden más alto de sus derivadas.

Si una ecuación diferencial es un polinomio con respecto a la derivada más alta, entonces el grado de este polinomio se llama grado de la ecuación diferencial . Entonces, por ejemplo, la ecuaciónes una ecuación de segundo orden, el cuarto grado[2]. $\left(y''\right)^{4}+y'+y^{6}+x^{7}=0$

Una solución ( integral ) de una ecuación diferencial de orden es una función que tiene derivadas hasta el orden inclusive en un cierto intervalo y satisface esta ecuación. El proceso de resolver una ecuación diferencial se llama integración . El problema de integrar una ecuación diferencial se considera resuelto si la búsqueda de la función desconocida se puede llevar a una cuadratura (es decir, a la forma , donde es una función elemental), independientemente de si la integral resultante se expresa en la forma final en términos de funciones conocidas o no. $norte$ ${\ estilo de visualización y \ izquierda (x \ derecha)}$ $\izquierda(a,b\derecha)$ $y'\left(x\right),y''\left(x\right),...,y^{\left(n\right)}\left(x\right)$ $norte$ ${\ estilo de visualización y \ izquierda (x \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización y = \ int f \ izquierda (x \ derecha) \ dx}$ $f \izquierda( x \derecha)$

Todas las ecuaciones diferenciales se pueden dividir en ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE), que incluyen solo funciones (y sus derivadas) de un argumento , y ecuaciones diferenciales parciales (PDE ), en las que las funciones de entrada dependen de muchas variables. También hay ecuaciones diferenciales estocásticas (EDS) que involucran procesos estocásticos .

Dependiendo de las combinaciones de derivadas, funciones, variables independientes, las ecuaciones diferenciales se dividen en lineales y no lineales, con coeficientes constantes o variables, homogéneas o no homogéneas. Debido a la importancia de las aplicaciones, las ecuaciones diferenciales parciales cuasi lineales (lineales con respecto a las derivadas superiores) se destacan en una clase separada [3] .

La pregunta más importante para las ecuaciones diferenciales es la existencia y unicidad de sus soluciones. La solución de esta cuestión está dada por los teoremas de existencia y unicidad, que indican las condiciones necesarias y suficientes para ello. Para ecuaciones diferenciales ordinarias tales condiciones fueron formuladas por Rudolf Lipschitz (1864). Para ecuaciones diferenciales parciales, Sophia Kovalevskaya (1874) demostró el teorema correspondiente .

Las soluciones de ecuaciones diferenciales se dividen en soluciones generales y particulares. Las soluciones generales incluyen constantes indefinidas y, para ecuaciones diferenciales parciales, funciones arbitrarias de variables independientes que se pueden refinar a partir de condiciones de integración adicionales (condiciones iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias, condiciones iniciales y de contorno para ecuaciones diferenciales parciales). Después de determinar la forma de las funciones constante e indefinida indicadas, las soluciones se vuelven particulares.

La búsqueda de soluciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias condujo al establecimiento de una clase de funciones especiales , funciones que a menudo se encuentran en aplicaciones y que no pueden expresarse en términos de funciones elementales conocidas. Sus propiedades se estudiaron en detalle, se compilaron tablas de valores, se determinaron las relaciones mutuas, etc.

El desarrollo de la teoría de las ecuaciones diferenciales hizo posible en varios casos abandonar el requisito de la continuidad de las funciones en estudio e introducir soluciones generalizadas de ecuaciones diferenciales.

Historia

Inicialmente, las ecuaciones diferenciales surgieron de los problemas de la mecánica , en los que se requería determinar las coordenadas de los cuerpos , sus velocidades y aceleraciones , consideradas como funciones del tiempo bajo diversas influencias. Algunos de los problemas geométricos considerados en ese momento también dieron lugar a ecuaciones diferenciales.

La base de la teoría de las ecuaciones diferenciales fue el cálculo diferencial creado por Leibniz y Newton (1642-1727). El término "ecuación diferencial" en sí mismo fue propuesto en 1676 por Leibniz.

De la ingente cantidad de trabajos del siglo XVIII sobre ecuaciones diferenciales, destacan los trabajos de Euler (1707-1783) y Lagrange (1736-1813). En estos trabajos se desarrolló primero la teoría de las pequeñas oscilaciones y, en consecuencia, la teoría de los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales; en el camino surgieron los conceptos básicos del álgebra lineal (valores propios y vectores en el caso n -dimensional). Siguiendo a Newton , Laplace y Lagrange, y más tarde Gauss (1777-1855), también desarrollaron los métodos de la teoría de perturbaciones.

Cuando se probó la irresolubilidad de las ecuaciones algebraicas en radicales, Joseph Liouville (1809-1882) construyó una teoría similar para las ecuaciones diferenciales, estableciendo la imposibilidad de resolver una serie de ecuaciones (en particular, las clásicas como las ecuaciones lineales de segundo orden) en Funciones elementales y cuadratura. Más tarde, Sophus Lie (1842-1899), analizando la cuestión de la integración de ecuaciones en cuadraturas, llegó a la necesidad de estudiar en detalle los grupos de difeomorfismos (más tarde llamados grupos de Lie ) - así surgió una de las áreas más fructíferas de las matemáticas modernas. en la teoría de las ecuaciones diferenciales, cuyo desarrollo posterior estuvo estrechamente relacionado con cuestiones completamente diferentes (las álgebras de mentira fueron consideradas incluso antes por Simeon-Denis Poisson (1781-1840) y, especialmente, Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) ).

Una nueva etapa en el desarrollo de la teoría de ecuaciones diferenciales comienza con el trabajo de Henri Poincaré (1854-1912), la "teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales" que creó, junto con la teoría de funciones de variables complejas, formaron la base de topología moderna . La teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales o, como ahora se le llama más comúnmente, la teoría de los sistemas dinámicos , se está desarrollando activamente y tiene importantes aplicaciones en las ciencias naturales.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) son ecuaciones que dependen de una variable independiente; parecen

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0

F\left(x,y,{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}},{\frac {{\mathrm {d}}^{2}} y}{{\mathrm {d}}x^{2}}},...,{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}}y}{{\mathrm {d}}x ^{n}}}\derecho)=0,

donde es una función desconocida (posiblemente una función vectorial ; en este caso, a menudo se habla de un sistema de ecuaciones diferenciales), dependiendo de la variable independiente primo significa diferenciación con respecto al número se llama el orden de la ecuación diferencial. Las más importantes en la práctica son las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. $y=y(x)$ $X,$ $X.$ $norte$

Las ecuaciones diferenciales más simples de primer orden

Las ecuaciones diferenciales de primer orden más simples son una clase de ecuaciones diferenciales de primer orden que son más fáciles de resolver y estudiar. Incluye ecuaciones en diferenciales totales , ecuaciones con variables separables, ecuaciones homogéneas de primer orden y ecuaciones lineales de primer orden. Todas estas ecuaciones se pueden integrar en la forma final.

El punto de partida de la presentación será una ecuación diferencial de primer orden, escrita en el llamado. forma simétrica:

${\begin{matriz}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matriz}}\qquad (1),$

donde las funciones y son definidas y continuas en algún dominio . $P(t,x)$ $Q(t,x)$ $\Omega \subseteq {\mathbb {R}}_{{t,x}}^{2}$

Ecuaciones diferenciales parciales

Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) son ecuaciones que contienen funciones desconocidas de varias variables y sus derivadas parciales . La forma general de tales ecuaciones se puede representar como:

F\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m},z,{\frac {\parcial z}{\parcial x_{1))},{\frac {\parcial z} {\parcial x_{2))},\puntos,{\frac {\parcial z}{\parcial x_{m))},{\frac {\parcial ^{2}z}{\parcial x_{1} ^{2}}},{\frac {\parcial ^{2}z}{\parcial x_{1}\parcial x_{2}}},{\frac {\parcial ^{2}z}{\parcial x_{2}^{2))),\puntos,{\frac {\parcial ^{n}z}{\parcial x_{m}^{n))}\right)=0,

donde son variables independientes y es una función de estas variables. El orden de las ecuaciones diferenciales parciales se puede determinar de la misma manera que para las ecuaciones diferenciales ordinarias. Otra clasificación importante de las ecuaciones en derivadas parciales es su división en ecuaciones de tipo elíptica, parabólica e hiperbólica, especialmente para las ecuaciones de segundo orden. $x_{1},x_{2},\puntos,x_{m}$ $z\!=z(x_{1},x_{2},\puntos,x_{m})$

Ecuaciones diferenciales lineales y no lineales

Tanto las ecuaciones diferenciales ordinarias como las ecuaciones diferenciales parciales se pueden dividir en lineales y no lineales . Una ecuación diferencial es lineal si la función desconocida y sus derivadas entran en la ecuación solo a la primera potencia (y no se multiplican entre sí). Para tales ecuaciones, las soluciones forman un subespacio afín del espacio de funciones. La teoría de las ecuaciones diferenciales lineales se ha desarrollado mucho más profundamente que la teoría de las ecuaciones no lineales. Forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n :

p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0} (x)y(x)=r(x),

donde p i ( x ) son funciones conocidas de la variable independiente, denominadas coeficientes de la ecuación. La función r ( x ) del lado derecho se llama intercepto (el único término que no depende de la función desconocida). Una clase particular importante de ecuaciones lineales son las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes .

Una subclase de ecuaciones lineales son las ecuaciones diferenciales homogéneas , ecuaciones que no contienen un término libre: r ( x ) = 0 . Para ecuaciones diferenciales homogéneas, se cumple el principio de superposición : una combinación lineal de soluciones parciales de tal ecuación también será su solución. Todas las demás ecuaciones diferenciales lineales se denominan ecuaciones diferenciales no homogéneas .

Las ecuaciones diferenciales no lineales en el caso general no tienen métodos de solución desarrollados, salvo algunas clases particulares. En algunos casos (con el uso de ciertas aproximaciones) pueden reducirse a lineales. Por ejemplo, la ecuación no lineal de un péndulo matemático en el caso de amplitudes pequeñas, cuando sen y ≈ y , puede considerarse como una ecuación lineal de un oscilador armónico ${\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega^{2}\sin y=0$ ${\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega^{2}y=0$

Ejemplos

$y''+9y=0$ es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. La solución es una familia de funciones , donde y son constantes arbitrarias, que se determinan para una solución específica a partir de condiciones iniciales especificadas por separado. Esta ecuación, en particular, describe el movimiento de un oscilador armónico con una frecuencia cíclica de 3. $y=(C_{1}\cos 3x+C_{2}\sen 3x)$ $C_{1}$ $C_{2}$
La segunda ley de Newton se puede escribir en forma de ecuación diferencial donde m es la masa del cuerpo, x es su coordenada, F ( x , t ) es la fuerza que actúa sobre el cuerpo con la coordenada x en el tiempo t . Su solución es la trayectoria del cuerpo bajo la acción de la fuerza especificada. $m{\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,t),$
La ecuación diferencial de Bessel es una ecuación homogénea lineal ordinaria de segundo orden con coeficientes variables: Sus soluciones son las llamadas funciones cilíndricas : las funciones de Bessel , Neumann, Hankel . $x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2} )y=0.$
Un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria no lineal no homogénea de primer orden: ${\frac{du}{dx}}=u^{2}+1.$

En el siguiente grupo de ejemplos, la función desconocida u depende de dos variables x y t o x e y .

Ecuación diferencial parcial lineal homogénea de primer orden:

{\frac {\u parcial}{\t parcial))+t{\frac {\u parcial}{\x parcial))=0.

Una ecuación de onda unidimensional es una ecuación diferencial parcial de tipo hiperbólico lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes que describe la vibración de una cuerda si es la desviación de la cuerda en un punto con la coordenada x en el tiempo t , y el parámetro a especifica las propiedades de la cadena: $u=u(x,t)$

{\frac {\parcial {}^{2}u}{\parcial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2} }}.

La ecuación de Laplace en el espacio bidimensional es una ecuación diferencial parcial homogénea lineal de segundo orden de tipo elíptica con coeficientes constantes que surge en muchos problemas físicos de mecánica, conducción de calor, electrostática, hidráulica:

{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial y^{2}}}=0.

La ecuación de Korteweg-de Vries , una ecuación diferencial parcial no lineal de tercer orden que describe ondas no lineales estacionarias, incluidos los solitones :

{\frac {\parcial u}{\parcial t))=6u{\frac {\parcial u}{\parcial x))-{\frac {\parcial ^{3}u}{\parcial x^{3 }}}.

Las ecuaciones diferenciales más importantes

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones diferenciales parciales

Ecuación de Euler-Lagrange ( mecánica lagrangiana clásica )
Ecuaciones de Hamilton ( mecánica hamiltoniana clásica )
ecuación de onda
Ecuaciones de Maxwell ( electromagnetismo )
Ecuación de Laplace
Ecuación de Poisson
Ecuación de Einstein ( relatividad general )
Ecuación de Schrödinger ( mecánica cuántica )
Ecuación de difusión
Ecuación del calor ( termodinámica )
Ecuación de Korteweg-de Vries ( ondas solitarias )
Ecuaciones de Navier-Stokes ( flujos de fluidos viscosos )
Ecuación de Euler (flujos no viscosos de medios gaseosos)
Ecuación de Lin-Reissner-Qian (flujos no estacionarios transónicos)
Ecuaciones de Lamé ( teoría de la elasticidad )

Véase también

Solución general de la ecuación diferencial
Solución parcial de una ecuación diferencial
Las ecuaciones diferenciales más simples de primer orden.
solución especial
Problema de Cauchy
Ecuación diferencial homogénea
Ecuación diferencial no homogénea
Ecuación diferencial lineal
Ecuación diferencial de Bernoulli
Ecuaciones diferenciales de Lagrange y Clairaut
Ecuación de Riccati
Ecuación diferencial parcial
Ecuación cuasi-diferencial
Ecuación diferencial fraccionaria
Ecuaciones integrales-diferenciales
Campo de dirección

Software

ExpressionsinBar
Arce [4] : disolver
SageMath [5]
Xcas [6] : resolver(y'=k*y, y)
Wolfram Mathematica: DSolve[expr, func, var], NDSolve[expr, func, var]

Notas

↑ Arnold V. I. Ecuaciones diferenciales ordinarias. - M.: Nauka, 1971, pág. 16
↑ Alibekov I. Yu . Métodos Numéricos, U/P . - MGIU, 2008. - S. 180. - 221 p. — ISBN 9785276014623 .
↑ Rozhdestvensky B. L., Yanenko N. N. Sistemas de ecuaciones cuasilineales y sus aplicaciones a la dinámica de gases. — M.: Nauka, 1988. — 686 p.
↑ dsolve - Ayuda de programación de Maple . www.maplesoft.com. Consultado el 12 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 23 de noviembre de 2013. (indefinido)
↑ Álgebra y cálculo básicos - Tutorial de Sage v9.0 . doc.sagemath.org. Consultado el 12 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 14 de enero de 2020. (indefinido)
↑ [Álgebra simbólica y Matemáticas con Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf ] . (indefinido)

Literatura

Enciclopedias y libros de referencia

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Zaitsev VF , Polyanin AD Libro de referencia sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. — M.: Fizmatlit , 2001.
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Kamke E. Manual de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden. — M.: Nauka, 1966.
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Tutoriales

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Diésperov VN Conferencias sobre ecuaciones diferenciales [texto]: libro de texto. asentamiento - M., MIPT, 2017. 242 p. ISBN 978-5-7417-0630-5 .
Petrovski IG Conferencias sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias. — M.: Nauka, 1970.
Polyanin A. D. , Zaitsev V. F. , Zhurov A. I. Métodos para resolver ecuaciones no lineales de física matemática y mecánica. — M.: Fizmatlit, 2005.
Pontryagin L. S. Ecuaciones diferenciales ordinarias. — M.: Nauka, 1974.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Ecuaciones de física matemática. — M.: Nauka, 1972.
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Umnov A. E. , Umnov E. A. Fundamentos de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias (pdf) (en el portal del autor)
Filippov AF Introducción a la teoría de las ecuaciones diferenciales . - Ed. 2do. - 2007. - 240 págs. - ISBN 5354004160 .
Charles Henry Edwards, David E. Penny. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera: computación y modelado con Mathematica, Maple y MATLAB = Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera: computación y modelado. - 3ra ed. - M .: "Williams" , 2007. - ISBN 978-5-8459-1166-7 .
Elsgol'ts LE Ecuaciones Diferenciales y el Cálculo de Variaciones. — M.: Nauka, 1969.

Libros de tareas

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Colección de problemas sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. - 3ra ed. - M.: Escuela superior, 1978.
Samoilenko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Ecuaciones diferenciales: ejemplos y problemas. - 2ª ed. - M.: Escuela superior, 1989.
Filippov AF Colección de problemas sobre ecuaciones diferenciales. - Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámicas Regulares y Caóticas", 2000.

Enlaces

Sitio web editado por A. D. Polyanin "El mundo de las ecuaciones matemáticas" — EqWorld
Recursos en ruso sobre ecuaciones diferenciales en el Catálogo abierto .
Ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales
Curso exprés sobre ecuaciones diferenciales: manual y video conferencias de R. V. Shamin
El campo de direcciones de una ecuación diferencial de primer orden es una película educativa, producida por Lennauchfilm .

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